V :-. consl
puis traçons les trajectoires orthogonales .Tj de ces courbes et désignons par
9 = consl.
l'équation de ces lignes de courant. La force électromotrice en chaque point sera dirigée suivant ces dernières lignes et aura pour valeur rfV
rfi,'
Comptons la longueur de la ligne s^ à partir d'un point déterminé de cette ligne et désignons par a la quantité d'électricité qui traverse l'arc s, dans l'unité de temps; alors -^-ds, sera le courant qui travcr-
sera normalement ds^ et Ton aura
Puisque les courants sont permanents, la force électromotrice — -,- doit être égale et de sens contraire à la force de résistance, qui est proportionnelle à Tintensité du courant et qui peut être représentée par l'expression K-. j où K désigne une constante ; ainsi nous avons
Faisons
nous aurons
nous pouvons donc poser
(3) ds^ — lld^, cfs^ — Ud(x,
en désignant par H une fonction de a et fl.
Si l'on représente par cls l'élément d'une courbe quelconque tracée sur la surface a, on a
(-'i ) ds^ - ds\ -+- dsl n: lV{d(X^ -4- d^').
Réciproquement, si Ton a celte équation, les lignes
(3 -z consl., a ~ const.
forment pour la plaque courbe un système possible de lignes d'égal potentiel et un système correspondant de lignes de courant.
En effet, de l'équation (4) on déduit les deux équations (3), en faisant successivement a --- const. et ^ r - const., et, si l'on pose la formule (2), on a l'équation (i), qui exprime que la force électromotrice est dirigée suivant la ligne ^^ ou a = const.
12. Quand on aura obtenu ces deux systèmes de lignes situées sur la surface a, il sera facile d'en obtenir d'autres semblables; il suffira de tirer a' et jî' de l'équation
où le second membre représente une fonction quelconque de En effet, on en déduit
/ / doL dQ I - \ doL d^ /
équation qui se sépare dans les deux suivantes :
^ d^ da r/j3 da.
^^ d^'~~7rfi'' d^' " d^''
On a donc
et, par suite,
''«• + ^^'=[(ê)'*(3;.)']<''^'-*-)- Ainsi, on déduit de Téquation (4)
expression qui est de la forme
OÙ L est une fonction de a' et P'. Il en résulte que des deux systèmes de lignes situées sur cr,
a' = consl. , (3' -: consl. ,
l'un quelconque peut représenter des lignes d'égal potentiel et l'autre les lignes de courant correspondantes.
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. l53
13. DifTérentions l'équation (5) par rapport à a ou à ^, et nous obtenons les équations semblables à (6)
da! d'^' doL d^'
da! dÇ^' ^ d^ dy, '
il en résulte
d''(x' d'-oi'
da} ^ d^^ -^
Ainsi, ayant obtenu un système de variables a et [ï, qui donne un premier système de courants, si Ton adopte a et ^ comme coordonnées, lés quantités a' et ^' de tout autre système de courants satisferont aux équations (7).
Concevons que la plaque soit maintenue dans un certain équilibre de température et qu'il n'y ait point de déperdition de chaleur par les surfaces de la plaque ; on démontrera facilement que la température U d'équilibre satisfera à L'équation
da^ "^ d^^ ~ """
Il s'ensuit que les lignes a'=const. ou P'=const. peuvent représenter un système de lignes isothermes. Remarquons aussi la formule facile à obtenir
14. Prenons a, ^ pour les coordonnées rectilignes et rectangulaires d'un point d'un plan. A chaque point (a, [3) du plan correspondra un point situé sur œ, qui aura les mêmes coordonnées et qu'on peut appeler l'image du premier point. Si l'on désigne par dl la distance des deux points (a, [5) et (a -f- r/a, fi -f- d^) situés sur le plan, on aura
dr- = da" -h di^\
et, d'après la formule (4)» on aura, pour la distance des deux points correspondants sur œ,
(9) ds^Mdl;
l54 CHAPITRE V.
H ne dépend que do a et P ; donc la ligne ds^ image de rf/, est proportionnelle à dl et ne varie pas avec la direction de dl sur le plan. Par suite, les parties infiniment petites du plan ont pour images, sur la surface (t, des figures semblables.
Il résulte évidemment de là que, si sur un plan on trace deux systèmes de lignes rectangulaires et pouvant représenter des lignes d'égal potentiel et des lignes de courant, les images sur la surface a de ces deux systèmes de lignes, que l'on déduit de la formule (9), pourront aussi représenter des lignes d'égal potentiel et des lignes de courant. Ainsi le problème de la recberche des courants permanents, qui s'écoulent dans une plaque courbe, peut se ramener à celui de la représentation sur une surface courbe de figures tracées sur un plan, de manière que les images de figures infiniment petites leur soient semblables.
Courants dans une coquille sphérique.
15. On a une coquille sphérique fermée et d'épaisseur constante très petite ; le courant électrique y entre et en sort repectivement par deux points A et A'. Le potentiel V étant supposé ne pas varier dans l'épaisseur, on a, pour l'équation à laquelle il satisfait,
Av \ d f , .dS\ I d^\
^ ' a* sin d9\ dO J a^sm^Sd^*
OÙ a est le rayon moyen de la coquille et où ^ et sont la longitude et le complément de la latitude en chaque point de cette coquille. Posons
€=iiloglang-,
et nous aurons
donc, d'après les formules (8) et (9) des n"^ 13 et 14, on a, pour le carré d'un arc infiniment petit tracé sur la sphère,
(b) ds^' ■= a*' sm*9(d£*-hd^^).
Faisons un changement de coordonnées et prenons pour nouvel axe polaire le diamètre qui aboutit au point A; puis désignons par ^j;', 6', t' les quantités analogues à ^, 6, s et correspondant à ce nouvel axe. Si l'on suppose le point M, où Ton prend V, très près de A, on pourra négliger l'influence de A' et V ne dépendra pas de y\ on aura donc
et Ton satisfera à cette équation en posant
V = C£'=Ciogtang-,
où 6' désigne la distance angulaire du point A au point M. Si donc nous désignons maintenant par \ et X' les distances angulaires du point M aux points A et A\ et si nous posons
V = C log lang G log tang - >
cette expression satisfera à l'équation (a) et se réduira aux valeurs voulues aux environs des points A et A'. La constante C aura la valeur donnée au n° 2.
Menons un plan tangent à la sphère à une extrémité de l'axe polaire; puis, de l'autre extrémité, menons une droite qui rencontrera le plan et la sphère en deux points qui seront images l'un de l'autre : c'est le système de projection stéréographique. Un élément ds de ligne située sur la sphère sera donné par {b) et la distance dl correspondante sur le plan aura pour carré
ce qui prouve la similitude des figures infiniment petites avec leurs images.
Si B et B' sont deux points du plan par lesquels entre et sort un courant, les lignes de courant qui en résultent dans le plan sont des cercles qui passent par les points B et B', et les lignes d^égal potentiel sont des cercles orthogonaux sur les premiers (n" 2). Or on sait que, dans
l56 CHAPITRE V.
la projection stéréographiquc, à un cercle du plan correspond un cercle de la sphère. Donc, A et A' étant les deux points de la sphère qui correspondent aux points B et B', les lignes de courant sur la sphère seront des cercles qui passent par ces deux points et les lignes d'égal potentiel seront des cercles orthogonaux sur les premiers.
Autres exemptes de plaques courbes tras^ersées par des courants
permanents.
16. Les exemples suivants de plaques courbes traversées par des courants permanents ont été donnés ^^LvYiÀvchhoS {Gesammehe Ab/iandlungen, p. 56).
Prenons une plaque dont la surface moyenne soit celle d'un cylindre circulaire indéfini de rayon a. Menons un plan perpendiculaire aux génératrices; mettons l'origine des coordonnées polaires au centre de la section et l'axe des s suivant l'axe du cylindre. Soient r le rayon et ô l'angle qui représentent ces coordonnées. A chaque point (r, 6, o) du plan, faisons correspondre un point (a, 6, :;) du cylindre en prenant
(a) -c=::alogr.
Quand r variera de zéro à l'infini, z variera sur le cylindre de — qo à -f- x>.
Le carré de la distance dl de deux points infiniment voisins du plan est
dl* = dr^-hr^dd\
et, en désignant par ds la distance des deux points correspondants de la surface cylindrique, on a
ds^ = dz' -+- a« de*, ds=- dl,
Ainsi les figures infiniment [petites du cylindre sont semblables aux figures correspondantes du plan.
Soient B et B' deux points du plan par lesquels entre et sort un courant et dont les coordonnées sont (r', ô'), (r", ô"); le potentiel électro-
EXEMPLES DE COURANTS PERMANENTS. iS']
moteur dans le plan sera
Soient A et A' les images de B et B' sur le cylindre, et posons, d'après (a),
nous aurons, pour le potentiel électromoteur dans la plaque cylindrique,
e" -He'" -h 2e " cos(6— ô")
les courants entrant et sortant par les points A et A'.
Changeons la figure de la section du cylindre en conservant leurs longueurs à tous les éléments du contour; le nouveau cylindre sera exactement applicable sur le premier. Donc, si A^ et A'^ sont deux points du second cylindre qui viendraient en A et A' dans l'application de ce cylindre sur le premier et qu'on suppose un courant entrant par A, et sortant par A'^ dans une plaque ayant ce cylindre pour surface moyenne, le potentiel sera encore donné par la formule (6), dans laquelle aO représentera maintenant la longueur de la courbe de section droite à partir d'un point fixe.
17. Supposons ensuite une plaque dont la surface moyenne est celle d'un tore fermé, c'est-à-dire une surface engendrée par la révolution d'un cercle autour d'une droite que nous prendrons pour axe des z.
Si nous posons x^-\-y^ = R^, l'équation de cette surface est
et l'on y satisfait en posant
x^={a-h bcosv)cosUy j =1 (a H- 6 cos v) sin a, s = bsïtn>;
d*oii l'on déduit
f/i* = (a + 6 cos f )* du^ -h b* dv^.
l58 CHAPITRE V.
Prenons les variables a et ^ liées aux premières u et v par les formules
alors nous aurons
i^ la-\- h ô
f a — 6 cos ^ j
On a tous les points de la surface du tore en faisant varier a et (^ de o k
2ir ou a de o à airv^a* — 6^ et ^ de o a aué.
Supposons encore que le courant entre par un point A et sorte par un point A^ Le potentiel Y satisfait à l'équation
il devient infiniment grand aux environs des points A et A\ et s'y réduit
à di C logr, r étant la distance à A ou A'; V a pour période a-rc^a^ — b^ par rapport à a et :2ii6 par rapport à ^.
Suivant les notations de Jacobi, écrivons
puis posons
q sera donc déterminé par le rapport
