OD OC

, V^ I e-'"^sin*ma?' , v^ i cosh2/nv' . . ,

— 4 >, ^-û — I 4 y ^-r — ir sm*ma?',

i^^/7 smh/n6 -^^ i^ smh/n6

dont le premier terme n'est variable que par r et dont les trois autres termes sont indépendants de e et p.

On obtiendrait exactement la même valeur pour V^ aux environs du point P. Enfin V prend des valeurs égales et de signe contraire sur le cercle décrit du point P' comme centre avec un rayon égal à r.

On peut calculer la résistance de cette plaque comme nous avons fait au n° 5. Supposons deux électrodes de rayon r dont les sections qui les terminent ont leurs centres en P et P'; la résistance sera

puisque I = — in^hC

Courants dans un parallélépipède rectangle.

24. Nous considérons un parallélépipède rectangle limité par les plans

x:=±~9 y=zdz-9 5=±:--

L'électricité entre dans ce corps par un point P et sort par un point F et nous supposons ces deux points symétriques par rapport au plan des zy. Soient (x\y\z') et (— x'.y^z') les coordonnées de P et P'. La fonction Y satisfait à l'intérieur du corps à Téquation AY = o et l'on a les conditions aux limites

pour x — ±: -y

pour J=:± ->

pour z = ±--

C C Enfin V est infini comme - au point P et comme au point P', r

étant la distance a P ou P'.

25. Avant de résoudre ce problème, considérons d'abord la fonction U de Green, qui satisfait k l'équation AU = o à l'intérieur du parallélépipède, qui y est finie et continue ainsi que ses dérivées du premier

ordre, excepté au point (^Sy, z') où elle devient infinie comme - et

qui est nulle sur les six faces du corps.

Partageons le parallélépipède en deux parties par le plan 2 = z' et désignons par U| et U^ la fonction U suivant que z est plus grand ou plus petit que z'.

En général, si la fonction de Green est exprimée sous forme finie, elle ne change pas par la permutation de œ, y, z avec x\ y\ z'. Mais, comme U doit être donné par deux séries distinctes suivant que z est plus grand ou plus petit que z\ l'échange de x, y, z avec x\ y, z' doit

dV dx

dV

dy-

dV dz

EXEMPLES DE GOURANTS PERÏUNENTS. 17I

permuter les expressions de U, et Uj l'une dans Tautre. Nous sommes, d'après cela, conduit à poser

S = sm^(^a:--jsin?g-^^--js.n^^^'--jsin V(y--j et à prendre

les deux signes sommatoires s'étendant à toutes les valeurs entières et positives de p et q.

De cette manière, les conditions aux limites sont satisfaites sur les

plans X = ±-i y =z±-* Chaque terme de U, doit satisfaire à Téquation AU, = o et doit s'annuler pour z = -; il en résulte qu'on a

/(Zys') = Aj,,çSinh/nf z\ sinhml --h «M,

OÙ Ap^ est un coefficient constant et où

=Vs-*-s

Pour déterminer le coefficient A^^ considérons la fonction

qui satisfait à l'équation Au = o et qui s'annule sur toutes les faces du

parallélépipède, excepté sur la face z = -• Soit da un élément de la

surface de ce prisme ; d'après un théorème connu ( Théorie du potentiel, l" Partie, Chap. II, n° 18), on a

I r dv.

dn étant Télément de normale à la surface, mené intérieurement, et l'intégrale s'étendant à tous les éléments de la surface. Il en résulte

Pour 5 = -> on a

u = smh/wcsm^— [x J sm-^^fy 1

Substituons ces expressions dans (^) et ne conservons que le terme qui n'est pas nul ; il restera

ab 167J

// = -77— A.p^qm sinhmc sin

iahm(-^ + .')sin^(x'-f)sinf (y-^)

Supprimons les accents de cette formule et identiûons-la avec (a); nous obtiendrons

'''^ mab sinhmc

D'après cela, nous avons

Ui = — r V V ^r — sinh/w( z) sinh/w( - -+- sMS,

ab ^^d ^Êà m sinhmc \2 / \2 /

U,= — r V V ; — r sinh/n( -4-5 ) sinhml ^'jS,

a6 '^^ '^^ m sinhmc \2 / \2 /

OÙ les signes sommatoires se rapportent à toutes les valeurs entières et positives de p et q.