I. Le principe de la conservation de l'énergie
II. Le principe de la réaction égale et directement opposée à l'action;
III. La supposition que les actions mutuelles de deux éléments de courants parallèles, de même sens et perpendiculaires à la droite qui joint leurs milieux, varient en raison inverse du carré de cette distance;
IV. La supposition que les actions mutuelles entre deux éléments de courants linéaires donnés en intensité et en position ne varient pas avec leurs courbures.
Alors, en admettant comme précédemment que chaque courant soit formé par deux mouvements égaux et opposés des deux électricités positive et négative, j'ai trouvé que l'action entre deux molécules électriques se compose de deux parties : l'une qui donne la force de Weber et l'autre qui renferme une fonction arbitraire. Mais cette seconde partie disparait dans l'action de deux éléments de courants, laquelle se trouve être celle que donne la loi d'Ampère. Ensuite, par la condition qu'un courant fermé et constant soit sans action sur de l'électricité statique, la loi de Weber se trouve avoir lieu nécessairement.
Détermination par la loi de Weber de la force électromotrice d* induction
produite sur un élément de courant.
20. Supposons d'abord que l'inducteur se réduise à un circuit fixe S, traversé par un courant d'intensité variable I et que l'élément ds' du courant induit soit en mouvement.
Pour avoir la force électromotrice d'induction Yds' produite parle courant S sur Télément^^' du circuit S', il faut intégrer Texpression de C du n*^ 17 tout le long du circuit S ; ce qui donne
Y ds'=ds' \ -r(-]-r'j-idS'\-i\ds'\ - -j—j- -y-, ds J dl\rj ds ds' J r dsdt ds!
Vd'—d' C\ — (-\ — ^- I -^ — I d^r drl J L^^ V'V ds ds' r dsdt ds' r ds' dt ds \
J r\dsdt ds' ds'dt ds J
La première partie de cette expression se réduit à
= '" Jl ['fil- 1;%- â^) *]
dt\ J r\ds ds' ds ds' ds ds' ) *J'
Donc, si Ton pose
on a
, ,.(didx' , dqdy'df^d-J
P ds' = — ds'\ r;. :::;:i 4- ^ -:A-
\dt ds' dt ds' dt ds' J -'''\^dn?^^dnP^^dtdP)'
Désignons par Qds' la seconde partie de Fds' et ainsi posons
^ ~" V '• \dt ds ds' dt ds' ds )
Représentons par rf/' le déplacement du point (a:', y, 5') de d>'; nous
90 CHAPITRE m.
aurons
d}r __ d}r dV d>r d}r dV
dtds "■ dl'ds dt ' dtds' ~ dl'ds' Il
et, par suite,
^^ dtj 7 \dids ds' dl' ds' ds) '
dx'
Calculons la partie de Q qui dépend de -tt et désignons-la par Qi; comme nous avons
dr x' — X dx'
ds' ~~ ~~T~ "57 "^ • • • '
d}r .r' — X d^x' x' — x dr dx' i dx' dx'
dfdP "~ ~~F~ Wdi' r^~ dîJ 17 '^ r W d7 ^' ' '
il en résulte
^ ^dV dx' r ( ^' — oc d^r x' — x dr dr i dr dx'\ ,
^''~' ch W J \~r^~ dMs '^ ~1^^ 'dsdï^'^T^Ts 1F)^
■ dl' d^x' r x'--x dr dt dl'ds' J r« ds
On peut supprimer le dernier terme de la parenthèse, car son intégrale est nulle; puis, en ajoutant et retranchant un même terme, on a
ç. , dl' dx' r ( ^' — ^ d^r x' — x dr dr \ dx dr\
^'^ U d/J \ r-- dFd^ "^ 7^ ds dl'^ 7^dldï')^
dl' dx' d§ dl' d^x' r^^'^^dr, '^ dt ds' dl' dt dl'ds' J r« ds
Q se compose de deux autres séries de termes, telles que Qi, et qu'on déduit de Qi par analogie.
Désignons par P< la partie de P qui dépend de -^ et, en remarquant qu'on a
^ ,rx'—xdr, ^ r/i dx x'—xdr\, , T d x' -- x ,
nous obtenons
* ^*~ \dt dV dt) ds'
dl^dx' di ds
Nous avons ensuite
:' r ( OD^ — «37 d^r x' — x dr dr i dx dr\ , ^ J \ r> dFds "^ 7^~ ds dT'^ 7^ ds dFJ
(x' — xY d / r dr\ x' — x d^r x' — x dr dr i dx dr
r» Ts \x' — x di') "" ~F~ Wds "^ ~i^~ ds dV '^ V^ lu Iv'
comme on le voit en développant la dérivation du premier membre. Ainsi la dernière intégrale peut s'écrire
/ , /-(x'-o:)* d ( r dr\,
(^) J —7^d's[:7^^^dF)'^''
Or on a
r dr dx' y' — / dy' z' —: z dz'
x'—x dl'^ W^ x'—x W "^ x'^x dp '
et, en différentiant par rapport à Sy
û[/ r ^\^ I r. ^ \^/ ' y dy'\ df
ds\x'—xdî')'~' {x'^xy\}^ y^ ds ^^ ^^ds\dl'
I \ . , dz j dxl dz'
Remplaçons dans l'intégrale {a), qui devient
dy
;/i[(/-r)S-(^'-«)f]* -^/pk-^)s-<''-')S]'^
ou
dg
dg ^\ idy fdi dy\ i ^
dx' dy'J I dl' \dz' dx') I dL' '
OU encore, en introduisant les composantes de la force magnétique (nol),
^ I dy' rt ^ dz'
92 CHAPITRE m.
En remplaçant dans l'expression de P, 4- Qi l'intégrale par cette valeur, on obtient enfin
ds'\dx'
dt ) ds'
Désignons par \-y-A la dérivée partielle de ê relative au circuit s
seulement, c'est-à-dire en regardant x\ y\ z' comme constants, nous
aurons
fdt\ di d.i dl[
ydtj" dt ~dl' dl'
et, par suite,
F contient deux autres expressions semblables, et l'on a
-, r ((t^\ «<'»■' .. dz'ldx' .
D'après cela, considérons une force <p qui a pour composantes
\Tt)^^-dF ^^ dt'
dq\ dz' ^ dx'
di)^^^-di-^-dt'
fdf\\ „ dx' dy>
et nous obtiendrons la force électromotrice F qui agit en un point de ds\ en projetant <p sur la tangente à ds' .
21. Si, au lieu d'un courant inducteur, nous en avons plusieurs, nous poserons
le signe de sommation £ se rapportant à tous ces courants; nous déterminerons X, aPo, G, au moyen de ^, ç, ^ comme précédemment, et la
INDUCTION DES COURANTS LINÉAIRES. gS
force électromotrice exercée sur ds! s'obtiendra par la règle précédente.
Enfin, si, outre les courants S, il y a des aimants inducteurs, on raisonnera comme au n® 2, on pourra concevoir que chaque aimant est remplacé par une série de courants infiniment petits, auxquels correspondront des fonctions telles que #, ç, 5, et la même règle sera encore applicable pour déterminer la force électromotrice qui agit sur ûJs'.
Remarquons, en terminant ce sujet, que de la loi de Weber relative à l'action mutuelle de deux molécules électriques on déduit :
I® La loi d'Ampère relative à l'action mutuelle de deux éléments de courants;
1^ L'action électrodynamique sur un élément de courant, puisqu'elle est une conséquence de la loi d'Ampère (n® 2);
3** La force électromotrice d'induction produite sur un élément de courant.
