DE FORME QUELCONQUE
1. Si un conducteur homogène, de forme quelconque, est traversé par des courants électriques, provenant d'actions constantes, ces courants seront permanents. Nous nous sommes déjà occupés, dans le Chapitre I, de ces courants dans un conducteur à trois dimensions, et nous avons vu que le potentiel V de Télectricité satisfait en tout point de l'intérieur du conducteur à l'équation
AV = o.
Si l'on désigne par x la conductibilité du corps pour l'électricité, les composantes de l'intensité du courant ont pour valeur en chaque point
dS d\ dV
ax dy dz
L'équation
V = const.
représente les surfaces de niveau et les courants sont normaux à ces surfaces.
Pour les surfaces du conducteur qui sont libres, c'est-a-dire au contact de l'air, les courants sont dirigés suivant ces surfaces, et l'on a, en désignant par dn' l'élément de normale intérieure,
dS dK'^""'
COURANTS PERMANENTS. qS
Conducteur traversé par un courant entrant et sortant par deux points
de sa sur/ace.
2. Plaçons les deux extrémités de deux fils métalliques très fins en contact avec la surface d'un conducteur aux deux points A et A', le reste de cette surface étant isolé, et relions ces deux fils aux pôles d'une pile galvanique.
Le potentiel V doit provenir d'une couche d'électricité située sur la surface du corps; mais, comme, les contacts des fils étant supposés réduits aux points A et A', V doit être infini en ces points, il faut supposer aux points A et A' deux masses finies d'électricité C et C et nous poserons
U étant le potentiel d'une couche électrique située sur la surface et t et f étant les distances des points A et A' au point (ce, y, z). Cette introduction des deux premiers termes de V peut ne pas paraître parfaitement claire; mais elle sera complètement expliquée plus loin.
Désignons par I l'intensité du courant qui entre par A et sort par A', et considérons ces deux points comme situés dans le conducteur à une distance infiniment petite de la surface. Autour du point A, décrivons une sphère d'un rayon infiniment petit e et située dans la surface du conducteur. Sur cette surface, V pourra être réduit à son premier terme
et l'on aura
dV
at
On en conclut pour la constante C la valeur
et l'on a de même
47rx
l'expression de V devient donc
Sur la couche électrique qui produit le potentiel électromoteur.
3. Un conducteur étant traversé par des courants permanents qui entrent par un point A et sortent par A', le potentiel V est donc exprimé par la formule
et la fonction U est définie par les conditions suivantes : U est fini et continu, ainsi que ses dérivées du premier ordre, excepté sur la surface Œ qui limite le corps; il satisfait dans tout l'espace à Téquation
AU = o
et sur la surface a à la condition
(') ^dJ^'K-t^T'J^diT'^''^
La fonction U n'est ainsi déterminée à l'intérieur qu'à une constante additive près, qui représentera le potentiel d'une couche électrostatique, dont l'action sur les points intérieurs sera nulle. Faisons abstraction de cette constante.
Considérons une fonction P donnée par la formule
P= / :7r7?û^^ avec (p=^Vo,
où Vo désigne la valeur de V à la surface et r la distance du point (a?, y, z) à l'élément rfcr. La fonction P représente le potentiel d'une double couche d'électricité, analogue aux doubles couches magnétiques que nous avons considérées précédemment et, adoptant un terme déjà employé, nous appellerons o la puissance de la double couche électrique. Nous allons démontrer qu'à l'intérieur du conducteur P est égal à U.
Remplaçons ç par sa valeur dans P et il s'agit de prouver que Ton a
t et t' étant les distances de rfa aux points A et A', et U dans le premier membre désignant la valeur de cette fonction sur rfa. Nous avons (Chap. II, n® 13)
(3) 4.U=y U^rf.-/igrf.
OU
(4) y u£,rf. = 4.U+/lf,rfa,
ce qui transforme le second terme de la formule (2); mais, pour transformer le premier terme, il est nécessaire de reprendre la démonstration qui a servi à établir (3).
Nous avons la formule générale
(5) 1 v^ivdiD — / (vAp^bj^ — / s>-T—,dG-\- I w-j—fdrjy
les intégrales du premier membre étant étendues à tous les éléments de volume dxs du conducteur et celles du second membre à tous les
éléments rfcr de sa surface. Toutefois, si l'on fait w=: -y v =^ -y'û fau-
dra enlever au volume les éléments dans lesquels ces fonctions deviennent infinies. Nous avons dit (n** 2) que le point A doit être regardé comme intérieur à la surface œ et situé à une distance infiniment petite de cette surface. D'après cela, décrivons une sphère infiniment petite autour du point (a?, y^ z) et une autre sphère infiniment petite de rayon £ autour de A et située à l'intérieur de a; puis appliquons la formule précédente au volume du conducteur diminué de ces deux sphères. Désignons respectivement par a' et cj" les surfaces de ces
deux sphères. En remarquant que le premier membre de l'équation (5)
98 CHAPITRE ÎV.
est nul, nous aurons
t di
J r dt
"^ dff -^ I -^da\
Or, on reconnaît facilement que les quatrième et cinquième intégrales sont nulles et que les troisième et sixième sont égales à
— 4'ï^T^' T étant la distance du point (^, y, z) à A, et, comme elles
entrent avec des signes contraires, elles se détruisent. Ainsi l'équation se réduit à
on a de même
J Jd^'^^^'^J Td^"^^'^ l\dl l\d\,
Substituons (4), ((i), (7) dans (2) et nous obtenons
ce qui est exact d'après l'équation (i).
Ainsi, il est démontré que la fonction P se confond avec U à Tinté rieur du conducteur; prouvons maintenant que P se réduit à
pour les points extérieurs.
4. Désignons par dn l'élément de normale extérieure; il s'agit de prouver qu'on a
d'- / rfi
k'Kj \t t'J dn t^TzJ dn \t t' )
Le point (^r, y, z) étant maintenant extérieur, on a, au lieu de l'équation (3),
Nous pouvons encore appliquer l'équation (A); mais, comme le point {xy y y z) est situé en dehors du conducteur, nous n'avons plus à mener la surface cr' autour de ce point; il faut donc supprimer les troisième et quatrième intégrales de cette équation; mais la cinquième
intégrale sera encore nulle et la sixième égale à — ^tc -• On a donc, en
remplaçant les dérivées par rapport à n! par des dérivées par rapport à n, ce qui change leur signe,
on a de même
Substituons (9), (10) et (i 1) dans (8) et nous aurons
Tous les résultats précédents sont des conséquences rigoureuses de l'Analyse. Mais, maintenant, admettons que la fonction U, qui se confond avec Pà l'intérieur du conducteur, coïncide aussi avec P à l'extérieur; U sera donc le potentiel d'une double couche, il variera d'une manière discontinue à travers la surface ci; mais sa dérivée, suivant la
lOO CHAPITRE IV.
normale, variera d'une manière continue; on aura donc
dn dn'
et la formule (i) pourra s'écrire
^dJtU'^J'r'dn-'''
l'équation (12) est donc satisfaite.
Ainsi, à l'extérieur, U a la valeur que nous avons indiquée et, par suite, V est nul.
On admet généralement que U est le potentiel d'une couche simple d'électricité; regardons, d'après ce qui précède, U comme le potentiel d'une double couche d'électricité située sur la surface a, et nous aurons le théorème suivant :
Quand un corps est traversé par des courants permanents^ sa surface se recouvre d'une double couche d'électricité dont l'action, jointe à celle des points A et A', produit la force électromotrice sur les points intérieurs^ tandis que l'action totale de cette couche et des points A et A' est nulle à l'extérieur. Le corps peut, en outre, être recouvert d'une couche électrostatique dont l'action totale est nulle à l'intérieur.
5. La double couche d'électricité qui recouvre le conducteur est analogue aux doubles couches magnétiques fictives employées par Ampère en Électrodynamique et à la double couche qui se trouve au contact de deux métaux dans le principe de Yolta; mais la puissance de la
double couche est ici variable et égale à y- V.
Cette double couche n'est pas plus difficile à concevoir que celle qui se présente sur les surfaces de contact de deux métaux, une couche se trouvant sur le conducteur et l'autre dans l'air à une distance excessivement petite.
Par la substitution d'une double couche à une simple couche électrique, les courants ne sont pas altérés et l'action magnétique de ces courants reste encore la même; mais la double couche sera sans action à l'extérieur et s'obtiendra immédiatement, quand on aura calculé le
COURANTS PERMANENTS. lOl
potentiel V. Au contraire, dans Thypothèse d'une simple couche électromotrice, la densité D de cette couche est donnée par la formule
47r \dn' dn ) I^tz dn '
en désignant par V le potentiel extérieur de cette couche. Par conséquent, outre la détermination de la fonction V, il faut encore, pour achever la solution du problème, faire celle de V, qui est souvent beaucoup plus difficile. Ainsi, par exemple, nous déterminerons plus loin le potentiel V relatif aux courants qui traversent un parallélépipède rectangle et la recherche de la fonction V, dans ce problème, serait extrêmement difficile.
Ainsi, cette théorie doit être considérée comme plus simple que l'ancienne, et je ferai remarquer, sans que je veuille pourtant trop insister sur cette raison, que l'histoire des Sciences physiques montre que, de deux théories qui semblent d'abord satisfaire également à l'expérience, la plus simple est celle qui a le plus de chance d'être la vraie.
En généralisant le principe de la réaction égale et directement opposée à l'action, on peut s'expliquer cette double couche de la manière suivante. Le potentiel V se compose de deux parties : l'une, U, qui provient d'une couche d'électricité située à la surface du conducteur et d'une autre partie qui provient, comme nous verrons plus loin, de l'électricité qui se trouve sur les électrodes. Or, bien que la cause première du mouvement de l'électricité réside dans la pile, on peut néanmoins, dans les deux théories, regarder la force électromotrice comme émanant de la surface du conducteur et des fils; cette force sépare les deux électricités à l'intérieur du conducteur. Donc, réciproquement, l'intérieur du conducteur doit être le siège de forces qui séparent les deux électricités sur la surface du conducteur, et Ton arrive ainsi à la conception de la double couche située à la surface.
On peut maintenant se proposer d'expliquer le résultat d'expériences de Thomson indiqué Chap. II, n°' 2 et 3. La force électromotrice au contact de deux métaux est produite par la double couche qui se trouve à ce contact. Or, lorsque le corps formé par ces deux métaux est traversé par un courant permanent, sa surface libre se recouvre d'une double couche d'électricité, et il est naturel de penser qu'en
même temps la double couche, qui se trouve sur la surface de séparation des deux métaux, se modifie; ce qui explique le résultat obtenu par Thomson.
Détermination de la force magnétique des courants.
6. Nous avons calculé (Chap. II, n** 22) la force magnétique qui provient d'un courant linéaire fermé. Pour cela, nous avons considéré les fonctions
r étant la distance d'un point quelconque (a?, y, z) k un point {x\y\ z') situé sur ds et les intégrales étant prises pour tous les éléments ds du circuit fermé. Désignons par I l'intensité du courant linéaire, par t la section du fil qui peut être variable et par i l'intensité du courant par unité de surface. Posons
^^W, q^lG, 5-=- m,
et désignons par m, v^ w les composantes de i; nous aurons, en remarquant que I est égal à /t,
J r ds J r
OÙ dts désigne l'élément de volume "zds. On a de même
q^f^dw, ^ = p^dr;^.
Ensuite, d'après ce qu'on a vu à l'endroit cité, les composantes de la force magnétique du courant linéaire sur le point (a?, j, s) sont
j/^^\ <ij^*^ df dl^^ d^__dl^
\ dy dz J dy dz dz dx dx dy
Prenons dans chacune de ces expressions l'élément d'intégrale qui est multipliée par djjs\ nous considérerons ces trois éléments d'inté-
COURANTS PERMANENTS. Io3
grale comme les composantes de la force provenant de Télément dxs et agissant sur l'unité de fluide magnétique placée au point (a?, j, z).
7. Passons de là aux courants permanents d'un conducteur quelconque et décomposons-les en courants linéaires; nous pourrons appliquer à chacun de ces courants les formules précédentes. Posons donc
en étendant les intégrales à tout le volume du conducteur; nous aurons pour les composantes de la force magnétique provenant de tous les courants du conducteur et agissant sur le point {x, j, z)
dy dz dz dx " dx dy
8. Remarquons que, d'après les expressions de ^, ç, 5, on a, à l'intérieur du conducteur,
et les premiers membres de ces équations sont nuls en dehors du conducteur.
D'autre part, si l'on désigne par a?', y, z' les coordonnées de rftnr, on a
di dq
dx dy
d^ ff^^drZ^ dr-^ dr''\
dz j \ dx dy dz j
r ( dr-^ dr-' dr-'\ ^
^-J y'-d^^'-dy'^'"^'d^)
dfj
= — / (WC0S>4- Ç'COSfX -H wcosv)^ Ç / du dv dw\ dm
X, [JL, V étant les angles de la normale extérieure avec les axes des a?, y, z. Le mouvement étant permanent, la seconde intégrale a tous ses éléments nuis et il reste l'équation
drf dç d^ r. . .do
|-:l-f-l£— — I (WCOSA -h f'COSa 4- tVCOSv) -
dx dy dz J ^ ' r
le point {x, j, z) étant d'ailleurs intérieur ou extérieur,
Io4 CHAPITRE IV.
Si les courants entrent et sortent sur le conducteur par deux points A et A' seulement, l'intégrale précédente n'aura une valeur que par les éléments situés en A et A\ et Ton en conclut, en désignant par I l'intensité totale du courant qui entre en A et par / et /' les distances du point (ir,7, s) aux points A et A',
dx^ dy ds \t t'J
9. Les composantes X, Y, Z de la force magnétique peuvent être assimilées à des potentiels. En efîet, on a
dW dr-^ dW dr-'\
rfdW dr-^ dV dr-^\ ^
Appliquons l'intégration par parties à chacun des termes; les intégrales relatives au volume se détruisent et il reste
-, r(d\ dv \d<T
X peut donc être considéré comme le potentiel d'une couche distribuée sur cj; il en est de même de Y et Z. Par suite, on a dans tout l'espace
Expression des composantes du courant au moyen des composantes
de ta force magnétique,
10. Considérons une courbe plane s. Supposons qu'un courant linéaire fermé S dont l'intensité est J traverse l'espace plan compris par Sy et désignons par X, Y, Z les composantes de la force magnétique qui provient de ce courant. D'après ce que nous avons vu (Chap. II, n® 16), nous aurons
J = ^ CiXdœ-hYdfhZdz),
COURANTS PERMANENTS. lOD
l'intégrale étant prise tout le long de la courbe s. Si Ton a un nombre quelconque de courants linéaires qui passent à travers la courbe s, on pourra appliquer à chacun une équation semblable. Si, en outre, il existe des courants qui ne traversent pas la ligne s, on aura, pour chacun de ces courants,
(2) ^~r" Ax^^-^Ydfx + Z^z).
Donc, en ajoutant toutes les équations semblables à (i) et (2), on aura une équation qu'on peut représenter par (i) et où alors J désignera l'intensité totale des courants qui traverseront s, tandis que X, Y, Z seront les composantes de la force magnétique qui provient de tous les courants, et l'intégrale sera encore prise le long de la courbe s.
Ensuite, au lieu de courants linéaires séparés, supposons des courants continus et permanents, et nous pourrons également appliquer l'équation (i) à ces courants.
11. Cela posé, par un point quelconque (x,y,z) d'un conducteur traversé par des courants permanents, menons un rectangle rf;rrf>^ dont les côtés infiniment petits dx, dy sont parallèles aux axes des x et y. Désignons par </, f^, w les composantes de l'intensité du courant au point (iT, y, z)\ le courant, qui traversera ce rectangle dans le sens des z positifs, aura pour valeur
w dx dyy
et, si nous appliquons la formule (i), nous aurons
dxdy^iz ~ j {\dx -^Y dy -hZdz),
l'intégrale étant prise le long du périmètre du rectangle.
Appliquons ensuite ce théorème donné (Chap. II, n^'SO) : Si s est une ligne fermée et a une surface passant par cette ligne et qui y est limitée, on a
fiXdx-^Ydy-^Zdz)
J L Vf dz) \dz dx) \dx dy ) \
Io6 CHAPITRE IV.
la première intégrale étant prise tout le long de la ligne s et la seconde sur toute la surface cr. Enfin, /, m, n sont les cosinus directeurs de la normale positive menée à <j.
Eu prenant pour la ligne s le rectangle infiniment petit dont les côtés sont dx et dy^ nous aurons à faire / = o, /n = o, n = i , et il en résulte
f (Xdx -}-Y dy -hZdz) ^ (^ - ~\ dx dy.
Nous en concluons la première des trois équations semblables
dx dy '
, dL dY
dy dz
, d\ dL
dz dx
Pour démontrer ces équations, nous avons supposé le mouvement permanent, et il est facile de voir qu'effectivement elles ne sont pas vraies dans le cas général ; car on en déduit l'équation
du dv dsv
dx ' dy dz ^
d'après laquelle la densité de l'électricité est nulle ou au moins indépendante du temps.
Expression du potentiel de l'électricité qui n'est pas sur le conducteur.
12. D'après ce qui précède, les composantes m, v^ w du courant peuvent s'exprimer de deux manières : soit par les composantes de la force électromotrice au moyen des formules
dW dV dV
ax dy dz
soit par les composantes de la force magnétique au moyen des formules du numéro précédent.
GOURANTS PERMANENTS. IO7
Le potentiel V se composera du potentiel V, de la double couche située à la surface du conducteur et du potentiel Vj de Télectricité extérieure. Désignons par m,, f',, tv, les composantes du courant provenant de V,, et par U2, ^2, «^2 celles qui proviennent deV2. Désignons aussi par X,, Y<, Z, et par Xj, Yj, Z2 les composantes électromagnétiques correspondantes. Nous aurons
* • djc ^TC\dy dz I
Remplaçons X,, Y,, Z< par leurs valeurs en fonction de ^, ç, 5 données n*' 7 et nous aurons
dx dx dy dy^ dz^ dx dz dx \dx dy dz ) *
les fonctions^, Q^, S étant les intégrales de ce numéro étendues au conducteur seulement. Or nous avons
k4 / / /^i dV^\
qui, substitué dans l'équation précédente, donne
dV^d^/dl dÇ d§ dx dx \dx dy dz
Comme on a deux équations semblables pour les dérivées de Y2 par rapport à j et z, on obtient, à une constante additive près, qui pejut être supprimée, puisqu'elle est sans influence sur les courants,
I fdi dq d§
^iiyL\dx dy dz J
Mais on a trouvé ci-dessus (n® 8)
d:f dq d^ (\ ^ ^dfj
-i — h-7 — '"^— ~~ / ("COSAH- ç'cosfjL-h MP'Cosv) — ;
on a donc aussi
V,= 7 / (aC0sXH-('C0Sa4- fï^COSv) —
47rxj ^ ^ ' r
Le potentiel Y2 est ainsi exprimé au moyen des composantes du courant à son entrée et à sa sortie du conducteur.
Dans le cas où le courant entre et sort par deux points seulement» on a
conformément à ce que nous avons trouvé (n® 2). Mais le raisonnement qui avait servi à établir cette formule pouvait inspirer des doutes. Nous voyons maintenant que les points A et A' devaient être pris effectivement non à la surface du conducteur, mais à l'intérieur et à une distance infiniment petite, et qu'il fallait considérer autour de ces points non un hémisphère, mais une sphère infiniment petite.
Potentiel de V électricité située à la surface d*un conducteur linéaire.
13. Supposons d'abord un conducteur linéaire qui soit rectiligne et un courant qui le parcourt depuis une distance infinie jusqu'à un point A.
Menons l'axe des z suivant le conducteur linéaire, mais dans le sens opposé au courant. Nous pouvons déterminer l'action du courant sur l'unité de fluide magnétique positif au point (a?, jr^ z) par la formule de Laplace. Un point du courant étant désigné par (o, o, z'), l'action d'un élément de courant dz' sur (x, j-, z) a pour grandeur (Chap. II, n«38)
en désignant par I l'intensité du courant linéaire et par p la distance du point (x, y y z) à l'axe des z\ de plus, cette force est perpendiculaire au plan mené par cet axe et par ce point, et ces composantes suivant les trois axes des coordonnées sont
5^ sin a dz* ^ — y^ cos a dz\ o,
a étant l'angle de p avec le plan des zx.
Désignons par c la distance du point A à l'origine des coordonnées
COURANTS PERttLANENTS. IO9
et par t la distance du point (^, j, 5) à A; nous aurons
jrV.=ii(-K,-îz:i)=.T,
et les composantes de la force magnétique sur le point (a?, 7, z) seront (Chap. II, n*> 39)
Xj=ITsina, ¥, = — ITcosa, Z, = o.
14. Concevons ensuite que le fil apporte au point A son courant dans un conducteur H à trois dimensions. Alors, w^, v^y ^2 étant les parties des composantes du courant dans le conducteur H dues à l'action magnétique du fil, nous aurons
, dZ» dYt , cTXi rfZj , </¥• d^m
D'après cela, nous obtenons d'abord
et
^TTi', = — r-=I-r-sma dz dz
dï I d fc — z\ p
~^ dz " p dz \ } / " ^ 7»
puis, comme on a cosa = -> sina = ^> il en résulte
^ ' -jy
47rw, = I-,, 47rr,^I^
ou
^*~ {^^zdx\t)' ^'"" [Mzdy\t)^
Ensuite nous avons
-1 /^ . iT,\__ J£z:i ±j1 /i\
IIO CHAPITRE IV.
Ainsi u^f (^2, W2 sont les composantes d'un courant qui proviennent
d'un potentiel égal à 7 — -> et ce résultat est évidemment indépendant
des axes de coordonnées.
Nous pouvons facilement passer de ce théorème à celui qui concerne un courant linéaire de forme quelconque. D'abord, sur le courant rectiligne indéfini, prenons une longueur finie terminée aux deux points B et B', le courant allant de B' vers B; cette portion de courant pourra être considérée comme la différence entre deux courants rectilignes indéfinis terminés en B et B'; donc les composantes du courant qui en résultera dans le conducteur H seront
tu et /fi' étant les distances de B et B' au point (a?, 7, z). Prenons ensuite un courant linéaire curviligne entrant au point A du conducteur H. Les composantes du courant dans H, dues à une longueur infiniment petite ds du fil, seront
^n da'\ds~ ^"^'^ •••'
et celles qui sont dues au fil entier seront
I d fi I \ ^n dx\t tij
t et /, étant les distances du point (a?, j, 5) au point A et à l'autre extrémité du fil.
Ainsi, le potentiel de l'électricité située sur le fil est égal à
et se réduit à -, — -1 si la seconde extrémité du fil est à une distance
qu'on peut regarder comme infinie. Cette électricité se composera d'une double couche qui revêtira le fil. Le potentiel de l'électricité du
fil se substitue ainsi au potentiel du point A par lequel entre le courant dans le conducteur, potentiel qui avait été d'abord considéré au n** 2. On aurait à faire une remarque semblable pour le potentiel de Télectricité d'un fil qui emmène l'électricité du conducteur.
Conducteur dans lequel pénètrent les deux électrodes,
15. Au lieu que les extrémités A et A' des deux électrodes viennent en contact avec la surface du conducteur, supposons qu'elles pénètrent dans le conducteur étant revêtues d'une substance isolatrice. Plusieurs savants ont admis, d'après le raisonnement du n** 2, que le potentiel de l'électricité du conducteur est donné encore par la formule de ce numéro
Mais, d'après ce que nous avons vu, les deux extrémités A et A' ne jouent qu'un rôle fictif, et il faut substituer à leur potentiel celui d'une double couche située sur les fils. Or il n'est pas évident que la double couche se comporte auprès de la substance isolatrice de la même manière qu'auprès de l'air. Concevons, par exemple, que la puissance de la double couche soit multipliée par une constante h sur la substance isolatrice. Désignons par /, et /', les distances du point (a?, y, z) aux points où les électrodes pénètrent dans le conducteur, et nous aurons pour les potentiels de l'électricité des deux fils les deux expressions
Courants permanents dans un conducteur sphérique.
16. Nous allons déterminer le mouvement permanent de l'électricité dans une sphère conductrice homogène, en supposant d'abord que les deux fils électrodes pénètrent dans la sphère, et que les parties des fils situées dans la sphère sont recouvertes d'une matière isolante. Tou-
tefois, pour simplifier, supposons que la quantité h du n^ 15 soit égale à Tunité.
Prenons des coordonnées sphériques. Désignons para le rayon de la sphère et par R, tj;, le rayon vecteur, la longitude et le complément de la latitude du point M où Ton prend le potentiel. Représentons aussi par (R', ^', 6') et (R", ^'\ 6") les coordonnées des extrémités A et A' des électrodes. Nous avons, à une constante près,
et, le potentiel U de la double couche qui recouvre la sphère satisfaisant à AU = G, nous pouvons poser
"'Ev.î:
Nous avons à exprimer la condition
pour cela, développons - et -, suivant les puissances de gr en regardant R comme plus grand que R' et R""; alors, si nous désignons par a et a' les angles formés par R avec R' et R'', nous aurons
7=rV-^r^^'«-^r^J ^^rI^^r^
? = rV~'r'°'""^r^J =r2;^''r^-
Il en résulte
Substituons cette expression dans Téquation (i) et égalons à zéro dans
COURANTS PERMANENTS. Il3
le résultat séparément les fonctions sphériques de chaque ordre; nous aurons
et il en résulte
Soient (R^, ^'. ^') et (R^, '1", 6") les coordonnées des points B et B' conjugués des points A et A', en sorte que R^ = ^, etR2= ^; désignons aussi par T et T' les distances des points B et B' au point M; nous aurons
T=:v^R»-4-Kj[ — 2RH,cosa, 1'= v/K*4- RJ — 2RK'' cosa',
' ~T" ^^^ -^n •»/» — rii > * j^ " R'* — T' '
ce qui donne la sommation des deux premières séries du second membre de (2). Occupons-nous ensuite de la troisième série
nous aurons, en différentiant,
^R ^^^"Ri ~ ï
ou
^ R.c^R dR
~ R v/R* — 2 RR,"cos «4- Rj 1^
et, en intégrant,
=- — log(Ri — R cosa H- T) 4- A
Il4 CHAPITRE IV.
OÙ A est une constante. Or S s'annule pour R = o, ce qui détermine A et la valeur de J devient
V • V ^'' — I 3 Ri
.i /. *'■ B; - '"^ R, - R cos« + T'
on a de même
^'i^, B", aR,
„ Xn Rj - log R, Rcosa' + T' ■
En substituant dans (2), on obtient
■fi „ R» C /R, R,\ C R,(R.— Rcos«'+T')
2i^''a'' — a[r t) "^d **^R,{R,-Rc03« -t-T)'
-et enfin
^ -^\i J')^Z\T t)^ a "'«R.(K,-Rcos« +T )
Cette formule a été donnée par M. Helmholtz (t. I de ses Mémoires, p. 496)-
Théorèmes sur les /onctions sphériques.
17. Nous allons démontrer des propriétés des fonctions sphériques dont nous aurons besoin dans ce qui va suivre. Posons
©„/— sin'a cos'
La fonction sphérique R"0h./ cos/t{/, qui est d'ordren, satisfait à l'équation AU = o, et il en est de même de ses dérivées par rapport 'tix,y,z qui sont, par suite, des fonctions sphériques d'ordre n — \. Bornonsnous à considérer là fonction sphérique d'ordre n
COURANTS PERMANENTS. Il5
nous aurons
dp (dp . \ dp \ ,
* = R»-» f /i0„,osina-+- —r^ cosa j cos^.
Cette expression est une fonction sphérique de Tordre n — \, qui peut donc s'écrire HR''''*©^.,^, cos'^, H étant une constante; on a donc
/iO;,,oSinaH — -~^ cosa = HO;,i,,;
on déterminera la quantité H en calculant le terme en cos''~^asina du premier membre, qui est celui du degré le plus élevé, et Ton aura définitivement
(i) «e„,o sm a + -^ cos a =-- ^^^ __ ^ ^n-uu
En formant ^ et raisonnant de la même manière, on trouve
(2) n»n^o cosa ^^ sma = ^^^ ^«-i.o-
En second lieu, considérons la fonction sphérique
elle satisfait à Ay = o; il en est de même de sa dérivée t^> et, en raisonnant comme ci-dessus, on obtient
(3) — (w + i)0/,,osina -h -j^ cosa = —(2/14- i)^n+ui'
Enfin, en considérant
^^zR-^-iO;,,,,
ds
puis formant ^ et procédant encore de la même manière, on trouve
