II I
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. iS^
Ji est appelé la résistance du conducteur et, d'après la formule précédente, on a
La résistance spécifique R d'un conducteur homogène est la résistance d'un cube dont le côté est l'unité et formé de la matière du conducteur, le courant étant dirigé parallèlement à une des arêtes et réparti uniformément. C'est ce qui résulte de la formule donnée (Chap. II, n° 2) pour la résistance d'un conducteur cylindrique traversé par un courant dans la direction de l'axe.
Courants dans une plaque plane.
2. Concevons une plaque plane, homogène et d'épaisseur constante très petite. Si cette plaque est traversée par des courants permanents, on peut admettre que le potentiel V ne varie pas à l'intérieur de la plaque suivant la normale aux faces. Donc, si l'axe des z est pris suivant la direction de cette normale, V satisfait à l'intérieur de la plaque à l'équation
et, en désignant par rf/i' l'élément de normale intérieure au contour de la plaque, V est soumis sur ce contour à la condition
dS
Quand la fonction V sera trouvée, les courbes d'égal potentiel seront données par l'équation
V=::COnSl.,
et les courbes de courant par l'équation différentielle
dS ^ dS ^
dy dx ^
Si la plaque est mise en communication avec une pile par deux fils,
l38 CHAPITRE V.
nous supposerons que Textrémité de chaque fil soit une section droite appliquée sur une des faces de la plaque.
Si Ton réduit les extrémités des électrodes à deux points A et A', situés sur le plan moyen de la plaque, l'équation (a) ne sera en défaut qu'en ces deux points; V pourra donc être regardé comme le potentiel logarithmique de deux masses finies, placées en A et A', et d'une certaine masse située sur le bord de la plaque. Ainsi nous aurons
V^Clog^-i-C'log^'4-U,
en désignant par C et C deux constantes, par t et /' les distances du point {oc, y) aux points A et A', et par U le potentiel logarithmique d'une masse située sur le bord de la plaque.
Désignons par I l'intensité du courant qui entre dans la plaque, par x le coefficient de conductibilité et par h l'épaisseur de la plaque. Autour des points A et A', décrivons des cercles infiniment petits que nous prenons pour bases de cylindres droits situés dans la plaque, et, en raisonnant comme au n° 2 du Chapitre précédent, nous trouvons
2 7rx/i
nous avons donc
(a) Vrzz-J— log^'-t-U.
Si la plaque était indéfinie, U serait nul et les courbes d'égal potentiel seraient données par l'équation
- ■— consl.;
elles forment une série de cercles qui rencontrent chacun la droite AA' et son prolongement en deux points qui sont en moyenne harmonique avec A et A', et les courbes de courant, qui sont les trajectoires orthogonales de ces cercles, sont elles-mêmes des cercles qui passent parles points A et A'.
3. Il est utile de s'expliquer comment l'expression (a) du potentiel peut s'accorder avec celle que nous avons obtenue dans le Chapitre IV
EXEMPLES DE COURANTS PERBIANENTS. I Sq
pour la valeur du potentiel à l'intérieur d'un corps à trois dimensions quelconques, traversé par des courants permanents. D'après cette formule, nous devons avoir
OÙ t? désigne le potentiel d'une double couche située à la surface de la
plaque et où - ? — -f sont les potentiels de doubles couches situées
respectivement sur le fîl qui amène et sur le fil qui emporte le courant. Prenons pour plan des x, y le plan moyen de la plaque ; nous aurons
rfV
sur les deux faces de la plaque ou pour js = =t -. Aux environs du
point A situé sur le plan moyen, — - est négligeable vis-à-vis de — et, par suite,
s'annule aux environs du point A pour z = ± -^ et, à cause de la petitesse de hy la quantité
peut être considérée comme indépendante de z\ elle satisfait donc à l'équation
Or, au point A, p est infini; car, s'il en était autrement, V ne serait pas infini en A et de même en A', et l'on en conclurait facilement qu'il n'y aurait pas de courant.
La fonction p devenant infinie au point A et satisfaisant k (P) aux environs de ce point, on a à ces environs
l4o CHAPITRE V.
si Ton désigne par C une constante et par /© la valeur de t dans laquelle \
on a fait z = o.
Ainsi la fonction V renferme le terme Clog^o ps^r lequel elle devient infinie en A; on voit de même qu'elle renferme le terme C'iog/],, t'^ étant la valeur de t\ dans laquelle on fait z =:o. Puis on reconnaît, comme ci-dessus, qu'on a C = — C et qu'on peut poser
U étant une fonction finie et continue, ainsi que ses dérivées dans toute l'étendue de la plaque et qui satisfait à l'équation
En égalant les deux expressions de V, on a, pour le potentiel de la double couche,
qui ne satisfait donc pas à l'équation (y); enfin la puissance de la
double couche est 7- (Chap. IV, n** 5).
Courants dans une plaque circulaire.
4. Le courant entrant et sortant par les points A et A', le potentiel dans la plaque circulaire peut s'écrire comme ci-dessus
{b) v = Clog~4.U.
Prenons des coordonnées polaires R, ô dont l'origine soit au centre de la plaque et désignons par (R', 0) et (R", 6") les points A et A'; puis représentons les angles 6 — 6' et G — 0" par G et G'; nous aurons
r«=rR«+R'»-2RR'cosG, ^'*z=R«4-R'*-2RR''cosG'.
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. l4l
Or, si a est < I , on a
log(i — 2a cosG -h a') — log(i — ae^^^^) -h log(i — cxe-^^'-^)
= — af acosG -\ cosaG h . . . |.
Donc si le point (R, 0) est plus éloigné du centre que les points A et A\ on a
log^ = logR ~2 ^ h7 cos/iG,
log^' = IogU-2^^cosrtG'.
Nous pouvons poser, en négligeant une constante,
a étant le rayon de la plaque, et ensuite déterminer le coefficient H;, qui dépend de cosnO et sinnO par la condition
— = o pour R = a.
Après la substitution de l'expression de V dans cette condition, la réduction ne peut se faire qu'entre des termes qui dépendent du même multiple de 0; on a donc
Vin^- -^(R"*cos/iG — R"»cos/iG'),
par suite
>H„— -=:—€> Tjr-- C0S/lG-hC> - T-— COS/lG'.
Désignons par B et B' les points conjugués de A et A', et par R< et Rj leurs distances au centre; nous aurons
l42 CHAPITRE V.
et par suite
= Clog^-Clog^,
ti et t\ étant les distances de B et B' au point (R, 0) et ayant pour valeurs
r,= v/R^BJ ~ aBR, cosG, ^— v^R» H RJ — 2RR,cosG'.
On a donc enfin, à une constante près, (c) v = Clog^^
Si les deux extrémités des électrodes sont sur le bord de la plaque, B et B' coïncident avec A et A' et Ton a
On a alors les mêmes lignes d'égal potentiel et les mêmes lignes de courant que pour une plaque infinie.
Kirclîhoffest le premier qui se soit occupé de la théorie de la distribution des courants dans une plaque. Il a ensuite prouvé Taccord de la théorie avec l'expérience dans le cas où les extrémités des électrodes sont sur le bord de la plaque. Il employait, de plus, deux fils reliés à un galvanomètre; il laissait fixe sur la plaque l'extrémité d'un des fils et déplaçait sur cette plaque l'extrémité de l'autre fil, de manière que le galvanomètre n'indiquât aucun courant. Il déterminait ainsi une ligne d'égal potentiel, qui était celle qui est indiquée par la théorie.
5. Résistance de la plaque. — Pour déterminer la résistance de la plaque, il faut avoir égard au rayon p des électrodes. Le potentiel, à l'intérieur du fil et à une petite distance de la plaque, a une valeur constante pour une même section droite. Or on peut admettre aussi, avec une grande approximation, que, dans la surface de contact ou
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. t43
surface-électrode, le potentiel V a aussi une valeur constante et que, au delà du fil dans la plaque, V est donné par la même expression que lorsque la surface électrode se réduit à un point. D'ailleurs, nous pouvons effectivement supposer que V est donné par cette expression sur le contour même du fil; car nous allons voir que V y a une valeur constante.
Si nous mettons le point (R, 0) que nous désignerons par P sur la circonférence de rayon p qui a pour centre le point A, la formule (c)
deviendra
en remplaçant PB, PA', PB' respectivement par AB, AA' et AB'; ce qui modifie très peu l'expression. Ainsi V| a une valeur constante sur tous les points de la circonférence de rayon p et nous la considérons comme la valeur du potentiel sur la surface-électrode en A.
On a de même, pour le potentiel, sur la surface-électrode en A'
I , AA'xA'B
On a donc
V, — V, -I , p'xABxA'B'
1 27r//i ^^, xA'BxAB'
et, d'après ce qui a été dit au n® 1, cette formule donne la résistance de la plaque.
Cette méthode, donnée par Kirchhoff pour déterminer la résistance de la plaque, ne sera, dans la pratique, susceptible de quelque précision qu'autant que la plaque sera d'une épaisseur très mince et notablement plus petite que le rayon des fils.
Force magnétique exercée par la plaque à V extérieur,
6. Kirchhoff a déterminé l'action magnétique de la plaque sur un pôle d'aimant placé à une distance infiniment petite de la plaque. Nous allons résoudre le même problème, en prenant ce pôle dans une position quelconque.
l44 CHAPITRE V.
Les composantes du courant sont
dx dy
et, en désignant par h l'épaisseur de la plaque, on a, pour les fonctions ^, g, s (Chap. IV, no 6),
^ , rd\ dis ,, , rdV dy
•^= -''V di T' ff--/-j ^^ y 5-0,
où les intégrales sont étendues à tous les éléments d(s de la surface moyenne de la plaque et où r est la distance du point {x,y, o) situé sur d(s au point (^, yj, 2^) où Ton recherche l'action magnétique. On aura ensuite pour les composantes de la force magnétique en ce point
^'—-d^J ^-5c' ^^-di-dt:
Supposons que les deux points  et A', par lesquels entre et sort le courant, soient situés sur le bord de la plaque; nous aurons
V — 2C(l0g^ — log^').
Réduisons d'abord V à son premier terme et désignons par ^,, ç,, Su X,, Y,, Z, les parties de #, ç. S, X, Y, Z correspondantes; il sera facile d'en déduire les parties qui proviennent du second terme de V. Le point A étant représenté par (a?', y, o), nous aurons
rf » n C^ — x^ d(s I Cx — x^ d(7
J t' r tzj t^ r
avec
et nous avons de même
Prenons des coordonnées polaires dont l'origine soit au point A et posons en conséquence
^ — a:'=^cosa, j— 7'=rsina, d(r=ztdtdot.
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. l45
Il en résultera
cTi= ~ / cosa aa / — >
avec
L'intégrale, par rapport à /, doit être prise depuis zéro jusqu'à la distance V du point A à un point de la circonférence du cercle. Dans l'équation du cercle
faisons
a?" x' -\- ç'cosa, y=:y-^ (^sina,
et nous obtenons
t' =— 2(a?'cosa H-/'sina).
Comme le point {x\ y) est sur le cercle, faisons
j?'=acose, y = a sine
et nous aurons enfin
r=— 2acos(a — e).
Ensuite nous avons
rintégrale par rapport à a étant prise entre deux limites distantes deir et correspondant à la direction de la tangente au point A de part et d'autre de ce point. Mais il est aisé de voir qu'on a
cos
adal — = cos(a -f-7r)aa I
en désignant par r^ ce que devient r par le changement de a en a -f- ic.
Donc, en prenant l'intégrale par rapport à a entre o et 2ir, on double
la valeur de ^i et l'on a
^ I r*" , rdt
Si=^ - ~ I cos CtdOL I —
ou encore
'"dt
^1= - / cosaaa 1 —
l46 CHAPITRE V.
L'intégration par rapport à / se fait facilement. Posons
A = a cos (a — e) — Ç ces a — nsin oc, B— (a cosfi — $)*4- (asins — rî)*-hC',
nous aurons
puis
^i— -: log — -cosac?»,
^e/o A +-vB
et de même
'", A -h i' -h v^i-'-^- 2Ar H- B .
^ I r", A -h i' -h V'i'*-+-"2ArH-B .
T^Jo A4- V B
7. Nous calculerons ensuite X,, Y,, Z, par les formules #, et ç, ne dépendent de 'Q que par B et nous obtenons
(I) X.==-ÎÇT„ Y,-içT„
