Démontrons le théorème suivant remarqué par Kirchhoff

5/ une force électromotrice agit seule et dans le fil conducteur ah terminé en a et b, elle produira dans lefilrs le même courant que cette force électromotrice mise dans rs produirait dans ab.

Si la force électromotrice E^à agit seule et le long de ab, l'équation (5) appliquée au,sommetr no renfermera que deux termes dans son second memhre et l'on aura

on aura de même

En retranchant ces deux éjçalités entre elles, on a

i)(V,- V,) ^. XVi6E«^(I),a~ l),A- î),.-^-l)x/,),

et, par suite, le courant produit dans rs sera

/'V*(V;.-- V,) --- ^/»v,A\,/,EaA(I)|.,— l)i-A— I),,-h !),/,).

En permutant dans le second membre a etb avec r et s, on ne changera pas le second membre si l'on suppose E^^= E;.,; ce qui démontre le théorème.

On voit aussi que la condition pour qu'il n'y ait pas de courant dans le second fil est la suivante

2tS r.llAPITRK !l.

Exemple. — Quand le réseau est peu compliqué, on peut employer indifféremment les deux méthodes. Appliquons, par exemple, les équations de Kirchhoff au pont de Wheatstone. Cet appareil se compose de six fils qui joignent quatre points A, B, C, D {fig- 2). Une pile

est introduite sur le côté AB et y produit la force électromotrice E. Considérons les courants comme positifs sur les six fils quand ils sont dans les directions indiquées par les flèches. Soient /,, i^, h, hf I2» h les intensités des courants et r,, r^, r,, R,, R2, R, les résistances respectivement dans les fils AB, BC, CA, AD, BD, CD.

Le théorème I du n** 7 appliqué aux sommets A, B, (] donne les équations

(l) /, — 1*2— lj- O, f'i — h-li^-O, I3--/, — I, = 0,

et le théorème II appliqué aux circuits ABD, BCD, CAD fournit les

trois équations

/ E /j/, M HjL- R,I,,

(9) . . o ^ /j/j^ Rjl, Rjl„

De ces équations on tire facilement les six inconnues i et I; en tirant les I des équations (1) pour les porter dans les équations (9.), on obtiendra trois équations entre les intensités /.

Action des courants sur les aimants.

10. il résulte des faits de rexpérience que les courants électriques exercent des actions sur les aimants et que, par conséquent, réciproquement, d'après le principe de la réaction, les aimants agissent sur

les courants. Les actions entre les courants et les aimants sont dites actions électromagnétiques.

Considérons un courant linéaire fermé agissant sur l'unité positive de magnétisme située au point (^, r, -); chaque partie élémentaire du courant agira sur ce point. JWais n'examinons d'abord que l'action totale du courant sur ce point. L'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire consiste à admettre que les composantes totales X, Y, Z de la force produite par le courant sur ce point sont les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à œ, y, z, en sorte qu'on peut poser

(Lr a Y dz

admettons, de plus, que X, Y, Z sont des fonctions continues en dehors du courant et que P satisfait en dehors de ce courant à l'équation du potentiel

AP ^^o;

enfin admettons que P s'annule comme un potentiel à l'infini. K mann a, je crois, reconnu le premier qu'on peut déduire de cette hyp hèse les faits électromagnétiques relatifs aux courants linéaires feirr.és. Nous appellerons P le potentiel magnétique du courant.

IL Soit ABCD {fig. 3) le courant fermé, et soient GIK, GHK deux

Fi{j. 3.

courbes infiniment voisines qui se terminent aux points G et K et qui n'enlacent pas le courant. Prenons l'intégrale

f{\d.T-i-Ydy^Zrtz)

le long de chacune des deux lignes GIK et GHK; je dis qu'elle v aura

des valeurs égales.

3o CnAPITRR II.

Supposons que non seulement la fonction P soit continue sur les courbes GIK el GHK, mais qu'elle le soit également dans le passage (l'un point de Tune des courbes à un point infiniment voisin situé sur l'autre. D'après les valeurs de X, Y, Z, l'intégrale û prise le lonj? d'une de ces deux courbes peut s'écrire

^5 étant un élément de la courbe. Concevons ensuite que les points I et H se meuvent en même temps sur les deux courbes en restant infiniment rapprochés et qu'ils partent ensemble de G et arrivent ensemble en K.

En prenant l'intégrale le long de Gl et le long de GH, nous aurons

- f -/' r/.v - p,; - i>„ - f -^. rfs \\ - P„,

J fis J^^ds

les indices de P indiquant les points où l'on prend le potentiel P. La différence de ces deux intégrales est Ph— Pp quantité infiniment petite, puisque I et H sont infiniment voisins; et, quand les points I et H arrivent en K, la différence des deux intégrales est nulle. Ainsi l'intégrale il prise le long de GIK est égale à cette intégrale prise le long de GHK. Enfin, comme on peut supposer qu'une des deux courbes se déforme successivement en s'éloignant de l'autre, l'intégrale, prise le long des deux courbes, aura la même valeur, quand même elles s'écarteront l'une de l'autre d'une manière finie.

12. Dans ce qui précède, la fonction P n'entre que par ses dérivées, et elle n'est pas complètement déterminée par les conditions auxquelles on l'a assujettie. Ajoutons maintenant cette autre condition que la fonction P est partout finie et continue, excepté k travers une certaine sïirface cr dont le bord est sur la courbe ABCD.

Désignons par P' et par P" les valeurs de P sur l'un et l'autre côté de la surface cr. Des deux côtés de la surface a, les dérivées de P' et P" suivant des directions tangentes à la surface sont égales, et la fonction P vari^ d'une manière continue sur chaque côté de cette surface. Si donc, en un point de a et de part et d'autre de t, on prend pour P

COLKANTS LhNKAlHES PEKMANENTS. 3l

des valeurs qui diffèrent de B, les valeurs de P' et P" différeront de B dafns toute l'étendue de la surface a. Ainsi Ton peut poser

B étant une constante quelconque.

La constante B étant supposée donnée, on peut prouver facilement que la fonction P est complètement déterminée.

Expression du potentiel magnétique.

13. Nous allons déterminer une expression du potentiel magnétique du courant.

Soient U et P deux fonctions des coordonnées a, b, c d'un point quelconque -de l'espace cr, limité par la surface co; on a l'équation connue

I Pli] clxs ^ jiJlVdxs = /V^r/o) f- /'l'^^o,,

fin étant l'élément de normale à co, menée intérieurement (Théorie du potentiel, Chap. I, n® 10).

Prenons U — -> r étant la distance d'un point (a;, r, z) situé dans cr

à l'élément r/cj ou rfo), et prenons pour P la fonction du numéro précédent.

Du point (37,7, z) comme centre décrivons une sphère d'un rayon infiniment petit et une autre sphère d'un rayon R extrêmement grand. Ensuite, comme la fonction P est discontinue à travers la surface cr, menons deux surfaces <J^ et cJa infiniment près de a et de part et d'autre de cette surface. Enfin appliquons cette équation au volume compris entre les deux sphères, diminué de la couche comprise entre cT| et (j.^.

Dans tout cet espace, on a AU = 0, AP = o, et, en désignant par d(j' les éléments de la surface de la sphère infiniment petite et par d'y les éléments des autres surfaces limitantes, on obtient

dr- ». riclP^

J un J r du;

r^dr-' , , ri dP , ,

32 rjlAPITKK II.

On trouve ensuite (acilement

lim / - "î-r/a'. o, liai l'v-'^(h -4-1*,

J r dr J dr

P désignant dans le dernier membre la valeur de P au point (*>t, y, :;), qu'on déduit donc de la valeur de P donnée, en remplaçant a, b, c par jr, J, s. Il reste donc

où les intégrales du second membre s'étendent à la ibis à la surface de la sphère de rayon R et aux deux surfaces a, et Œj. Celles qui se rapportent à la sphère sont nulles pour R = oo, comme on le reconnaît facilement. 11 suffit donc de prendre ces intégrales sur les surfaces t,

et Œo. Or, comme les dérivées de P varient partout d'une manière con-

d\^ tinue et que dn! est mené en sens contraire sur a, et Œj, -^, y prend

des valeurs égales et de signe contraire. Ainsi la dernière intégrale est entièrement nulle et l'on a

(/p étant rélément de normale à G^ mené en dehors de l'espace compris entre œ, et (7. : dp est donc aussi l'élément de normale mené à a du côté où P = P'.

En remplaçant P'— P' par sa valeur constante P, on obtient

I ^ J dp

Cette expression est identique a celle du potentiel d'une double couche magnétique dont la puissance est constante dans toute son étendue et

égale à 7- (Théorie dupotentiely \\!^ Partie, Chap. IV, n" 11). On obtient

ainsi un théorème donné par Ampère, qui peut s'énoncer ainsi :

L'action d\in courant linéaire fermé sur une particule magnétique peut être remplacée par celle d'une double couche magnétique de puissance con-

S tante et limitée à la ligne du courant. Lajorme de cette double com:he est d'ailleurs arbitraire.

14. Les composantes X, Y, Z de l'action du courant sur le point (a?,j, 2) sont proportionnelles à l'intensité du courant, et, comme elles sont exprimées par les dérivées de P changées de signe, P est aussi proportionnel à I; donc B est une constante qui contient I en facteur, et l'on peut poser l'égalité

où P est indépendant de I.

La constante p dépendra de l'intensité du courant linéaire choisie pour unité. Pour avoir les formules les plus simples, prenons cette unité, de manière que p soit égal à i; nous emploierons ainsi l'unité de courant adoptée par W. Weber et ensuite par la plupart des physiciens. Nous avons donc

B = 4t:1 et

Concevons qu'un observateur se tienne normalement sur le côté positif de la double couche magnétique, c'est-à-dire sur le côté qui tend à se diriger vers le nord. Alors, si V est égal à V sur ce côté, la quantité B — V — V" sera positive, et l'expérience prouve que, pour l'observateur, le courant tourne de droite à gauche.

Ensuite, d'après un théorème connu sur les doubles couches et qui est d'ailleurs une conséquence facile de la formule (a), on obtient le résultat suivant :

Le potentiel P, pris en un point M ou (a?, j, 5), est égal à l'intensité I du courant, multipliée par la surface sphérique co, dont le rayon est l'unité et le centre en M et qui est interceptée par le cône qui, ayant son sommet en M, s'appuie sur la ligne du courant. Et l'on regarde la surface co comme positive ou négative, suivant que la surface a

tourne le côté positif ou négatif au point M.

15. Nous avons mené arbitrairement la surface d par la ligne ABCD {fie- 4) du courant. Mais, si la surface gt, étant déformée, franchit le point M et vient en a^ , P subit un accroissement égal à =p 4*^1» suivant que le point M, après avoir été du côté positif de la couche, se trouve du côté négatif ou réciproquement.

Ainsi, quand la surface se change de a en a,, la valeur de la fonction P varie dans l'intervalle de a à a, ; mais sa valeur reste la même en dehors de cet intervalle. Quant aux dérivées de P, qui donnent l'action du courant sur le point M, elles ne dépendent pas de la forme de la surface a.

Décomposons la surface a en éléments et la couche magnétique en éléments correspondants. L'action de chacun de ces éléments de couche peut être remplacée par celle d'un courant d'intensité I qui passe par le bord de cet élément, et un observateur placé sur le côté positif d'un quelconque de ces éléments de couche magnétique verra le courant correspondant tourner de droite à gauche. Ainsi un courant linéaire fermé S peut être remplacé par un réseau de courants élémentaires de même intensité et qui tournent tous dans le même sens, ce réseau se terminant au contour S. Au reste, il est aisé de voir que chaque côté du réseau qui n'est pas sur la ligne S est traversé par deux courants égaux et de sens contraire, •ce qui rend la proposition évidente.

Valeur de

Sts^-

16. Si l'on prend l'intégrale ] -jt^s^^ long d'une ligne qui ne tra verse pas la surface a et qu'on désigne par P, et Pj la valeur du poten-

tiel P au commencement et à la fin de cette ligne, on a

Cherchons ensuite la valeur de cette intégrale prise le long de la ligne ACDE (^fig> 5) qui traverse la surface a limitée au courant. Désignons par P' et P'' les valeurs que prend P de part et d'autre de la surface au point H, où cette ligne la traverse. L'intégrale, prise le long

Fîg. 5.

de ACH, a pour valeur P' — P^ et, prise le long de HDE, elle est égale à Pa — P"; donc nous obtenons pour la même valeur prise le long de ACHDE

^^ds = (P' p,) + (P,- P^) = p,- Pi -H B,

puisque P' — P" est égal à B.

Si la ligne S, qui joint le point A au point E, traversait la surface gt toujours dans le même sens un nombre n de fois, on aurait

J^ds^P,^P,-^nB,

et, si la courbe était fermée, en sorte que le point E coïncidât avec A, P2 serait égal à P| et l'on aurait

cette quantité, changée de signe, représente le travail qu'accomplirait l'unité de fluide positif magnétique en parcourant le circuit fermé que nous venons d'indiquer.

En prenant la même intégrale le long d'une ligne fermée xiCDA qui

enlace le courant une fois seulement, nous aurons

et, en remplaçant B par sa valeur ^tzI, nous obtiendrons

Si Ton prend l'intégrale en sens contraire, c'est-à-dire le long de ADCA, on aura

et le chemin d'intégration est ainsi pris le long d'une courbe fermée qui enlace le courant, de manière à traverser la surface a du côté négatif au côté positif.

17. Il est facile de vérifier que la valeur de j -^ds prise le long

d'une ligne donnée ne dépend pas de la surface menée par le courant. En effet, si l'on prend cette intégrale le long de la ligne AC, en adoptant la surface a, on a

(a) f^ds=P,^P,.

Prenons ensuite au lieu de a une surface c/, telle que le point C (^g. 6) se trouve entre a et a'; le potentiel en C deviendra P2= Pj— B.

Désignons par Ph et Pu les valeurs de P au point H sur le côté positif et le côté négatif de a'; nous aurons

J^?^.---z(P„-P,)-h(P,~Pu)

=z(p;-P,) ^(PH-P'u)-P;-P«-^B,

COURANTS LINÉAIRES PERMANENTS. i']

et, en remplaçant V\ par sa valeur, on retrouve pour Tintégrale la valeur (a).

Travail produit sur une double couche par un système magnétique.

18. Soient, en général, deux aimants H et H,, et représentons par P le potentiel magnétique de H; nous aurons pour le potentiel de l'un des aimants sur l'autre {Théorie du potentiel, II* Partie, Chapi IV, n°4)

Â, B, G étant les composantes du moment magnétique dans chaque élément dxs de l'aimant H, ; x', y, s' sont les coordonnées de dxs et l'intégrale est étendue à tous les éléments du volume de H,.

Prenons pour l'aimant H^ une double couche magnétique F de puissance constante et désignons par X, [x, v les angles directeurs de la normale, menée à la couche du côté positif; nous aurons

A dxs z=z(^d<j cosX, B dxs — a^dc cos /jl, C dxs = 9 «fer cos v,

(p étant la puissance magnétique de la couche et du son élément de surface. Il en résulte

w r/^P . ^P dP \ ,

^^V \di' '^'^ "*■ dy "^'^ -^ d^' "^' v^^'

l'intégrale étant étendue à toute la surface de F.

Désignons par ^ la composante normale à d(j de la force F, qui provient de l'aimant H; cette formule deviendra

=:—<pfWd(J — —^Q.

La quantité Q représente le flux de force, provenant de H, qui traverse a.

19. Supposons que, l'aimant ou système magnétique H restant fixe,

la couche F éprouve un déplacement infiniment petit; il en résultera

un travail égal à

— rfW — 9^0.

La couche F peut être remplacée par une autre couche quelconque ayant le même bord et ia même puissance magnétique. Si donc F s^est déplacé en F' et son bord s en y, nous pouvons imaginer une surface a> passant par s et /, et remplacer les surfaces de F et de F' respectivement par les parties de o) comprises dans s et dans s' (il est évident qu'en général ces deux lignes ne se rencontrent pas).

Ainsi, la ligne 5 ou ABCD (/ig. 7) étant venue en ï ou abcd, si nous

Fig. 7.

désignons par q le flux de force qui traverse la partie annulaire de a> comprise entre s et s\ nous aurons

Divisons cet anneau en rectangles infiniment petits, dont deux côtés

soient sur s et /. Le flux de force qui traverse un de ces rectangles

a^Pf a, est

Fcos(F, N)rf5 X (xai,

F étant la force magnétique qui provient du système magnétique H, N la normale positive menée k (i> et ds l'élément a^. Cette expression représente le volume d'un parallélépipède construit sur le rectangle aPPia< et sur F pris pour arête. Désignons par y l'angle de F avec ds; ce volume a aussi pour mesure

(a) Fdssïny.h^

h étant la perpendiculaire abaissée de a, sur le plan mené par ds et par F.

Imaginons une force qui ait pour grandeur Fd!f siny, qui soit parallèle à la ligne A, mais de sens contraire, et qui transporte ds en ds'; le travail de cette force sera donné par l'expression (a). La quantité ç

COURANTS LINÉAIRES PERMANENTS. Sq

est la somme des quantités {a) et Ton a

— rfW — 9 / F/i sin y ds.

xiinsi le travail produit sur la double couche F par le système magnétique est le même que celui qui serait produit par des forces fictives çFsinyé/jç, agissant sur chaque élément ds du contour de F, perpendiculairement au plan mené par F et ds, pour transporter ds en ds\

Comme Faction du système magnétique sur la double couche est la même que sur un courant linéaire parcourant la ligne s, ce théorème s'applique aussi à l'action d'un système magnétique sur un courant.

Théorèmes auxiliaires.

20. Une surfaces étant terminée à une ligne S, concevons que cette ligne soit parcourue par un point M dans le sens où il sera convenu qu'on fait croître l'arc s pris sur S à partir d'un point fixe. Menons une normale à <t, commençant à cette surface et dans un sens tel que l'observateur placé suivant la norpiale, les pieds sur la surface, voie le mouvement du point M s'effectuer de droite à gauche. Cette normale sera dite positive, ainsi que le côté correspondant de la surface. Cette définition est nécessaire aux théorèmes suivants :

Théorème I. — Si a est une fonction qui varie avec la position d'un point {oc, y, z) situé sur la surface a, on a

Cldu du \ , C dx ,

\\-rz cos/n — -j- cos« j a<T = l u-^ds,

l,m,n étant les angles de la normale positive avec les trois axes. Tm première intégrale est étendue à tous les éléments de la sur/ace a et la seconde à tous les éléments ds du contour.

En effet, en projetant l'élément rfd sur le plan des ^ry et celui des a;:;, nous pouvons poser

cos nd(7=^dx dy, cos md<s'=- dx dz.

4o CHAPITRE II.

et, en désignant par A Tintégrale relative à a, nous avons

Pour fixer les idées, supposons l'angle n aigu pour toute la surface a, en sorte qu'on puisse regarder dx (ii dy comme positifs, comme on le fait ordinairement pour de pareilles intégrales.

Soit CaiDa^ {fig. 8) la projection du contour S sur le plan des xy.

la flèche indiquant le sens du mouvement sur cette courbe. Désignons par w, et u^ les valeurs de u aux points de S qui se projettent en a, et ^2. où une droite parallèle à Taxe des ^ rencontre la courbe projetée; nous aurons

Gomme dx est regardé comme essentiellement positif dans la seconde intégrale (a), posons

rf^, OU rf^a étant la variation de x quand le point {x, y) s'avance sur la courbe d'une quantité infiniment petite dans le sens de la flèche ; nous aurons donc

j ^^'f'd}dy^-fudl^—j u^dU

en désignant par L la longueur de la projection de ^ sur le plan à^sx.y.

COUïLVNTS LINÉAIKES PERMANENTS. ^l

Nous pouvons mettre maintenant dx au lieu de rf$, en admettant pour dx l'un ou l'autre signe, et nous aurons

J df -^ J dL

On trouve de même

fdxj'!^^d.:=fu^dU.

en désignant parL, la longueur de la projection de ^sur leplandesj:, 5. On a donc

de dû

A 1= / uy-JT-dL-{- ^j^ dL^ ).

Or la coordonnée x du contour S peut être considérée comme une fonction de s et aussi comme une fonction de L et L, ; on a donc

dx . dx ,, dx ,, ds dL dLi

et il en résulte

, ds.

Si nous désignons par v eiw deux fonctions semblables à ^ et que nous posions

,. rfd^v . dsv \,

L — / ( -T- cos/ — -T- cosmjda,

nous obtiendrons de même

B^/4./.. C^f4^cis.

Théorème II. — Soient les expressions

Y dw di> du div d^> du

dy dz dz dx dx dy '

qui satisfont à la condition

d\ d\ dL

dx dv ' dz

on aura

I (Xcos/-H Ycosm -hZcos n)dG " / ( " "77 "^" ^' TTT '^^^'cf)^^'

En effet, si nous remplaçons dans l'intégrale du premier membre les quantités X, Y, Z par leurs expressions, nous trouvons qu'elle est égale à la somme des trois intégrales A, B, C, et, en remplaçant A, B, C par les intégrales prises suivant le contour de a et trouvées ci-dessus, nous obtenons cette formule.

Potentiel d'une double couche magnétique sur une autre.

21. D'après ce qui a été dit au n'^ 18, le potentiel d'une double couche magnétique F de puissance constante o sur un système magnétique quelconque a pour expression

W 1.- O / -T- cos/. -^ ,- COSU H — 7- cosv ]d7; J \ax dy ^ dz y '

X, V, 3 sont les coordonnées de rfci, élément de surface de la double couche; X, [jl, v sont les angles de la normale positive k d'y avec les axes de coordonnées et P est le potentiel du système magnétique au point (x, y, z).

Réduisons d'abord le système magnétique k un aimant infiniment petit; désignons par M son moment, par t son volume et par /, /w, n les angles directeurs de son axe magnétique; nous aurons pour son potentiel

/<//•-' dr ^ df'-^

I)-~ M 7 —, C0S/-1 r— COS/« H T-r COS/2

' \du; dy dz

(în désignant par(.r', v', z') les coordonnées du centre de cet aimant et par r la distance de ce point au point (r, v, s), où l'on prend le

COURANTS LÎNKAIRES PERMANENTS.

potentiel p. On peut aussi écrire pour cetto expression

pri:- Mt — ; — COs/-|- -:^ COSWH ,- COS// ,

^ \ dx a y (iz J

et il en résulte

dp ^, fd-r-' , d'-r-' d'r-'

-;- — — MtI -, T ces/ -h —, ;- COS/?? -î 7-;r- COS/i

\dx dz

dz \dxdz dy dz dz^

Remplaçons .^ par sa valeur

r/c« r/j^* dv^

et nous obtenons

dp ^, d /dr-' , dr ^ \ ^, d fdr-' dt-' \

dz dx \ dz dr ) dy \ dy dz j

Prenons maintenant pour Taimant infiniment petit un élément d'une couche magnétique F de puissance ç' et désignons par rfor' la superficie de cet élément; nous devrons remplacer Mt par ^'drf , et, pour avoir

la valeur de ^, relative à l'action de la couche F, il faudra intégrer

l'expression précédente sur toute la surface a'; nous aurons ainsi

'Tz^-'-'^dxj\-dT'''^^~--dx' ^<>S/^j./^

en remplaçant sous le signe d'intégration les différentiations par rapport à X, y, z par d'autres par rapport k x\ y\ z\ coordonnées de ch' Posons

~ / V TT^ C0S/7Î ^j^ cos// ) dfj ,

*' - / -j—f ^'os/ ;— - CCS/;/ ]dfj'

f\f\ CHAPITRE II.

et nous aurons

dz ""^ \dx dYl

Ainsi l'expression de W, potentiel de la double couche F sur la double couche F, devient

, riY^'H ''<i\ ^ ('f^ '/H\ (dG dV\ 1 .

>V = - 09' j |^(^^^^; - ^- j COSX + ( ^ - ;^ j COSf. -H (^ - ^- j CCS vj rf,

et, d'après le théorème II démontré ci-dessus (n*" 20),

D'après le théorème I, nous pouvons aussi remplacer F, G, H par des intégrales relatives au contour entier de F, et nous aurons

Portons ces valeurs dans la dernière expression de W, et nous obtenons

Enfin, si nous désignons par £ l'angle de ds et ds\ nous obtenons

Wzr: -or^' f r^^^^^^dsds'

pour le potentiel de la couche magnétique F sur la couche magnétique F'.

Potentiel d'un courant fermé sur un autre.

22. L'action d'un courant fermé d'intensité ç, en tout point extérieur, est égale à celle d'une couche magnétique de puissance ç et dont le

corn.vNTS linéaires permanents. /| >

bord coïncide avec la ligne s du courant. La même chose ayant lieu pour un second courant, il en résulte que l'action réciproque de deux courants linéaires fermés, maintenus constants et dont les intensités so.nt <p et ç', est la même que l'action réciproque de deux couches magnétiques de puissance <p et ç', et dont les bords coïncident avec les deux lignes de courant.

Ainsi, en désignant par I et l' les intensités des deux courants et posant

cose , , ,

(6) w^-u'fp-^.

— dW sera le travail élémentaire produit dans un déplacement relatif des deux courants, qui provient de leur action mutuelle.

Franz Neumann a désigné cette quantité W sous le nom de potentiel mutuel des deux courants linéaires. Il avait déduit la formule (6) de la connaissance de la loi d'Ampère, dont nous allons bientôt parler.

Remarquons de plus que, d'après les formules (a) du numéro précédent, les composantes de la force magnétique du courant s' au point (,r, y, s) suivant les axes des x, y, z sont

y(da dG\ y.(dF dH\ ^,(rlG dF\ \flf dz )^ \dz dx y \dx dy)^

en d'autres termes, ce sont les composantes de la force exercée par le courant s' sur l'unité positive de fluide magnétique placée au point

23. Concevons, par exemple, que le circuit s' soit fixe et que le circuit s soit rigide et se meuve sous l'influence du circuit 5'.

Soit M un point lié au circuit s et dont les coordonnées sont a, i, c. Menons par le point M trois droites parallèles aux axes de coordonnées. Tout déplacement infiniment petit du circuit s peut être considéré comme résultant du déplacement du point M et d'une rotation autour de ce point; rfa, rfè, de étant les composantes du déplacement du point M et ^f , ^^, d]/ étant les composantes de la rotation des axes que nous avons menés par M, nous avons

— dvf — — - , — da 7— db >— de — , — d^ — ,— dy — ,,-d^i

da du de do ' d/^ ^" d^ ^

46 aiAPITRR II.

^W ciW dW

da db ' de

sont les composantes de la force qui tend à faire

mouvoir le point M et ^- > .— y ,y sont les composantes do

l'axe du couple qui ten 1 à faire tourner le circuit s autour de ce point. Les coordonnées des points du circuit s peuvent être désijîjnées par

et Ton aura

dl dx^ dndy[ < dz' ^'^^^~~ ds ~ds' '^ dsW ~^ ds d/'

il en résulte

Wzz -

lY, r f __ ff^d.r^-^ dn dv' -h r/r dz'

J J [(«4-f-.r')«-t-(/>-f-Yl~-/)*-H(c-.H.^-c')'r'

puis nous en concluons

^'W ^„ r r {a-\-l — œ')idldx'-^df\dY'-\-di:dz')

on obtient de même les deux autres composantes de la force.

Pour former --7— > imaginons une rotation infiniment petite du circuit s autour de la droite MX menée par le point M parallèlement à l'axe des x. En désignant par R la distance du point {x^y.z) à la droite MX, nous pouvons poser

y—bz^ Rcoso, z — C". Hsin9,

où R est constant et l'angle ç variable, et nous avons

-— :— o, -,- " - Rsm© — — (::-- c), -,--- Rcoso :: V — ^;

do do ^ r/9 . v '

puis nous obtenons

d /i\ i [, ,.dx dv , ,.àz~\

ds' zzz -z-{ -j- dx' -f- -7- dy' -^ -^dz'\ «9 \ ds ds '^ ds J

dcos£ , , d ( dx , , dy , , dz d(^

d /dz\ ds \d^ )

ds -^ ds

D'après ces expressions, on conclut, pour le moment des forces autour de la droite MX ou pour l'axe du couple composant suivant MX,

- fi -= "' f/ r~— -^';^ ''^ + Ky-y')(-^-z c):r.ll-=')(y-') cos.dsds'].

On en conclut, par analogie, les moments autour de deux autres droites menées par M parallèlement aux axes des y et z.

Action mutuelle de deux éléments de courant.

24. Après avoir obtenu l'action mutuelle entre deux courants linéaires fermés, nous pouvons nous proposer de déterminer l'action mutuelle entre deux éléments de courant, en admettant que cette action a lieu suivant la droite qui les joint.

Désignons par ^l^c&dV' la force que les éléments de courant, situés sur ds etds\ exercent l'un sur l'autre, en prenant cette force positive, quand elle tend à faire décroître la droite rqui joint les milieux de ds et ds\ Soit Br l'accroissement de r provenant -d'un déplacement virtuel du système des deux courants; il en résultera, par l'action mutuelle de ds et rf>', le travail

— ^dr ds ds\

et le travail produit par l'action mutuelle des deux circuits s'obtiendra en intégrant cette expression le long des contours s et ^ des deux courants; ce travail est aussi égal à la variation — SW, éprouvée par — W (n° 22), et nous obtenons

(i) — ô\V=r— / I ^ordsds\

Calculons ensuite la variation de

W ---IV f f'^dsds'.

En désignant par (j-\y, s) et (^',7'» -') les centres de ds et ds\ nous avons

I r/M/M __ ff.r (Ir^ ci y ffy* r/z rfz'

i dsds' ds ds' ds ds' ds ds' *

et il en résulte

w 1 II' f 7v;[£L! r^.

2 J J as as' r

En prenant la variation de cette expression, on a

^w.' 'ii»rrr "»'/M'*) ''/'o'^'Mi . .,

Transformons la seconde partie de celte formule. En intégrant sur toute la ligne fermée s\ on a

* I d* or* , , I r d or*

/• I d* or* I r d or* , ,

7 did7'^' ~ ^J d7 ~dT'^' '

multiplions cette équation par ds et intégrons le long de s : nous aurons

Remplaçant dans BW^ nous obtenons Nous avons ensuite

2 r or ds ds' .

' ir

r* ds ds' ds ds'

' 2 fdr dr d* r

/•* \ds ds' • ds ds

1^—1 I" dr^ dr^ __ d*(r*) ~\ s') ~ /•» L ^5 ^// ds ds' J

Regardons la direction de la droite r {fig. 9) comme allant de ds' vers ds et désignons par 6 et 6' les angles de la droite r avec les tan-

Fig. 9-

gentes à ^ et *' menées dans le sens de l'accroissement des arcs s et s' . Nous en concluons les deux premières de ces trois équations

dr ^ dr ., d^{r^)

^^ ^cosQ, ^-, =-cos9', ^^ --2cose,

la dernière ayant été obtenue ci-dessus. Nous avons donc

(4) i , , / +2/--y— ^-7 =z -t(— 3COS0COS0'4-2COS8).

/•' ds ds' ds ds' r* ^ '

Les expressions (1) et (2) devant être égales, quel que soitSr, les éléments des deux intégrales doubles doivent être eux-mêmes égaux, et l'on en conclut, en se servant des égalités (3) et (4),

ir ds ds'

(6) ^dsds' = ^ (2C0S£ — 3 cosôcosQ').

Cette dernière équation représente la formule trouvée par Ampère pour l'action entre deux éléments de courants I ds et V ds\ Il l'a obtenue, en 1822, comme résultat de ses expériences combinées avec le calcul ; les travaux d'Ampère en Électrodynamique renferment les premières recherches théoriques faites sur ce sujet.

La formule (5) peut se mettre sous cette forme extrêmement simple

qui a été aussi remarquée par Ampère.

5o CHAPITRE II.

25. Si deux éléments de courants sont parallèles et de même sens et de plus perpendiculaires à la droite qui les joint, on fera dans la formule (6) e - : o, cosô — cosO' — o, et l'action entre les deux éléments sera

IdsA'ds'

Ainsi, d'après le choix que nous avons fait pour la valeur du coefficient p dans le n® 14, nous arrivons à la définition suivante de Tunité de l'intensité de courant linéaire : Si deux éléments de courants de longueur I, de même intensité, parallèles et de même sens, sont séparés par la distance i et perpendiculaires à la droite qui les joint, l'intensité de ces courants sera égale à i, quand l'action attractive entre ces deux courants sera égale à 2.

Ampère divisait par a le second membre de la formule (6); donc, dans la définition précédente, la force entre les deux courants serait égale à i au lieu de 2. Ainsi l'intensité de courant adoptée pour unité par Ampère est plus petite que la précédente dans le rapport i \\[i.

26. Nous avons admis que l'action entre deux éléments de courants a lieu suivant la droite qui les joint. Faisons cependant une remarque sur la loi d'action la plus générale qu'on puisse concevoir entre ces deux éléments.

Supposons le circuit s' fixe et le circuit s seul mobile, et soient en général Sa?, Sy, Iz les projections du déplacement infiniment petit du point (ce, j, z) milieu de ds. Désignons par X ds ds\ Y ds ds\ Z ds ds' les composantes de la force exercée par ds' sur ds\ il est évident que les coordonnées a?, y, z et x\ y\ z' des milieux de ds et ds' n'entreront dans X, Y, Z que par leurs différences oc — x\ y — y\ z — z'\ car X, Y, Z ne changent pas si les axes de coordonnées sont transportés parallèlement à eux-mêmes.

Le travail élémentaire produit dans le déplacement du circuits est

{h) f f{\Sx^Yôy^Zèz)dsds',

Or, en désignant par ^ la force trouvée par Ampère, ce travail est

COURANTS LINÉAIRES PERMANENTS. 5l

aussi égal à

et Sra pour valeur

Supposons ensuite que Sa?, Sy, Sjs restent constants tout le long du circuit Sy en sorte qu'il ne subisse qu'un mouvement de translation. Alors, en désignant par U, V, W des fonctions de .r, y, Zy on aura

puisque, en effectuant d'abord l'intégration le long du contour fermée, on aura un résultat nul. Ainsi l'expression (c) peut s'écrire

( - yy ^ [{X -x')èx + {y- y') ày + {z-z') 3c] ds ds'

Maintenant, il est évident qu'on obtiendra l'égalité des formules (b) et (d) en égalant les coefficients de Sa?, 8y, 8z pris de part et d'autre, ce qui donne les trois équations

Xds=^ — dfds Y-dl],

Z dsz=:-~^\,ds^-^-hdW;

u, V, w sont des fonctions de x — jc\ y — y^ z — z'. Comme X Sa? H- Y Sj 4- ZSjs doit rester invariable par un changement des axes de coordonnées, il résulte des formules (e) que l'expression

t/U hx -\- dN ^y -\- d^ hz

est aussi invariable par ce changement. Ainsi U sera symétrique par rapport à j — y et z — z\ et Ton déduira V et W de U, en faisant sur les lettres a?, j^ z la permutation circulaire (a?, y^ s).

En ajoutant aux composantes de la force d'Ampère ^dsd/ respectivement les expressions d\}cls\ d\ ds\ dW ds\ on aura les composantes d'une autre action élémentaire de ds' sur ds, d'après laquelle deux courants fermés resteront soumis à l'action mutuelle trouvée précédemment.

On pourra prendre pour U une infinité d'expressions et à chacune correspondra une action particulière.

Seconde expression du potentiel mutuel de deux courants fermés.

27. Nous avons trouvé (n** 24), pour le potentiel de deux courants l'un sur l'autre,

W-iir r rd'{r^)dsds' OU

Or, en intégrant par parties tout le long de la ligne fermée s\ on a

J ds'\ ds) r ' J ds ds' r

et, en substituant dans W, on obtient

J J ds ds'

dr dr dsds'

Ensuite, on a (n*^ 24)

et il en résulte

d'' d dr ^

w=-u' ff^-^^^^dscis:

Action d'un courant fermé sur un élément de courant.

28. Ayant trouvé Taction d'un élément de courant sur un élément de courant, on peut, par une intégration, trouver les composantes de Taction d'un courant sur un élément de courant. Nous avons obtenu, pour la force exercée par l'élément de courant V ds' sur l'élément \d$^

et cette force a été prise positive, quand elle tend à diminuer r. Ainsi (a?, y, z) et {x\y^ z') étant les points milieux de ds et û&', nous avons, pour la composante suivant l'axe des x de la force exercée par ds' sur dSf

ûc — x' dr dr

F. = II'rf.*'(a---^'^j^-,

•* ds ds'

par suite, nous aurons pour la composante suivant l'axe des x de l'action du courant fermé / sur l'élément ds de courant

A Il asj \^2 ^., ^^ ^^^, ^.^ ^ ^^,j as ,

l'intégrale étant prise sur tout le circuit s'. En intégrant par parties, on obtient

Ç x-x' d^r .^rdr±(x-x^\

/x — x' dr dr , , C d ( x — x' dr\ , ,

-pr- ds 5?^^ -^j 5? \—p^ ds)''^^

On en conclut

V ¥¥/ ^ rr dr d x — x' d /x — x'dr\],,

X^lVdsJ [- .^ ^-p —^ ,. r-, (^-- -- ^ jj ds'

-, , /T ' '^^' ^'' a: — x' dr dr x — x' d}r'\

J Ir^W Ts^ f^ di dP "^ "Fï" dTdP] *

=lVds r(^-^')' ± (-J-.— ±\ ds:

J r* ds' \x — x' ds J

On a ensuite divisons par x — ocf ^i difTérentionspar rapport à s' : nous obtiendrons

'd^\x^l^ ds)-'^ {x-x'y\^y ^'ds'"'^^ '^>'m\Ts

et, en substituant cette quantité dans l'expression de X, nous trouvons la formule

x=4-ii'rfr/l[(^-v')^-(x-x')g;]rf.'

lVd.f^\ix-x')^r-i>--^')%]<is'.

Les composantes Y, Z de la même force s'obtiendront par une permutation circulaire sur les lettres x^ y, z.

29. Désignons par 0' l'angle de ds' et de la droite r qui joint ds' à ds; puis projetons sur les plans de coordonnées le triangle construit sur retd>'. Menons une normale N au plan de ce triangle, en choisissant sa direction de manière que N, ds' et r se présentent dans le même ordre que les axes des s, des x et des y. Alors, si nous appelons X, (ji, V les cosinus directeurs de N, nous aurons pour les projections du triangle

Irds'^ïne'— {z-z') df— (7-7') dz', ixrds' s\n9'-—(x — x')dz' — {z — z') dx', V rds' s\n9'=^ (7 — y')dx* — {x — x')dy.

D'après cela, les expressions de X, Y, Z deviennent

Y = lVp-^:rlÉ^smB'ds\ Z=IV ft^^ sine' ds'.

Désignons ensuite par A, B, C les quantités suivantes :

ces quantités peuvent se mettre encore sous une autre forme. En effet, si l'on pose, comme au n® 21,

p=/i/^'*. c.,/;.f*'. H-.fi§,.,

on a aussi

dy dz^ dz dx dx dy

Nous avons ensuite pour les composantes X, Y, Z

X=:ir(Cd>-Bé/5), Y--.ir(Arf5-Cé/a?), Z=ir(B^a?-Ady).

Désignons par L {^fig. lo) la droite qui passe par le point {x,y,z)

Fig. 10.

et qui se projette suivant A, B, C sur les axes des coordonnées. Il résulte des expressions de X, Y, Z que la force R que le courant fermé s' exerce sur l'élément ds est perpendiculaire à la droite L et à l'élément ds. De plus, la direction de la force R est telle que R, c& et L se présentent dans le même ordre que O-s, 0^ et Oy.

Le plan passant par L et e/y a été appelé par Ampère flan directeur et

la droite L, qui ne dépend pas de la direction de ds^ la directrice de l'action du courant/ au point {x, y, z). D'ailleurs, en multipliant A, B, C par r, on obtient les composantes de la force magnétique du courant ï au point (x,y, z) (n^ 22). En ajoutant les carrés de X, Y, Z, on obtient

R* - Pr*[L* ds^- (Adx-hBdy-hC dzy]

n:zzll'Ldss\n{L,ds),