VA

(4) (« -l-i)Ort,, cosa -h -—' sinai^ (2/1 + i)0„4-i,i-

Il6 CHAPITRE IV.

Sphère traversée par un courant permanent qui entre et sort par deux

points situés à l'extrémité d'un diamètre.

18. Nous allons examiner ce cas particulier avec plus de développement.

Dans les formules précédentes, supposons que les deux points électrodes A et A' soient situés à la surface de la sphère, nous aurons, à l'intérieur de ce corps,

et par suite

v-cii^(X,-x;)^lV

Prenons ensuite les deux points A et A' à l'extrémité de l'axe polaire; nous aurons

a' = TT — a.

avec

suivant que n est pair ou impair. Par suite, V se réduit à

le signe 2 se rapportant à toutes les valeurs impaires de n.

19. Calcul de ^, ç, 5 à l'intérieur de la sphère. — Les fonctions ^, (,*, 5 sont définies par les formules (n® 7)

Désignons par V ce que devient V, quand on y remplace x, y, z par w\ y, z\ coordonnées de dxs; nous aurons

d\' d\' rfV'

dx dy dz'

par suite,

/ N ^ r^V' dm ,. /•rfV cfe .. rdW dm

(^) ^"-—Vd^'T' '^^""V5P7^' ^-^""j-dffT'

Soient (R', 4^'» a') les coordonnées sphériques du point (^',y, «')' ^" aura

-^iJ /i "a"

Ti'

tp+\

X'„ étant ce que devient X„, quand on y remplace a par a'. Puis on en

tire

dW fdW . , \ dW' \ .,

rfx'

= 2C2^ — ^p- -^^ (^/iX^sma'-i- ^; cosa'jcosip'.

Ensuite on a

^ d%n n n(n — i) rt

/lOfl «sina-i — :y-^ cosa i=i ^ ®/i-i.i>

' doL 2/1 — I '•

et il en résulte

dy ^v^(2/i-Hi)(/i — i), R'«-*

dix' -

t^ X. ^n —;n:r^n-iA COSvL'.

Par le point (x, y^ z) menons une sphère concentrique à la sphère donnée et qui divise cette dernière en deux parties : l'une, pour laquelle R' est < R; l'autre, pour laquelle R' est > R; nous diviserons

Il8 CHAPITRE IV.

les intégrales (a) en deux parties correspondantes et nous aurons

X'^ désignant ce que devient X^ quand on y remplace cosa par

cos G = cos a cos y h- sin a si n a' cos ( ^^ — i]^' ). Posons

drs = R'» ^R' sin ol' d<x! d^'y

et calculons d'abord la partie de j -, ^-7 dxs qui se rapporte à des valeurs de R' comprises entre o et R; nous aurons pour sa valeur, après avoir effectué l'intégration par rapport à R',

- aCy (^-O(anH-i) ^"^\ T PeU,,tCOS+'^.^sina'^a'rf+'.

Or, si l'on désigne par Y„ une fonction sphérique d'ordre n par rapport aux variables a, ^ et par Y'„ ce que devient Y„ quand on y remplace a et 4^ par a' et ^\ on aura (Cours de Phys. math., Ghap. VI, n® 84)

y^y^ y;5C, sin «' 6f«' d^' = ^^ Y„ si ^ = n,

= sinon;

or 0'«i,i cos^' est une fonction sphérique d'ordre n — i; on a donc

0;,i,i cos^j^^V^^, sina'c?a'cf^'= — ^— - 0„,,, costj;,

et l'on supprimera, dans la série précédente, tous les termes pour lesquels q est différent de n — i. D'après cela, en ne considérant que les

COURANTS PERMANENTS. I IQ

éléments de l'intégrale, pour lesquels R' est < R, on a

Pour calculer la même intégrale depuis R'=R jusqu'à R' = a, on emploiera la première expression de -> et, par un calcul semblable, on trouvera

Ajoutons les deux dernières formules et nous aurons, pour l'intégrale relative à toute la sphère,

le signe y* se rapportant à n = i, 3, 5, . . .Multiplions par — x et changeons n en n + I sous le signe de sommation; nous aurons, en remplaçant 4i^*C par I,

OÙ /i = O, 2, 4» 6, La dernière série peut être sommée et la seconde