Énonçons ensuite deux théorèmes employés par Kirchhoff

Théorème I. — Si les /ils i, 2, 3, . . ., /? aboutissent au même point, on. a

m (\) I,-4-Ij-i-. . .4-1,, T-o,

lo la» . • • » I/, étant les intensités des courants qui traversent ces fils et étant pris positifs ou négatifs suivant que les courants vont vers le point de croisement ou s'en éloignent.

Théorème IL —Si les fils i, 2, .. ., q forment un circuit fermé ; que R, , R2, ... soient les résistances de ces fils, ^/ E^ , E2. . . . les forces électromotrices qui s'y trouvent, on a l'équation

(B) RiI,4-R,Iî-t ... ^RyL, ^-E,H-E,-i-...4-E,„

li, I2, ... étant comptés comme positifs dans le même sens du circuit, ainsi que E,, Ej

Le théorème I se déduit de ce qu'il sort de chaque point de croisement autant d'électricité qu'il en entre.

a4 CHAPITRE 11.

Pour démontrer le théorème II, appliquons la loi de Ohm à un des fils du circuit; nous aurons

V, et V,^., étant la valeur du potentiel aux deux extrémités duTil. Si Ton ajoute toutes les équations semblables relatives à chaque côté du circuit, les potentiels disparaissent et il reste Téquation (B).

Il existe autant d'équations semblables à (A) qu'il y a de points de croisement; ainsi il y en a C, mais G — i de ces équations seulement sont distinctes ; car, si Ton ajoute toutes ces équations, chaque intensité de courant se présentera deux fois, mais avec des signes contraires, et la somme des premiers membres 5e réduira à zéro.

Appliquons l'équation (B) à P circuits distincts, par exemple aux P circuits qui ont été projetés sur la sphère suivant les polygones sphériques dont nous avons parlé (n** 6).

Les formules (A) et (B) fourniront ainsi un nombre d'équations

égal à

c'est-à-dire égal au nombre des inconnues I.

Il est bien aisé de voir que l'équation (B), appliquée à tout autre circuit que les P circuits qui ont été indiqués, rentrera dans les P équations relatives à ces circuits. D'ailleurs ces P équations sont distinctes, car on peut prendre les P circuits dans un ordre tel que chacun renferme un fil qui ne soit pas dans les circuits suivants. Ainsi, chaque équation renfermera une quantité I qui ne se trouvera pas dans les suivantes; par suite, chaque équation ne peut être une conséquence des suivantes : elles sont donc toutes distinctes.

Nous avons cru utile de donner les considérations précédentes. Mais les N équations à résoudre sont de deux formes différentes (A) et (B); de plus, si l'on prend maintenant la lettre I affectée d'indices pour représenter les valeurs positives des intensités des courants, il faudra les faire précéder dans ces équations tantôt du signe -h , tantôt du signe — . Il en résulte que la résolution générale de ces équations présente assez de difficulté et même que la règle donnée par Kirchhoff pour leur résolution n'est pas commode. Aussi est-il préférable de suivre une autre marche pour résoudre le problème actuel.

<:OUKANrS LINEAIHES PEIixHANENTS. 20

Autre solution du problème précédent.

8. Au lieu de déterminer d*abord les intensités des courants dans chaque fil du réseau, on peut rechercher les potentiels aux points de croisement et l'on en conclura les intensités des Courants dans chaque fil parla formule (2) du n°7.Mais, pour que les équations se présentent sous la forme la plus commode^ ajoutons aux fils du réseau d'autres fils qui joignent tout couple de sommets qui n'étaient pas réunis. Pour revenir au cas précédent, il suffira de supposer que la résistance est infinie ou la conductibilité nulle dans chacun des fils ajoutés.

Nous désignerons les sommets par i, 2, 3, ...,/?; le potentiel au point a sera V,„ l'intensité du courant sera 1^^ dans le fil qui va du sommet a au sommet 6, E^^ sera la force électromotrice située dans ce fil et kab la conductibilité de ce fil, c'est-à-dire l'inverse de sa résistance. D'après ces désignations, on a évidemment

*-ah - ■ */>a» *''ah *^hay '^uh — **//««•

D'après le théorème I du n" 7, on a à chaque sommet a ensuite, d'après la loi de Ohm, on a, dans chaque fil ab.

Substituons cette expression dans l'équation (1), et nous aurons

Le symbole k^,^ n'a jusqu'ici aucune signification; pour simplifier cette équation, introduisons-le en faisant

et cette équation deviendra

\ '«'al ' 1 •" f^iit > 2 r- . . . H Uau 'a t- . • . H- kap ^ p

( - '^ul fc-til '■ "ui^.<i t- . . . ^- kftph^if,.

26 CUAPITKE II.

Si nous faisons successivement a = i , 2, ...,/?, nous aurons/? équations entre V,, V^, ..., V^; toutefois ces équations se réduisent au nombre /> — i; car, si nous les ajoutons, nous obtiendrons zéro pour chaque membre de Téquation résultante. En effet, dans le second membre, tout terme Aa,E«, sera accompagné du terme k^^Eja égal et de signe contraire, el le premier membre est aussi nul d'après l'équation (3).

Résolvons donc les /> — i premières équations (4) par rapport a V,, Va, ..., V^..,. Posons

et désignons par D^,, le déterminant qui reste quand on supprime dans D la ligne horizontale de rang r et la ligne verticale de rang ^; nous aurons

et, en multipliant les équations (4) respectivement par D^.,, D^a» • • • • D^^^., et ajoutant, nous aurons

L,e coefficient de V^ dans le second membre est

Or on a

Faisons dans cette formule i — i , 2, , . . , p ^ 1 et substituons dans le coefficient de V^, puis supprimons les sommes qui sont nulles; il restera

'»^irï^/l "H '»"î;* '^rî ^- • • • h '»"/i-l , r '^r, /ï-i ^^ ^^ •

On a donc enfin

|D(V,-V„)-- f-(*-i-A-„E,,-^ . .. !- X-,,„E,.;,)1),,, (5) < -h (A-„E,i-+- iir -h. . . — A-,,,,E,,,,)D;..î

On peut donc déterminer la différence du potentiel de chaque sommet avec celui du sommet/?. On peut donc aussi déterminer la diff*érence de potentiel de deux sommets quelconques et, d'après la formule (2), on en déduira l'intensité du courant dans le fil qui joint ces deux sommets.