EL

dx dy dz

en désignant par ^ une fonction arbitraire de x^y^ z et /, l'intégrale (B) n'est pas changée. Néanmoins, par d'autres considérations, nous serons conduits plus loin à regarder l'expression (C) comme représentant la force électromotrice d'induction qui agit sur ds.

Loi de Weber.

16. La loi d'Ampère donne l'action électrodynamique entre deux éléments de courants; on peut aussi d'une loi donnée par Wilhelm Weber déduire l'induction entre deux pareils éléments.

Weber a imaginé de considérer l'action de chaque molécule d'électricité positive ou négative d'un des éléments de courant sur chaque molécule d'électricité de l'autre élément de courant, et, par de certaines considérations physiques jointes à la supposition que l'expression analytique de cette action soit d'une forme simple, il fut conduit à la loi qui porte son nom; il vérifia ensuite que cette loi conduit à celle d'Ampère (Mémoires de la Société Royale des Sciences deSaxe, iS\6),

84 CHAPITRE m.

Soient m et m' deux molécules électriques séparées par la distance r; VVeber donne, pour l'action mutuelle qui s'exerce entre ces deux molécules, l'expression

{a) mm

1 cf^s/r

cette force étant dirigée suivant la droite qui les joint et étant regardée comme positive lorsqu'elle est répulsive. Le premier terme de cette formule donne la loi de Coulomb et le second donne les actions électrodynamiques et d'induction. Le premier terme a été affecté d'un coefficient c*, parce que l'unité de masse électrique n'a pas été prise la même dans Télectrostatique que dans l'électrodynamique. Cette formule peut aussi s'écrire

mm' r , I fdr\' d^r'\

Pour calculer dans ce qui suit les actions des courants, nous pouvons réduire la formule (a) à son second terme.

16. Désignons par I et Y les intensités des courants et par r et v' les vitesses de l'électricité positive dans les circuits fermés S et S'. Désignons aussi par 5 et sf des longueurs prises sur S et S' à partir d'un point fixe. La position de chaque molécule d'électricité de S ou S' sera déterminée par s ou s, et nous pouvons poser

ds ds' ,

Soient m et m! deux molécules d'électricité positive situées respectivement sur S et S'; leur distance sera fonction de s, s' et t, et nous aurons

dJr d\fr d\Jr , d\fr

— 1 •:zz — -~ ç H ^— - v' H î— ,

dl ds ds' dt

OÙ le dernier terme indique une différentielle partielle par rapport à / et provient du déplacement relatif des circuits. Pour simplifier, supposons la section la même le long de chaque circuit et différentions

l'expression précédente par rapport à t; nous aurons

dt"- \ ds* dsds' ^ ds""

d^ JT' ,d}\rr d^sJr

dt ds dt ds' dt'

d\fr âv d\^r âv'

ds dt ds' Ot

En portant cette expression dans la formule

2 mm' d*\^' ~^~dt^'

on aura l'action de m sur m'\ la masse — m, située à la même place que m, exerce sur m' une action qui se déduit de celle-ci en changeant m en — m et aussi v ^n — v, puisque la molécule — w se meut avec une vitesse égale et contraire à celle de m. On en conclut pour l'action de m et — 7w sur m'

Lmm' ( ,d^\fr d-Jr dsj^r âv

^ ' ^r \ ^^^'^ àtds ds dt

et, en changeant les signes de m' et v\ on obtiendra pour l'action totale de m et — m sur — m!

[\mm' f ,d^\i d^\fr ^V^*^\

(^^ ""T^^V ^^' d^' ~'^^dtdi'~ d7 Ttj'

Donc l'élément du circuit S', qui porte les masses m' et —m', est sollicité de la part de l'élément du circuit S, qui porte les masses met — m, par la force dirigée suivant la droite r

i6 mm' ,d^\fr

'J; m — iz — et' — - — • \!r dsds'

Au lieu de prendre pour m et ~ m deux molécules seulement, nous pouvons prendre l'électricité positive et l'électricité négative comprises entre deux sections droites de S distantes de ds; faisons de même pour

771' et — m\ et, d*aprës la définition du courant linéaire, nous aurons et il en résulte

lin'dsds' d^sfr

SIr

dsds'

pour la force qui s'exerce entre les deux éléments de courants situés sur ds et ds\ ce qui est effectivement la loi d'Ampère. (La force ^ est ici prise positive dans le sens contraire à celui qui avait été adopté dans le Chapitre II, n^ 24.)

Mais, d'après les expressions {b) et (c), nous avons à considérer, en outre, la force

t^mm' f d^sfr d\fr dv\

'^~~~sjr\^'dtds.^ dTdiJ'

dirigée suivant r et exercée par tti et — 77i sur tti', et une force égale et contraire exercée sur — m\ Ces deux forces tendent donc à séparer les masses m' et — m\ et changent, par conséquent, l'intensité V du courant S'.

17. Si nous adoptons les notations du n° 24 du Chapitre II, la composante de la force -^ qui agit sur m\ prise suivant l'arc s\ a pour grandeur — )(^cosO'; le déplacement de m' suivant s' dans l'instant â^^ est i^'dt. Ainsi le travail élémentaire de cette force est — ycos^'.v'dt, et la force qui agit sur — m' en sens contraire produit le même travail. On a donc, pour le travail de ces deux forces,

>«. A, I f. Smm' I d^ifr d\Jr ^r\ -, , , d^=^2ycos9'.v'dtz=: — - Qi'-r-V H T 7- cosB'.i^'dt,

et, en y faisant

2mi> ---Ids, 2 m' \'^ =1 V ds' y

dv dl dr

on aura

j- 2l'/,<^V^ dld\/?\dr , .,.

''^='-^r V^ -dTds + dt ^,) 5? ''**'''•

Si l'on désigne par c une force électromotrice qui agit sur une portion quelconque de fil traversée par un courant T, son travail élémentaire, en général, est cVdt. Nous obtenons donc cette formule pour la force électromotrice produite par l'élément de courant ds sur l'élément de courant ds'

« 1 ( ^d-\[r d\ d\[r\dr , ,,

et cette formule peut aussi s'écrire

.. d f\\dr dr , j , I d}r d^ j ^ t

dt\r) ds ds! r dsdt ds'

18. Vérifions ensuite que cette loi élémentaire donne efi^ectivement la loi de l'induction, trouvée précédemment, d'un circuit sur un autre circuit. Nous aurons la force électromotrice totale d'induction produite par le circuit S sur S', en intégrant c tout le long de chaque circuit; nous aurons ainsi

Or, en intégrant par parties et par rapport à ^ le dernier terme, ou

trouve que la valeur de ce terme ne change pas si l'on permuter avec 5'.

On a donc

r r \ d^r dr r C ^ d^r dr

et, par suite,

J J J J l^^ V''/ ^* ^^ '• \dsdC ds' ds'dt ds ) \

Or on a (Chap. II, n" 27)

88 CHAPITRE m.

il en résulte

ce qui est conforme à ce que nous avons vu (n^ 6).

19. Dans un Mémoire publié en i88o dans les Annales scientifiques de V École Normale y je me suis proposé de rechercher quelle doit être l'action d'une molécule électrique sur un autre, si l'on admet les principes suivants dans les mouvements accomplis par les actions des courants :