De cette formule on peut déduire le théorème suivant
La composante de la force, qu'un courant fermé exerce sur un élément de courant ds situé dans un plan P, prise suivant ce plan P, est indépen^ dantede la direction de ds dans le plan.
Soient MS {fig. 1 1) la position de- l'élément ds et R' la projection de
la force R sur le plan P; R est perpendiculaire à MS et à la directrice L, par suite perpendiculaire sur Je plan SML. Désignons par a et p les angles du plan P avec RMS et SML; nous aurons
R'z=iRcosa = Rsin(3,
et, en mettant pour R sa valeur,
R'r=irL^5sin(L,d:s)sinp.
Désignons par u l'angle que Lfaitavec sa projection U sur le plan P;
l'angle trièdre MSLL' donne
sinu = sin(L, ds) sin(3,
et il en résulte
^'=lVLdssmv.
Directrice d'un courant ferme infiniment petit,
31. D'après ce que nous avons dit au n*^ 29, A, B, C sont les composantes de la force magnétique du circuit s\ lorsqu'il est traversé par un courant égal à l'unité; on peut donc poser
. d^ ^ dV ^ dV
ax dy dz
en désignant par P le potentiel d'une double couche magnétique terminée au circuit s' et de puissance égale à i.
Supposons ensuite que le circuit s* soit infiniment petit et puisse être considéré comme plan ; désignons par co la surface plane comprise par y', par rsa distance au point (a?, y, z) et par dn l'élément de normale à o) mené du côté positif; nous aurons (n^ 14)
d I Pzz: û) 3 >
dn r
et, par suite,
A cf» I -j d^ i d* 1
dndx r dndy r dndz r
où encore, en désignant par (a?', y, 5') un point de (o,
dn r' dn r^ dn r'
Solénoîdes.
32. On appelle solénoîde un système, considéré par Ampère, de
courants infiniment petits, égaux entre eux, normaux à une même
ligne droite ou courbe, qui les traverse et qui est appelée Yaxe du sole-
noîde; ces courants se suivant à une distance constante infiniment petite, prise sur cet axe. On appelle pôles du solénoîde les deux points de Taxe situés sur les plans des deux courants extrêmes.
Dans la pratique, on réalise un solénoide d'une manière très approchée, en enroulant un fil en hélice sur un cylindre ou une portion d'anneau de petit rayon, les tours du fil étant extrêmement voisins, et Ton fait revenir le fil parallèlement à Taxe, afin de détruire les effets de la projection du solénoide sur Taxe.
Concevons que Taxe du solénoîde soit rectifié, et qu'un observateur soit placé suivant l'axe du solénoide, de manière à voir les courants tourner de droite à gauche. L'effet de chacun de ces courants sera le même que celui d'une couche magnétique dont le côté supérieur sera positif; donc il est naturel d'appeler pôle positif le pôle qui est du côté de la tête de l'observateur et pôle négatif celui qui est dirigé vers ses pieds. On peut aussi les appeler/wJfe nord ci pôle sud à cause de leur analogie avec les pôles d'un aimant.
Désignons par / la longueur de l'axe du solénoîde comprise entre le pôle sud et un point quelconque de cet axe. En remplaçant dn par dl dans les formules du numéro précédent, nous aurons pour les projections de la directrice du courant élémentaire dont le plan coupe l'axe au point (a;', y, z')
A d x — œ' „ dy—y' d z — z'
al r* al r' al r'
Les courants étant considérés comme infiniment rapprochés, désignons par hdlle nombre des courants qui se trouvent sur dl. Pour avoir les projections de la directrice relative à tout le solénoîde, il faudra multiplier les expressions précédentes par hdl et les intégrer dans toute la longueur de l'axe, et nous aurons pour ces projections
Dî)
COURANTS LINÉAIRES PERMANENTS. 5g
en désignant respectivement par (^72,^2» ^a) ^t (x^,y^, z^) les pôles positif et négatif Pj et P< .
33. D'après le n®29, les composantes de l'action du solénoïde sur l'élément de courant ds, dont les projections sont dx, dy^ dzy ont pour valeurs
X — ir(G d> — ift, dz), Y =: ir(a« ûfo — e dx), Z z= ir(aft, dx — Xdy).
Or cette force peut être regardée comme la résultante de deux actions Ra et R| dont les directrices L^ et L, ont pour projections
. x — x^ „ , y — Vi ^ , z — 5,
Gi = — h(ù
ri >
ces deux directrices ont donc les grandeurs suivantes
- A Cl) - h(ù
^» = 7? * ^j = TT '
et elles sont dirigées suivant r^ et r^.
On obtient ensuite pour les valeurs de Rj et R, (n*^ 29)
ds R, — ir L, (i5sin(L„ ds) = II'Aci) — sin(r„ ds),
ds Ri = ir Ad) -j sin(r,, d!s).
Ainsi, l'action du solénoïde sur l'élément de courant ds peut être remplacée par deux forces produites par ses pôles, et ces forces R, et R, sont perpendiculaires au plan mené par l'élément ds et par la droite r^ ou r^. Mais il faut encore définir la direction de ces forces.
La direction de L, se confond avec r,, en allant de l'élément ds vers le pôle F, (^g. 12). Les directions de R<, ds et L, doivent se présenter dans le même ordre que O5, Ox^ Oy (n^ 29). Donc un observateur placé suivant ds et regardant F, a la force R, à sa gauche.
De même, un observateur placé suivant ds et regardant P^ aura la force Ra à sa droite.
6o CHAPITRE II.
Quant à l'action de l'élément ds de courant sur le solénoide, elle est égale et de sens contraire à celle du solénoide sur ds. Ainsi, cette action sera celle qui sera produite par R'^ etR', égales et contraires respectivement à R^ et R-j. De plus, un observateur, étant placé suivant
dsy s'il regarde P<, aura R^ à sa droite et, s'il regarde P^, aura R', à sa gauche.
Les deux forces R'^ et R', sont appliquées à un point M de ^ supposé lié au solénoïde. On pourra les supposer appliquées respectivement aux pôles Pf etPs, en leur adjoignant deux couples situés dans les plans P^MRj et P^MR', et dont les moments seront R<r, et Rarj.
Ces résultats ont été obtenus par Savary en i823 (*).
Action d'un courant fermé sur un solénoïde.
34. Au lieu de l'action d'un courant fermé sur un solénoïde, on peut chercher l'action égale et directement opposée du solénoïde sur ce courant. Or l'action du solénoïde peut être remplacée par l'action fictive de ces deux pôles. Il suffit donc de chercher l'action d'un pôle de solénoïde sur le courant.
Les composantes de l'action du pôle P^ psir exemple, sur un élément de courant ds^ sont, d'après le numéro précédent.
En remplaçant Ji>,, ifc,, e< par leurs valeurs et intégrant sur tout le
(*) Voir Mémoires de la Société françcUse de Physique, t. II, p. 338.
GOURANTS LINÉAIRES PERMANENTS. 6l
circuit s, on a, pour les composantes de la force de translation,
/x. = -II'A./(i^rf,--21-n^.).
Démontrons ensuite que la somme des moments des forces élémentaires, pris par rapport à toute droite passant par le pôle P^, est nulle. Pour simplifier, mettons l'origine des coordonnées à ce pôle : nous aurons
V TUL zdy—ydz
V 11! L ^dz — zdx
Nous aurons donc, pour la somme des moments par rapport à l'axe des z,
// V V \ %iiu C^^^ dz — z dx) — y{z dy — y dz)
et l'intégrale du second membre peut se transformer ainsi :
/r^dz — zixdx-^-Ydy-^zdz) frdz — zdr C J ^\ ^^^ =J-^^=i''W'
elle est donc nulle, puisqu'elle est prise le long d'un contour fermé. La somme des moments par rapport à l'axe des x ou des y est de même nulle.
Ainsi, l'action d'un pôle de solénoïde sur un courant fermé se réduit à une force unique passant par ce pôle. Donc, aussi réciproquement, l'action d'un courant fermé sur un solénoïde se réduit à deux forces appliquées aux pôles P< et Pa de ce solénoïde. L'une de ces forces a pour composantes les expressions (a) prises en signe contraire et l'autre ces expressions avec le changement de l'indice i en 2.
Action d'un courant fermé infiniment petit sur un pareil courant,
35. Pour déterminer Taction mutuelle de deux courants fermés infiniment petits, substituons-y l'action mutuelle de deux couches magnétiques dont les bords sont situés sur les lignes des courants.
Si I et r sont les intensités des deux courants, ce sont aussi les puissances des deux couches magnétiques. Désignons par co et co' les aires renfermées par ces courants, par (^r, j, z) et {po\y\ 5') les centres de ces aires et par dn et dn! les éléments de normale aux couches, menés du côté positif.
r étant la distance des deux centres, on a pour le potentiel du premier aimant au point {x\y\ z') (n** 31)
dn
et le potentiel du second aimant sur le premier est (n^ 18)
an an an
On a ensuite, pour les composantes de l'action du second aimant sur le premier,
__çrW , d} x — x'
dx dndn' r'
— — =ira) / ^ y -y'
dy dn dn' r*
(fW „, . d} z—z'
dz dn dn' r
Action mutuelle de deux solénoîdes.
30. Désignons par / et /' les longueurs des arcs de solénoîdes, comptées à partir des pôles négatifs, et, en général, employons les mêmes lettres qu'au n** 32 pour le premier solénoïde et affectons ces lettres d'un accent pour les quantités correspondantes dans le second solénoïde.
La composante suivant Taxe des x de la force produite par les courants normaux à dl sur les courants normaux à dl est, d'après le numéro précédent,
^^z II' 0)0)' ':^, "E^lJ^dldV, cil ai' n
et la composante de la force produite par le second solénoïde sur le premier sera
les intégrales étant prises le long des axes des solénoïdes depuis le pôle négatif P< ou P'^ jusqu'au pôle positif Fa ou P'^. Les deux intégrations se font immédiatement et, en désignant par r^j la distance du pôle P/ au pôle P}, on a
X = M'II'ww'(^î-— ^-^^î-T^-^l^' +£lZl£l),
et l'on obtiendra les deux composantes de la même force suivant les axes des j ou des z, en changeant la lettre x en 7 ou z.
Donc, en ne s'occupant pas d'abord des couples, on peut remplacer cette force par les actions des pôles P'^ et P!, sur les pôles P< et Pj, l'action étant répulsive pour des pôles de même nom et attractive pour des pôles de nom contraire; ces forces agissent en raison inverse du carré de la distance, et leur grandeur pour l'unité de distance est
M'iro)o)'.
Tout solénoïde S peut être remplacé par deux solénoïdes infinis Sa et S, qui ont un pôle à l'infini et qui ont pour autre pôle, l'un le pôle positif P2, l'autre le pôle négatif P, de S, On peut de même remplacer un second solénoïde fini S' par deux solénoïdes infinis S\ et S'^. Donc, pour avoir l'action de S' sur S, il suffit de prendre les actions de S, et S^ sur S\ et Sj. Or S'^ pouvant être considéré comme un système de courants, l'action de S\ sur S,, par exemple, se réduit, d'après le n° 34, à une force unique passant par le pôle P^ ; de même cette force passe par P^. Il n'y a donc pas d'autres actions que celles qui ont été données ci-dessus entre les pôles.
64 CHAPITRE n.
Action d*un aimant sur un courant.
37. En général, dans les aimants, il n'existe pas véritablement deux pôles, c'est-à-dire deux points tels que l'action extérieure de l'aimant puisse être remplacée par l'action de ces deux points en lesquels on imagine concentrées des masses de magnétisme égales et de signe contraire.
Toutefois on a vu, dans la théorie du Magnétisme (Théorie du Potentiel, IV Partie, Chap. IV), qu'on peut concevoir un corps allongé de section très petite, dans lequel le magnétisme soit distribué uniformément et dont l'action soit équivalente à celles de masses de fluide magnétique égales et de signe contraire, placées sur ces deux bases.
Ces aimants ont été appelés solénoîdaux simples^ précisément à cause de leur complète analogie avec les solénoïdes d'Ampère, dont l'action, comme nous avons vu, peut être remplacée par celles de deux pôles situés à leurs extrémités. Ainsi, les lois trouvées ci-dessus pour les actions entre les solénoïdes et les courants peuvent être appliquées aux actions entre les aimants solénoîdaux simples et les courants.
Ces aimants solénoîdaux sont à peu près impossibles à réaliser dans la pratique; mais, si l'on emploie des cylindres longs et de petite section, aimantés avec soin à saturation, on peut admettre avec une grande approximation que l'action d'un tel aimant est équivalente aux actions de deux pôles situés vers les extrémités, et que cette action est encore la même que celle d'un solénoïde.
Supposons qu'on remplace deux de ces aimants par deux solénoïdes qui aient respectivement les mêmes pôles que ces aimants. L'action entre les pôles positifs, à l'unité de distance, aura pour grandeur
(I) hh'\V(ùtù';
désignons par [x et \l' les masses magnétiques des pôles positifs des deux aimants; l'action entre ces deux pôles à la distance i est [Xjx' et, en égalant cette action à la précédente, nous obtenons
38. L'action du pôle positif? d'un solénoïde, dont les éléments sont
COURANTS LiNÉAlRES PERMANENTS. 65
A, I, 0), sur un élément ds de courant d'intensité /, a pour grandeur
ds Ri=/iIcoy-;jj sin(r, <i5),
r étant la distance entre P et ds^ et cette force est perpendiculaire au plan mené par ret cfe. En remplaçant, d'après ce que nous venons de voir, Alct) par [x, nous aurons, pour Faction du pôle positif d'aimant sur un élément de courant ds,
ds (3) R=:fxy~sin(r, £/5),
et la direction de la force reste la même.
On peut remarquer maintenant que le choix qui a été fait (n^* 14 et 25) du coefficient de l'action électrodynamique simplifie un peu les formules précédentes. Si, comme Ampère, on avait divisé la formule de cette action par 2, l'expression (1) eût été multipliée par ^ et l'on aurait eu, au lieu de (2),
39. Cherchons l'action d'un pôle positif P d'aimant sur un courant dont le circuit est formé de deux lignes droites AB, BC, qui font entre elles un angle 2a et supposons le pôle P sur le prolongement de la bissectrice de cet angle.
Désignons par b la distance de P {fig. i3) à la droite AB et paru
l'angle BMP. Comptons la ligne s à partir de B, et nous aurons
s ■=. BM -— b cota — b cota,
smu
Donc, d'après la formule (3), on a, pour l'action du pôle P sur l'élément de courant ds.
Cette force est perpendiculaire au plan de l'angle et, d'après le n° 33, elle est dirigée en avant du plan de la figure. Donc toutes les actions élémentaires exercées par le pôle P sont parallèles et de même sens, et elles ont pour résultante
^ / sinxdx =z -^{i —cosoc);
en introduisant BP = a au lieu de 6, on a, pour la force qui sollicite le courant,
(4) ^^tang^,
et cette force est perpendiculaire au plan de l'angle et dirigée en avant de ce plan. La force exercée par le courant sur le pôle P est égale et de sens contraire, et tend à faire mouvoir P en arrière du plan.
La formule (4) a été obtenue par Biot et Savart au moyen de l'expérience, et Laplace en avait conclu la formule (3) pour l'action entre un pôle d'aimant et un élément de courant.
Dans le Chapitre précédent, nous nous sonomes occupés seulement des forces mécaniques qui agissent entre des circuits linéaires supposés traversés par des courants constants ou encore entre un tel circuit et des aimants. Ces forces tendent donc à faire mouvoir les aimants ou les conducteurs linéaires qui portent ces courants.
Mais, si l'on déplace effectivement, par rapport à un courants, un aimant ou un autre courant S', il se produira pendant ce déplacement une modification dans l'intensité du courant S ou, en d'autres termes, le circuit qui porte le courant S sera traversé par un autre courant. On peut aussi laisser fixes les courants S et S', et, si l'on change l'intensité de S', il. en résultera encore pendant ce changement une modification dans l'intensité de S.
Ces phénomènes, qui ont été reconnus expérimentalement par Faraday, portent le nom de phénomènes d'induction. Nous allons les démontrer et les calculer dans ce Chapitre.
Potentiel d'aimants ou de courants sur un courant linéaire fermé.
{. Considérons un aimant H et un courant électrique fermé S d'intensité I. Construisons une surface a terminée à la ligne du courant et prenons cette surface pour la surface moyenne d'une couche magnétique de puissance I. Nous avons vu que l'action de l'aimant H est la même sur le courant S que sur la couche magnétique et qu'ainsi le potentiel de H sur le courant S a pour expression (Chap. II, n** 18)
j dn
68 CHAPITRE m.
ou
P étant le potentiel de l'aimant H au point (a?, y, z) situé sur rfo-, rf/i l'élément de la normale à e/o-, menée du côté positif, et X, (x, v les angles de cette normale avec les axes de coordonnées.
D'autre part, dans le Chapitre II (n** 21), nous avons vu qu'on a, pour le potentiel d'un courant S' sur un courant S, la formule
W — — ir C{\ cos). -+- Y cosjjL -+- Z cosv) de,
l'intégrale étant étendue, comme ci-dessus, à la surface a limitée à S, et l'on a
df dz dz dx dx dy
OÙ F, G, H sont des intégrales prises tout le long de S' et sont fonctions de x,y, z, coordonnées d'un point situé sur S. La fonction W peut aussi s'écrire
Si nous avons un nombre quelconque de courants S' définis par les quantités F, G, H, T, posons
{b) ivy^ = x, 2;rY=zaib, 2rz--:8,
2rF=^, irGi^g, irH--^-^,
le signe 2 servant à sommer des quantités semblables pour tous les circuits; x, ifc, G sont les composantes de la force magnétique totale exercée par les courants S' (Chap. II, n° 22), et nous aurons
' dy dz^ dz dx dx dy
Nous obtenons alors pour le potentiel de tous les courants S' sur le
courant S les deux formules
W = —l I (al>cosXH-'i)bcos/x4- Ocosv)rf(T,
Enfin, si nous considérons le potentiel W d'un système d'aimants et de courants sur le courant S, nous poserons, au lieu des équations (b), les trois suivantes :
en désignant par P le potentiel des aimants ; puis nous poserons les formules (c), qui définiront ^, ç. S, et le potentiel W sera encore donné par les formules (d) et (e).
La force dont les composantes sont ^i,, ife, O est la force magnétique exercée par les courants S' et par les aimants.
2. Action électrodynamique sur un élément de courant. — Nous avons trouvé (Chap. II, n® 29), comme conséquence de la loi d'Ampère, que l'action du courant S' sur un élément de courant \ds ^ pour composantes
(/) -X = II'(zg-Y^-V.. •••■
Ensuite tout aimant peut être partagé en parties infiniment petites, assimilables à des éléments de doubles couches, et les actions de ces éléments de doubles couches peuvent être remplacées par celles de courants infiniment petits. D'après cela, désignons encore par ^i,, ift), e les composantes de la force magnétique provenant des courants et des aimants, et, en sommant des expressions telles que (/), nous aurons, pour l'action électrodynamique produite sur un élément de courant par les courants et les aimants, la force dont les composantes sont
70 CHAPITRE m.
3. Idées d'Ampère sur le magnétisme. — Bien que nous venions de substituer à Taction d'un aimant celle d un nombre infini de courants fictifs, nous n'admettons nullement les idées d'Ampère sur le magnétisme.
Suivant Ampère, chaque particule d'un barreau aimanté renferme les deux électricités qui se meuvent en un circuitvoltaique permanent dansVintérieur de cette particule.
Mais nous savons qu'un courant en général éprouve une résistance et, par suite, engendre de la chaleur. II devrait donc se produire une dépense continuelle d'énergie dans un aimant, ce qui est absurde. Il est vrai que, pour éluder cette difficulté, on a fait la supposition que ces courants ne rencontrent aucune résistance; mais cette hypothèse n'a aucune vraisemblance.
Il faut remarquer aussi qu'on sait maintenant que tout système de courants permanents qui traversent un corps a un potentiel électromoteur, et nous verrons dans le Chapitre suivant que ce potentiel provient d'une double couche d'électricité qui enveloppe ces courants. Ainsi la théorie du magnétisme d'Ampère n'a pas même pour elle une apparence de simplicité.
Remarquons aussi que la polarisation électrique, que nous avons étudiée {Théorie du potentiel^ II* Partie, Chap. III et IV), est un phénomène tout semblable à celui du magnétisme, et le raisonnement d'Ampère ne peut même plus être essayé pour expliquer ce phénomène.
Force électromotrice d'induction.
4. Supposons que des aimants soient déplacés par rapport à un circuit conducteur S traversé par un courant et, pour simplifier, supposons que, pendant un instant dt de ce déplacement, l'intensité I du courant reste constante. Cette intensité I représente l'intensité du courant de la pile modifiée par l'induction.
Comme le potentiel W du courant sur les aimants renferme le facteur I, représentons-le par III. Le travail électromagnétique qui en
provient pendant l'instant dt sera dT^^ ^^ ~ ^~dt^^ (Chap. II,
n^ 23). Le travail de la force électromotrice E, développé par une pile
dans le circuit conducteur, sera Eldt (Chap. II, n"^ 1) et le travail qui produit la chaleur dans ce fil est PRrf/, R étant la résistance du fil. Le travail développé par la pile doit être égal au travail absorbé dans les deux autres actions; ainsi Ton a
ou
dt
dt
Ainsi la force électromotrice, qui serait E sans le déplacement des aimants, devient E -f- -r-] donc -7- est la force électromotrice d'in-
dt dt
duction produite dans l'instant dt par le mouvement des aimants.
Au lieu de déplacer des aimants par rapport au circuit S, faisons mouvoir d'autres courants et admettons qu'on les puisse maintenir constants. Désignons encore par W ou III le potentiel de ces courants sur S; supposons aussi que l'intensité I de S reste constante pendant
dt et, par le raisonnement précédent, on obtient encore -j- pour la
force électromotrice induite dans S pendant cet instant.
La détermination de la force électromotrice d'induction par le principe de la conservation de l'énergie a été donnée, en 1846, par M. Helmholtz {voir tome I de ses Mémoires, p. 62).
Recherches de F. Neumann.
5. Franz Neumann a donné le premier, en i845, une théorie mathématique des courants induits. Il est arrivé à ses résultats d'une manière assez longue, en s'appuyant sur la formule d'Ampëre relative à l'action entre deux éléments de courant. Regardant le circuit inducteur comme fixe et le circuit induit comme mobile, il admet que la force électromotrice d'induction produite dans chaque élément du circuit induit est proportionnelle à la vitesse du déplacement de cet élément et à la composante de la force d'Ampère suivant la direction du déplacement.
Mais nous allons employer l'expression trouvée dans le numéro
72 CHAPITRE m.
précédent pour la force électromotricc d'induction à la détermination des résultats obtenus par Neumann.
Supposons un circuit inducteur S' traversé par un courant d'intensité constante V et un autre circuit S qui n'est d'abord traversé par aucun courant. Si l'on produit un mouvement relatif entre les deux circuits, il en résultera dans S une force électromotrice d'induction
dt
n étant le potentiel du courant S' sur le circuit S supposé traversé par un courant égal à l'unité. Comme II renferme V en facteur, posons
alors M sera le potentiel, changé de signe, d'un circuit sur l'autre, quand ces deux circuits sont traversés par un courant égal à l'unité et, d'après ce que nous avons vu (Chap. II, n** 22), on a
M=fp-^dsds',
t étant l'angle des éléments ds, ds' des deux circuits et r leur distance. Nous avons donc
dt
L'intensité/ du courant induit a évidemment pour valeur ^^ R étant la résistance du circuit S; ainsi nous avons
^~ R de'
Si le circuit S est transporté d'une position connue à une autre, on aura pour le courant intégral induit, c'est-à-dire pour toute la quantité d'électricité qui traversera une section de ce conducteur pendant son mouvement,
l'indice o ou i indiquant qu'on prend la valeur de M à l'instant initial ou final.
6. Neumann passe ensuite de la manière suivante au cas où l'intensité r est variable :
Si, S restant fixe, nous amenons le courant S' d'une distance infinie, nous aurons le courant intégral qui traversera S, en appliquant la formule précédente et y faisant Mo = o; nous avons ainsi, pour ce courant.
Mais nous obtenons une action identique si S', étant resté immobile dans la dernière position, est traversé brusquement par un courant d'intensité T. Ainsi, dans ce cas encore, le courant intégral induit sera égal à (a).
Supposons ensuite que l'intensité F, d'abord constante, se change brusquement en I',, l'intensité V se sera donc accrue de l\ — T, et cet accroissement produira dans S le courant intégral d'induction
Enfin, si l'intensité V varie d'une manière continue, à l'accroissement dï produit pendant dt correspondra le courant différentiel induit
Maintenant produisons simultanément un déplacement relatif des conducteurs et un changement dans l'intensité T, le courant différentiel induit se composera des deux parties, dues à ces deux causes prises séparément, et nous aurons pour ce courant
ou Ainsi la force électromotricc d'induction sera —17-^9 et nous
Clt
7/4 cuAPiTnE m.
aurons pour le courant intégral
(/O j=-^[(i'M),-(rM)o],
les indices ayant la même signification que ci-dessus.
On voit donc que le courant intégral, ou la quantité d'électricité qui traverse une section du conducteur induit, ne dépend que de la valeur de TM à l'instant initial et à l'instant final.
Le courant J pourra être constaté par l'aiguille d'un galvanomètre, et, si le temps qui s'écoule entre les deux positions extrêmes du système est très petit par rapport au temps que met l'aiguille du galvanomètre à se déplacer, la grandeur de la déviation ne dépendra que deJ.
Les formules précédentes sont encore applicables si le conducteur S subit une déformation qui n'altère pas la grandeur de ses éléments.
Supposons ensuite que le conducteur S change de forme en prenant de nouveaux éléments, ainsi qu'il arriverait si le circuit se composait d'une pièce fixe KFL (y?^. 14) fermée par une pièce mobile EG qui se
transporterait dans le temps t de EG en E'G'. Alors l'expression trouvée pour J ne serait plus admissible, parce que la résistance R du circuit serait variable et augmenterait par l'accroissement du circuit. Néanmoins, dans le temps dt, R peut être regardé comme constant, et l'on a encore, pour le courant différentiel.
Jdt^-^d{V}iL);
on a donc, pour le courant intégral, la formule
' I d(VM)
dt
dty
dans laquelle R est considéré comme une fonction donnée de t, La
force électromotrice d'induction est encore —i — ^•
dt
7. L'extra-courant est un courant produit par l'action d'un courant sur lui-même. On l'obtient en supposant dans la formule {b) que l'inducteur S' coïncide avec le circuit induit S. On aura ainsi, pour le courant intégral qui provient de cette induction,
ïtCmLi — loLo),
en désignant par L le potentiel changé de signe du circuit sur luimême, quand il est traversé par le courant-unité. La force électromotrice d'induction sera ~d7 Remarquons que L n'est variable
qu'autant que le circuit se déforme.
Supposons que le courant soit brusquement intercepté dans le circuit S. Alors l'intensité du courant passera de la valeur I à la valeur o ; le courant subit donc un accroissement d'intensité égal à — I, et l'on
aura, pour le courant intégral d'induction, l'expression ,-r L.
Induction mutuelle de deux courants.
8. Soient I l'intensité du courant d'un circuit S, E la force électromotrice donnée que l'on communique à ce circuit, R la résistance du circuit et enfin L le potentiel changé de signe du circuit sur lui-même quand il est traversé par un courant-unité. Désignons les mêmes quantités relatives au second circuit S' par les mêmes lettres accentuées, puis représentons par M le potentiel changé de signe de S sur S' quand ces deux circuits sont traversés par un courant-unité.
La force électromotrice provenant de l'induction de S sur lui-même
'jG <:irAPiTiiE III.
est ^^ et la force électromotrico provenant de l'induction de S'
sur S est — -.-(MI'). Ainsi nous avons cette équation relative au premier circuit
et nous aurons de même, pour le second circuit,
al
Si Ton suppose que les deux circuits sont de forme invariable et sont fixés, alors L, JJ, M sont des quantités constantes qu'on pourra obtenir, au moyen du calcul, d'après les figures des circuits ou, plus facilement, au moyen de certaines expériences. Les deux équations précédentes, qui sont différentielles du premier ordre par rapport à I et r, pourront donc servir à déterminer ces deux inconnues.
Il en sera encore de même si les déplacements des deux circuits sont produits par l'expérimentateur, car L, M, V pourront alors être considérés comme des fonctions connues de /; mais ces deux équations ne suffiront plus à la détermination de I et V si les circuits sont mobiles et abandonnés à leur action électrodynamique.
Théorie de Vaction mutuelle des circuits électriques.
9. Concevons un système quelconque de circuits électriques qui soient mobiles. Les courants agiront les uns sur les autres en déplaçant les conducteurs qui les portent et aussi en faisant varier leurs propres intensités. Enfin ces circuits pourront aussi être sollicités par des forces mécaniques autres que celles qui proviennent des courants.
On peut, comme Ta fait Maxwell, appliquer à ces mouvements les équations différentielles de Lagrange relatives à un système soumis à des liaisons.
Désignons par ^r^, q,^, . . ., ^'a les k variables indépendantes qui fixent à cbaque instant un système mobile. Pendant un déplacement infini-
ment petit, le travail de toutes les forces qui agissent sur le système sera de cette forme
le signe 8 indiquant la variation des quantités q, et chaque coefficient Q, de cette expression peut être considéré comme une force qui tend à faire croître la variable q^. Désignons aussi par T la demi-force vive du système. Les k équations du mouvement seront renfermées dans la formule
S étant susceptible des valeurs i , 2, . . . , A:.
T est, en général, fonction des variables qi et il est une fonction homogène et du second degré des quantités q\, dérivées des qi prises par rapport au temps t.
Adoptons ensuite pour le système en mouvement celui des circuits et de leurs courants. Nous avons vu dans le Chapitre I (n*' 4) que rintensité'd'un courant est proportionnelle à la vitesse des molécules électriques. Ainsi nous devrons prendre pour une partie des dérivées q\ des quantités proportionnelles aux intensités I|, I2, ...,!« des couï'ants qui traversent les circuits, et les quantités qi correspondantes n'entreront pas dans T; mais T dépendra, en outre, de r variables q^, q^y • • •» ^ry Qui déterminent les positions des circuits, et de leurs dérivées q\y q\y . . ., qr' D'après cela, posons
T=:-+-^L,i;-f-|LjTÎ -h...H-M,.,I,l, 4-...
les quantités L,, La, M, 2, ..., H,, H2, K,,2» • •• étant des fonctions de 70^2» • • •» 9r' Pour toute la généralité, il faudrait supposer que T renferme aussi des termes de la forme Uy^I,; mais nous verrons bientôt que T ne contient pas de pareils termes.
10. Force électromotrice d'induction. — Appliquons l'équation (A) à la détermination de la force électromotrice d'induction produite dans le circuit S<, où l'intensité du courant est I<. Pour cela, dans cette
78 CHAPITRE ni.
équation remplaçons q\ par I| et supposons T indépendant de q^. Alors Q, représentera la force électromotrice E excitée dans le circuit, diminuée de la force RI4 de résistance du circuit. Nous aurons donc
Ainsi la force d'inertie — ^t; -t.- est la force électromotrice d'induction
ai ai|
produite dans le circuit S^.
Nous avons dit que T ne renferme point de termes de la forme Uy^I,. Et, en effet, il en résulterait dans l'expression de la force électromotrice d'induction des termes de la forme
par suite, sans l'action d'aucun courant extérieur et par le seul effet des mouvements des circuits, on produirait un courant dans le circuit S, ; ce qui peut être considéré comme contraire à l'expérience.
Nous avons donc pour la force électromotrice d'induction produite dans S|
Cette expression est toute semblable à celle que nous avons trouvée (n** 8) pour la même quantité. Donc L| représente le potentiel changé de signe du circuit S< sur lui-même, M|,2 le potentiel changé de signe de 84 sur Sa, etc., quand ces circuits sont traversés par un courant égal à l'unité.
li. Action électrodynamique. — Appliquons ensuite l'équation (A) à la détermination de la force électrodynamique, qui tend à faire croître une des variables q qui servent à fixer à chaque instant les positions des circuits.
Soit Q, la force mécanique appliquée au système et qui tend à faire croître q^; nous aurons
^' dt dq', "^ dqs " ^'
Partageons T en deux parties : Tune T, homogène et du second degré par rapport aux intensités I des courants, l'autre Tj homogène et du second degré par rapport aux dérivées q . Cette équation deviendra
dq, \dt dq', dqsj~
La force d'inertie se compose donc de deux parties, dont la première,. ^> dépend seule des courants et donne la force appelée ékctrodynamique. La seconde partie,
d t/Tj dl^^ dt dq'g dq^
se présente dans tout système en mouvement.
Action mutuelle de deux courants.
12. Nous avons trouvé (n*' 8) ces deux équations relatives à l'induction de deux circuits
(i) E-IR =^(LI H- MF),
(2) E'-rR'=i^^(L'r+Mi).
Supposons ces deux circuits mobiles et abandonnés à leur action électrodynamique. Désignons par y^, q^y .•» qr les r variables indépendantes qui déterminent les positions des deux circuits. On exprimera L, M, L' au moyen de ces variables; on transformera aussi l'expression de la demi-force vive Ta des conducteurs dans les variables q et leurs dérivées q\ et, d'après le numéro précédent, on aura r équations de cette forme
(3) ±^T^ ^^^l — P4- --ir-i- i ~i'K
dl dq'g dqs 2 dqs dqg 2 dq.
Il en résultera r -h 2 équations pour déterminer I, T et les r variables q.
8o CHAPITRE III.
Multiplions les équations (i) et (2) respectivement par Idt et Vdt et ajoutons : nous aurons
(4) (El -h E r- RP-- Wr^)di rr: I d{Ll -h MF) -h r^(L Fh- MI).
Le premier membre de cette équation représente, pour le temps rf/, l'excès du travail des piles sur le travail absorbé par la chaleur, et le second membre, pris avec signe contraire, représente le travail dû aux actions inductrices.
Changeons le signe du second membre de la formule (4) et, en le transformant, nous obtenons pour le travail élémentaire des actions inductrices
- \d{LV^ 2Mir+ LT*} - î (P^L H- 2U'dM ^ ï*'dU).
Le travail élémentaire électrodynamique s'obtiendra en multipliant le second membre de l'équation (3) par dq^ et ajoutant toutes les expressions semblables; ce qui donne
\{l^dL -h 211' dM -h V'dL).
Dans le cas où les deux circuits n'éprouvent pas de déformation et où les intensités I et V restent constantes, le second membre de l'équation (4) se réduit à 2lVdM et le travail électrodynamique est égal à irrfM. Les piles doivent donc fournir un travail double du travail électrodynamique, en outre de celui qui est nécessaire pour vaincre la résistance des conducteurs; ce qui a été d'abord remarqué par W. Thomson.
Remarques sur la théorie précédente de V induction des courants linéaires,
13. Nous verrons dans le Chapitre IV que, lorsqu'un conducteur homogène quelconque est traversé par un courant permanent, il se recouvre d'une double couche d'électricité dont le potentiel, joint au potentiel de l'électricité des fils qui apportent et emmènent le courant, est nul en tout point extérieur.
Or considérons deux circuits électriques et supposons que les cou-
INDUCTION DES COURANTS LINÉAIRES. 8l
rants soient apportés et emmenés pour chaque circuit par deux fils parallèles très voisins et très longs, dont les secondes extrémités soient très éloignées du circuit. L'action extérieure des couples de fils parallèles sera négligeable. Si ces deux circuits sont d'abord fixés et traversés par des courants permanents, ils se recouvriront de doubles couches et ces doubles couches sont sans action à Textérieur. Mais, si l'un des circuits se déplace par rapport à l'autre, les courants seront modifiés et en même temps les doubles couches d'électricité changeront; de plus, il y aura de Télectricité libre à l'intérieur et à la surface du fil. Pour plus de commodité, nous donnerons à l'ensemble de la double couche et de l'électricité libre le nom à' électricité libre .
Or, dans la théorie des n*^' 9-12, on tient compte seulement de l'action des courants et nullement de l'électricité libre. Cependant, si l'électricité libre de chacun des fils a une action extérieure, elle doit modifier l'électricité libre de l'autre fil, et ces deux électricités libres, modifiées par leurs actions mutuelles, agiraient à leur tour sur les courants. Les lois de l'induction des courants linéaires seraient donc plus compliquées que celles que nous avons obtenues. Donc, pour que la théorie précédente soit exacte, il faut admettre que l'électricité libre, en se modifiant sur chaque circuit, demeure cependant sans action à l'extérieur, comme lorsque les circuits sont traversés par des courants permanents.
Force électromotrice d^ induction sur un circuit en mouvement.
14. Nous avons vu (n** 4) que la force électromotrice d'induction qui agit sur toute la longueur d'un courant fermé S est donnée par la
formule -^y où l'on peut prendre pour II (n** 1) l'expression
«=-/l*S-4-sï)*-
l'intégrale étant étendue à tout le circuit S.
Supposons que le circuit S se meuve dans un champ contenant des
aimants et des courants. Pour calculer -j-y il faudra donc considérer
at
les points (oo,y, z) du circuit S comme variables avec ^ et nous aurons
dt
rfdS dx dQ dy <S dz\ ^ J \dt ds dt ds dt ds J
J J \dx ds dx ds dx ds J dt
-JK^dTTt^^dÂ-^^dTdtn
les points indiquant deux autres intégrales semblables à la seconde. Dans cette seconde intégrale remplaçons ^- et ^ par leurs valeurs tirées des équations (c) du n** 1 ; elle se changera en la suivante :
dy ^ dz di\ dx , ds ^ ds ds J dt
Si l'on joint le dernier terme de celte expression au premier terme de la dernière intégrale de (A), on a
r/d^ dx ^ d}x \ . r d f^dx\ ,
On en conclut la première ligne de la formule suivante
dt '^ J dt ds ^ J \ ds ds ) dt ^
J U ds ~~J \ ds ^ ^"ds ) di
et les deux autres lignes s'en déduisent par analogie. Toutes les quantités soumises au signe d'intégration sont multipliées par ^> -^ ou ^; et l'on peut écrire
en posant
di ^dy „ dz
^* dt dt dt
On obtient ainsi la force électromotrice d'induction produite sur le courant S. Mais, du raisonnement précédent, on ne peut conclure que la force électromotrice d'induction produite sur ds soit
car, si Ton augmente les quantités ç^,, ç^, ç^ respectivement de
