ÇA
8. Équation entre X, X,, Xj. — Nous avons à l'intérieur du fil l'équation
Or, d'après les valeurs trouvées pour X et X,, on a
et, la fonction J(qB.) satisfaisant à Téquation
il en résulte
On a ensuite
^'J'(îR) ^- 1 J'(9R) - q'Hçti) = o,
^-^^^ = L,«J(,R)Te-
X, --L,J(^R)/?(Hcos/?5 — Wsinpz), donc l'équation (g) devient
D'autre part, nous avons à l'extérieur du fil l'équation
, , , dX' dk\ dk\ OL ,
Or on a
dx '^ 'd^ ~ dJc^ '^ dy ~" 5îr* "^ R rfR
= M[/>«Q''(pR)4--^Q'(/>R)]Te-«' = M/>'Q(/^R)Te-«',
puiscfue Q(/>R) satisfait à l'équation
On a aussi
L'équation (A) devient donc
(F) M-C'=--mi^^.
9. FoTve magnétique. — Les composantes de lâ force magnétique sont données par les formules
~~ dy dz ~~ dz dx dx dy
Comme nous avons
il en résulte Z = o.
On trouve ensuite
et, d'après la valeur de La, on a, à l'intérieur du fil, puis
' p^ ^' ^ ^ dz
De même, à l'extérieur du fil, Z est nul et l'on trouve
pc^ Q(pa) ^ R dz
Ainsi, la force magnétique est perpendiculaire à l'axe du fil et à son rayon.
10. Calcul des coefficients. — Les quatre premières des équations
(A), (B), (C), (D), (E), (F), qui ont lieu entre les coefficients C, C,
L, La, M, sont assez compliquées. Essayons maintenant de supposer
que les quantités /?a, ga, qa soient très petites, ce qui simplifiera
beaucoup ces équations. En effet, en général, si b est très petit, on
258 CHAPITHE IX.
peut faire
D'après cela, les deux équations (C), (D) donnent les deux suivantes :
Les deux équations (A) et (B) deviennent
Dans l'équation (k) remplaçons C par sa valeur (t), et La par sa valeur (E), nous obtiendrons
^"^ p^ 2p^c* log/>a
Or on a
donc
Ji(g'-p')---^^rn=~;
, ka ha
/?*c*log/?a 2/>*c*(log/>a)*
D'autre part, d'après l'expression (F), où M est nul, on a
p^c^logpa
Ces deux expressions de C coïncident si A = i, ce qui entraine A = o. Ainsi la supposition que ga et qa soient très petits n'est possible que si k est égal à i; ce qui, d'une manière générale, est l'hypo-
thèse la plus simple; car alors la fonction V considérée au n^ 1 du Chapitre VIII disparaît.
En remplaçant aussi C et Lj dans Téquation (/), on obtient
OU
Enfin, nous aurons
27(:x^'a*c* log/?a
2 TTx /?* a' c* log pa
2 7rîCjy'a*c'log/?a p*
Les formules (i), (2), (3), (4)» (5) déterminent les coefficients; mais elles renferment une quantité inconnue a, qu'il reste encore à trouver.
Les quantités ga et qa ont été supposées très petites; il faudra donc examiner si ces quantités le sont effectivement dans les cas où nous appliquerons les formules précédentes.
11. Composantes du courant, - On a, pour la composante w du courant suivant Taxe des z^
(do de di{
\dz dz
dt)
En remplaçant <p, ô, 5 par leurs valeurs, on obtient
^^(^«^-'^'«'"'(^«^"JS
OU, en supposant g'R et ^R très petits,
a / 2 \dT
l\TZC^\ à^p^ ^ogpaj dz
26o CHAPITRE IX.
On a ensuite, pour la composante u du courant suivant le rayon
u=-x(^-h:;^-h'-^)[^^^J'(^R)-L^>c«J'(çR)JT
V^K"^^"^ dt)
ou, en supposant ^R et ^R très petits,
471 c* \ 2 à^logpaj
Fil télégraphique sous-marin.
12. Dans les calculs précédents sur le mouvement de l'électricité dans un fil télégraphique, nous avons vu (n** 10) qu'il reste encore à déterminer une quantité a qui entre dans une exponentielle relative au temps. Or cette détermination se fait d'une manière plus facile pour les fils sous-marins que pour les fils aériens, et, pour cette raison, nous commencerons par nous occuper des premiers.
Dans les lignes sous-marines, le fil conducteur est toujours en cuivre ; il ne subit donc pas de magnétisation sensible. Il est recouverl d'une enveloppe isolante de gutta-percha ou de caoutchouc, et l'épaisseur de cette enveloppe doit être assez grande pour qu'il ne se produise pas de perte d'électricité sur la ligne télégraphique.
Nous devrons faire subir une légère modification aux équations des numéros précédents, parce que la substance isolatrice renfermera de l'électricité de polarisation. Désignons par (o le potentiel de cette électricité à rintérieur du fil : nous aurons
( I ) Au) ^1^ o
et, en faisant A = i, A = o, selon ce que nous avons vu (n® 10), les équations (i) du n^ 1 seront remplacées par
,^ , /^cp dO d(ù d^\ \dx dx dx dt j
et nous aurons encore l'équation
dx dy dz c* dt
Les expressions de ç, 9', 0, 6' resteront les mêmes que précédemment. La fonction a> sera de la forme
a)=:EJ(/?R)T,
et, en posant (o = co^e^^ nous trouvons que l'expression désignée parT, devient
Il en résulte que le seul changement à faire aux expressions de 5 et P doit consister à remplacer C par C -h E, et que les valeurs de 5' et P' restent
5'-C'log/>R^, P'=^T.
Donc enfin, dans les équations (A), (B), (C), ( D) des n^' 6 et 7, il n'y aura à changer que C en C 4- E.
