ICI 2/1 + 3 , R" ^ , V . ^" ^* A

où 71 est susceptible des valeurs o, 2, 4»

On reconnaît facilement que la seconde partie de 5 a pour valeur

On peut vérifier que les fonctions /, ç, 5 satisfont à Téquation dun°8

dx'^ dy~^ dz'^ \t t')''

21. Calcul de ^, ç, 5 pour un point extérieur. — Désignons par §\ Q\ S' ce que deviennent ^, ç, 5 quand le point (R, ^, G) est extérieur à la sphère. Dans le calcul qui a donné la première partie de ê pour un point intérieur, remplaçons l'intégration par rapport à R' prise de o à R par une intégration de o à a et nous aurons

" ^^ Tt Cl

où 71 = o, 2, 4^ — On déduit ç' de /, en changeant cos^» en sinvj;; ce qui donne

De même» on obtiendra pour S'

On peut vérifier que les expressions trouvées pour ^, ç, 5, ^, (/, 5 satisfont à la surface de la sphère aux conditions

ff 5',

de de'

dR dR'

^,0 rf.*)'

qu'on reconnaît a priori; car S et ^\ par exemple, représentent le potentiel d'une masse dont la densité u est partout finie, excepté aux points électrodes A et A'; ce potentiel est donc fini et continu, ainsi que ses dérivées du premier ordre, excepté en ces deux points. On peut encore vérifier que Ton a l'équation

^JC ^ djr ^ dz ~' \i t'J

22. Calcul des composantes de la Jorce magnétique. — Les compo santés de cette force sur un point extérieur sont

dy dz

dz dx

dx dy

Les valeurs de f et ff' peuvent s'écrire

J'=:Lcos^, Ç'— Lsin^J;,

L étant indépendant de ^, et l'on en conclut

Calculons ensuite X. Les expressions de S' et ç' peuvent s'écrire

5'=2^''fc^^«'^' ff'=2'''''R^^"'*^''^'^'

en posant

On aura ensuite

âfa

cos

a sint];,

ou (n*^ 17)

dy dçi

= — ^ (2 « -H A-« jT^^ e«+,.i sin -J;,

- ^ (2 /i -M )/>„ -- - e„+i,i sin ^.

On en conclut

iq + l

On trouve de la même manière

(3) Y==-2l2^«H^^i®/i,iC0s+.

iq ^1

Nous avons vu (n** 9) que les composantes de la force magnétique sont assimilables à des potentiels de couches situées sur la surface de la sphère. Donc, des valeurs (i), (2), (3) de ces composantes à l'extérieur, on peut conclure immédiatement leurs valeurs à l'intérieur qui sont

Zmo, X= 2l2^»^ïï:;:T®«,iSinv|;,

Y = - 2 1 2 f „ ^, e„., cos -J;.

23. Composantes m, ^, iv du courant. — Les composantes w, ç^, «^ du courant sont données par les formules

dV dV dV

dx dy dz

Or, d'après ce que nous avons trouvé (n^* 19 et 20), si Ton pose

on a

d\f dS

-7— =:— 2CP cos^J^, —- zm— 2CPsin4'»

yi 71(2/1 -4- 3) J^

Zà 71 + 1 ^"a'»-^*^"'* — *^'

et nous en concluons

u =: — Pcosvl;, i^= — Psin<l,

Ces quantités peuvent aussi être mises sous forme finie, en difTéren tiant par rapport sl x,y, z l'expression

V=:2C - — -7) 4- -lOg j. >

qu'on déduit de la formule du n^ 16.

Force magnétique produite par les électrodes fixées à la sphère.

24. Les courants de la sphère sont amenés et emportés par deux fils qui sont fixés aux points A et A' situés aux extrémités de Tare polaire. Dans ce qui suit, nous supposerons de plus que ces deux fils sont en ligne droite, dirigés suivant Taxe polaire et assez longs pour pouvoir être considérés comme infinis. Prenons, comme précédemment, Taxe des z suivant Taxe polaire; le courant est dirigé en sens contraire de cet axe.

D'après ce que nous avons vu (n** 13), les composantes de l'action magnétique des deux fils seront données par les formules

(a) .% = IT sin ^J;, ,7 = — ITcosvJ;, % — o,

OÙ l'on prend

et en désignant par ^ l'angle de la perpendiculaire p à l'axe des z avec le plan des zx. On a, d'après cela,

en posant

[(a -^)« + />«]« [(a^zy-^p^-y

En employant les coordonnées sphériques comme ci-dessus, on a

/> = Rsina, 5 = Rcosa, a — Rcosa a-+-Rcosa

(a*— 2aRcosa -h R*)* (a* -h aaRcosa -h R')*

25. Distinguons ensuite le cas où le point (^,7, z) est extérieur à la sphère et celui où il est intérieur.

Si le point (a?, j, s) est extérieur à la sphère, employons le développement

( I — 2gC0SaH- g^ 1 =1 +Xig -hX, g^ -h...,

et nous aurons

Tr^ïT-"— (2-^)^-0-^ r-i-+-(i~X,cosa)^-H-(X,-X,cosa)^-î

-\- {\^ — Xgcosa) 1^ -h. . . I.

On reconnaît facilement que

\in — Xjrt-M cosa

sma

ne devient pas infini pour a == o. Puis remarquons que x, satisfait à l'équation Ax = o (n**9); il en est donc de même de Tsin'^, et, en raisonnant comme au n° 17, on en conclut que la fonction (a) est égale à ©aiï+M multiplié par une constante qu'on déterminera facilement, et l'on aura enfin

X ^n — ^ia+\ COS « __ ^

Ainsi on a la formule suivante

^ - ra^ "" ^ r*'' é "^ ^'®''« r* "^ '•^••* è "^ • • • j ^

dont le premier terme devient infini pour a = o et a = ic, c'est-à-dire sur les deux fils.

Supposons ensuite que le point {x, y^ z) soit intérieur à la sphère. £n employant le développement

(i — 2-cosa-h -j) =i-4-Xi--t-X,-î-+-..., \ a or j a Or

on trouve

T= : (X,— XiCOSa)-; 4- (X4— X, cosa)-r 4- .. . .

On démontrera encore facilement qu'on a

X;,— Xn-tCOS« __ n — 1 ^

et, par suite, on obtiendra

Suivant que le point sera extérieur ou intérieur à la sphère, on devra remplacer dans les formules (a) T par {h) ou (c).

26. Si Ton désigne par 1/3, v^y (v^, à l'intérieur de la sphère, les composantes du courant qui provient de l'action magnétique des fils, on a

, d% du , d^ d% , dS rfX

^^''^ =Ty-Tz' ^^^«= ■di-'d-x' ^^^«^ 5i - Ty '

En effectuant le calcul, on trouvera

Ces expressions ont été obtenues en prenant les fils rectilignes et dirigés suivant Taxe des z. Mais, d'après ce que nous avons vu (n** 14), les valeurs de 1/3, ^2» ^^2 restent les mêmes, quelle que soit la forme des fils, pourvu seulement que leurs secondes extrémités soient très éloignées de la sphère.

Désignons par a,, (^f, (^^ les composantes du courant qui provient de la double couche située à la surface de la sphère; en les ajoutant respectivement à u^^ ^2, «^a, on obtiendra les composantes m, f^, w du courant total.

Force magnétique totale de la sphère et des fils.

27. Supposons d'abord que le point en lequel on cherche l'action magnétique soit à l'extérieur.

La force magnétique produite par la sphère a pour composantes

XzziIMsiniJ;, Y=i-IMcos^, Z=:o,

en posant

et celle qui est produite par les fils a pour composantes

^^ = ITsin^, ?r = — ITcos^, 30 = 0, en posant

On a donc, pour les composantes de la force magnétique totale,

X-h.X=:5-^ — sind^, Y4-?T = — D-^ — cosJ^, Z^-5b = o, Rsma ^ Rsma ^

Ainsi, la force magnétique à l'extérieur de la sphère est la même que si la sphère était supprimée et que le fil se continuât à travers la sphère. En d'autres termes, l'action magnétique de la sphère à l'extérieur est égale à celle d'un fil droit traversé par le courant I et qui joindrait les deux^ points A et A'.

Occupons-nous ensuite de l'action magnétique à Tintérieur de la sphère.

La partie de cette force qui est produite par la sphère a pour composantes

X ^ m' sin^, Y =- IM' cos^, Z = o,

en posant

et la partie qui provient des fils a pour composantes

«% = ITsin^{/, 3^1= — ITcosij;, àb = o, en posant

^ I /a — Rcosa a-hRcosa \

Rsina\ t t' )

Sommons la série M'. Nous avons d'abord

a I r a — Rcosa a 4- Rcosa 1

Rsina """ Rsina , , . ->, „ A / t . i>t . i> \k\

L(a*-hR*— aaRcosa)* (a*H- R'-h 2aRcosa)*J

et, en permutant les lettres a et R, nous obtenons

, I / R — acosa R4-acosa\ """ asina \ ^ t' )

Détermination des lignes de courant dans la sphère. 28. Les lignes de courant sont données par les deux équations

(i) ij;=:const., 'di^^^'d^^^ — ^'

en désignant par p la distance au diamètre qui joint les points électrodes A et A'. Or l'équation AV = o peut s'écrire

dz^ dp^ p dp ~~ '

dz\f dzj- dp\fdpj'

donc, si l'on multiplie la seconde équation (i) par/?, on aura l'équation

(2) p^dp-p — dz^o,

dont le premier membre sera une différentielle exacte. Nous avons trouvé précédemment

nous avons ensuite

dW d\ dW

'^ r//> dx' '^ dy

Faisons

/>~Rsina, ^ = Rsinacos^{^, 7:=Rsinasin4^,

et remplaçons ^5 -^- par les valeurs obtenues précédemment : nous obtiendrons

d\ ^y^n{iLn^Z>i ^ R«-» .

p—j- =-- 2C >^ /« - ^, ^nA sma.

En remplaçant aussi dp et rfs dans (2), nous aurons l'équation

(2/i4-3)/„(e;,,o sina-f- — ^e«., cosaj sina^^^-^^R 4-2;^(2/i4-3)^„(e„,oCOsa— ^^-:^®/i,i sinajsina^^:;:^-^/»,

dont le second membre est une différentielle exacte. En intégrant, nous obtenons l'équation

^/»"vz? ^n.osina 4 0„,, cosa ) sina = const.

l3o CHAPITRE IV.

Ensuite on vérifie facilement qu'on a

e„.o sina 4- — - e„.i cosa — -— - - Bn-Hi,,,

f» i~ 1 fit "X~ I

X —, TT r^ ^n ^TZï ®i»4-i.i sin a = consl.

et Téquation des lignes de courant devient

^'«+ï^;iTi ®»+i.i sina = const.

>^ ou encore

^ ^+1 ^;i7r ^«.1 sîna = const.

D'autre part, on a vu (n® 27) qu'on a

/^ V * R*^ • R — a cosa R 4- a cosa

on a aussi

2t IlV '

2 '»-. ^ »-.. sina = ^ QR - i r^Q rfR.

Donc l'équation des lignes de courant est enfin

R — a cosa R -h a cosa \ . ,,

Mouvement permanent de V électricité dans un ellipsoïde planétaire.

29. L'ellipsoïde étant supposé conducteur et homogène, nous repré sentons, comme précédemment, le potentiel par la formule

Si nous posons

a:=:pcos4'sin0, / = psin4^sin9, z — p'cos9, (p' — ^p* — c*)

COURANTS PERMANENTS. l3l

et que nous éliminions ^ et entre ces trois équations, nous aurons une famille d'ellipsoïdes planétaires homofocaux au paramètre p. L'ellipsoïde correspondant à p'=asera pris pour la surface du conducteur. Désignons par (po» 4*0» ®o) ^^ point A du conducteur par lequel entre le courant et posons

la fonction /"* satisfait à l'équation Ar* = o; donc, si p' est <p'o> on peut poser (Cours de Phys. math,, n^ HO)

n=zO t-0

en faisant Posons aussi

cette fonction satisfera à la même équation que R^,^

et Rfl,/(p')^v(?'o) se réduira à p'^p',"""' pour c = o; on pourra donc poser, pour p'<p'„

- = ^ 2 ^n.iKASo)KA^)i'nApo)^nAp') ^OSl{^ - ^o),

et cette expression devra se réduire à l'expression semblable relative à la sphère, quand on y fera c = o; or A^^^/ est un coefficient numé* rique; il aura donc la même valeur que pour la sphère; on trouve facilement que l'on a

l32 CHAPITRE IV.

Kn^i ayant la valeur donnée (Cours de Phys. math., n^ 86); on peut aussi écrire

.3.5 . . . (tj/i — 1)1* /i(/i — i) . . . (/i -- /-hO

(Laplace, Méc. céleste, t. II, Liv. III, n*^ 15). Mais, lorsque /= o, il faut diviser par 2 le second membre.

Nous pouvons aussi poser

+2 2D;.,e,.,(ô)R„.,(p')cos/(4;-4;.)-

Regardons maintenant p' comme plus grand que p[ et p\; alors t et /' étant les distances du point (p, 0, '|) aux deux points (po» ^o, vpo) «t (pn ^1» ^0» nous aurons

j =2 ^K'^»A%)»nAO)KAp'J^nAp')f^osi{-^-^,),

Ensuite la condition à la surface

^=0 pour p' = a

peut s'écrire

ce qui permet d'en conclure le coefficient Xi^u^ ^t» en posant, pour sim plifier,

L dp' \a

COURANTS PERMANENTS. l33

nous aurons

u^-2 2H„.,e„,,(9,)e„,,(e)R„.,(p',)R„.,(p')cos/((|;-^.)

+ 2 2 H„,,e„,,(9,)e«,/(5)R„,/(p;)R«,/(p') cos/(v{/ - ^,).

30. Supposons ensuite que les deux points A et A', par lesquels entre et sort le courant, soient situés aux extrémités d'un diamètre de Téquateur, et, en conséquence, posons

Gomme on a

e«.,(^) - sin'0 [cos-'e - L'L-J)(^'?£:J -J) cos-'-^e + ...].

\^in — l)(2/^ — 3) ... (/i — /h-i)

en prenant le signe + ou — suivant que n — /est de la forme [\p ou [\p + :i, mais en faisant toutefois

h-—\ si n — Izzzo,

et nous aurons

Les termes de U pour lesquels / est pair se détruisent deux à deux; il ne restera donc aussi que des termes pour lesquels n est impair et l'on aura la formule

OÙ n et /n'ont que des valeurs impaires.

l3/| CHAPITRE IV.

On a ensuite pour un point intérieur (p, 0, ^)

7 ^2 2 A„.,6„.,F„.,(«)e„,,(9)R„,,(p')cos/|,

Ml 1

F =2 ^±K,,bn,,¥„Aa)%AmnAp'}<^osl^,

en prenant le signe -f- ou — suivant que / est pair ou impair, et il n'y aura de termes que pour des valeurs paires de n — /. On aura donc