Le raisonnement qui a servi à établir l'équation

ne subit aucun changement. On en conclut les cinq équations suivantes :

L= 5-T-ïi ■' Lj — L--, M — o,

On peut encore obtenir la première de ces formules en se servant d'une remarque faite (Chap. VIII, n° 13) et, en égalant entre elles deux expressions de p, la densité de la couche électrique qui se trouve à la surface du fil. D'après la formule de l'électrostatique, on a

D'autre part, ~ est égal à la valeur de u, composante normale du

courant prise à la surface, et Ton obtient ainsi

dt \87rc* a ^ / OU

en égalant ces deux valeurs de p, on obtient l'expression de L. On obtient encore» pour les composantes du courant,

^^__«/ 2 \rfT

~~ 4îîc' \ «V Aog/?a/ dz *

14. Désignons par y] le coefficient d'induction du diélectrique (Théorie du potentiel, t. II, Chap. III, n'^ 10). Si l'on désigne par V le potentiel total à l'intérieur du diélectrique, par V, sa valeur pour R = a correspondant à sa surface intérieure, et par Va sa valeur pour R = 6 correspondant à sa surface extérieure, nous obtiendrons, d'après le calcul du n^ 16 du Chapitre cité, pour les densités p et p< sur les surfaces intérieure et extérieure,

P-^ l^y Pi^-n ^.

47ralog- 4^^1og-

Dans le problème actuel, le potentiel total est représenté par ç -h 6 4- co et il doit être nul pour R = 6. On a donc, pour la densité à la surface R = a,

9 4- -h Cl)

p — fi

47ralog-

et, en remplaçant ç, 6, co par leurs valeurs, on obtient

47ralog-

D'ailleurs, nous avons pourp l'expression (5) ou, très approximative-

ment,

" ^{Tzac^iogpa

En égalant ces deux valeurs de p, nous obtenons

log- Yîc' log pa

Désignons par K la capacité du fil par unité de longueur, c'est-à-dire la quantité d'électricité que posséderait cette unité de longueur pour un potentiel égal à l'unité; K est égal à 2Tza multiplié par la densité relative au potentiel i. Donc, d'après ce qui précède, on a

.log-

et la valeur de C -+- E peut s'écrire

2Kc*log/>a

15. Nous avons une autre expression de C -i- E renfermée dans les formules (4)>

C^E=yi=^.=-.

/?* 2 7rx/>*a*c* log/?a c*/>' 47rxc*

En égalant ces deux expressions de C -h E, nous obtenons l'équation

2 7rJC

J ^\„ Pl__ ^o

a* iogpa ^TzxJ 2K log/>a

OU, en supprimant un terme négligeable,

a' ^ . ■ a Tri = o.

2 7rxa* log/7a *" 2Klog pa

On en tire

^ ^= dz i / ' — 1 •

4Trxa'log/?a y i67r'x*a*(log/>a)' 2Klog/?a

Comme \ogpa est négatif, si ces deux racines sont réelles, elles sont négatives et la plus petite a pour grandeur

Si, de plus, le second terme de la quantité située sous le radical peut être considéré comme très petit par rapport à l'unité, cette racine se réduira à très peu près k

L'autre racine qu'on déduit de la formule (P) par le changement du signe du radical sera excessivement grande par rapport à la première; elle correspondra à un mouvement qui s'éteindra incomparablement plus vite que celui qui est donné par la première racine, et ce mouve ment peut être négligé.

16. 11 s'agit maintenant d'examiner si dans les applications les racines a seront effectivement réelles et si la quantité

pourra être considérée comme très petite par rapport à l'unité. On voit immédiatement que, le cuivre pur étant le métal le meilleur conducteur de l'électricité parmi les métaux usuels, c'est celui pour lequel cette condition sera le moins facile à remplir. On y satisferait, par exemple, beaucoup mieux pour un fil de laiton, dans lequel la conductibilité spécifique x est environ cinq fois plus petite que dans le cuivre pur.

Gomme exemple, prenons, pour un fil de cuivre recouvert de guttapercha, les données suivantes :

Rayon a ■= i"*", Longueur h -. looo kilom.,

riLS TÉLÉGRAPtllQUES» 265

Dans le système d'unités électromagnétiques C.G.S. (Chap. VII, n^ 10), on aura

a = 0,1, / = 1000 X 10*=: IO% x=:-^-;r-*

Suivant FI. Jenkin, le coefficient d'induction y] de la gutta-percha est égal à f\,i\ donc on a

dans le système d'unités adopté, et d'après la formule (a)

On verra ci-dessous que le nombre p^ qui s'obtient d'après des condi-

tiens relatives aux extrémités du fil, est de la forme -y-> n étant un

quelconque des nombres i , 2, 3,

Examinons ensuite la quantité

N = -^ g ^^^ =. n^ X -^- -p X logjoa.

Faisant c = 3 1 . 1 o*, on obtient ce nombre

La quantité log/7a prend les valeurs suivantes : ^""^ T - 0,43429 -" '^'^^'

log— p = — 18,89, Iog-y-=: — 18,48, '^g— 7- ==—'8,19, log-y-^— 17,97, log--p=:— 17,79, log^ =-17,63,

et le nombre N pour les valeurs de n égales à i, 2, 3, ... a pour valeur

Ni = — 0,0274, N, = — o,io58, N,=: — 0,2329, N4 = — o,4o25,

Ns^: — 0,6289, N,=: — 0,8966, N7 = — I ,2095.

Ainsi les racines a sont réelles depuis n = i jusqu'à n = 6, et elles sont imaginaires à partir de n == 7. On trouve ensuite pour le dénominateur du second facteur de (fl) les valeurs suivantes, correspondant à /i = I, 2, . . ., 6 :

tandis que Ton passe de (fl) à (y) en faisant ce dénominateur égal à 2. L'approximation n'est assez grande que pour ses trois premières valeurs.

Toutefois remarquons que, lorsqu'on lance un courant dans un fil sous-marin, l'intensité du courant dans le fil est donnée par la somme de plusieurs termes contenant l'exponentielle e*', où a a les valeurs qui correspondent à /i = i , 2, 3, . . ., et, comme ces exponentielles décroissent d'une manière extrêmement rapide, il en résulte que, après un temps très petit par rapport à la durée sensible de l'état variable, on pourra réduire à 2 le dénominateur des racines a, sans changer sensiblement la valeur de l'intensité du courant.

Si le fil était en laiton, en conservant les mêmes dimensions, le nombre N devrait être divisé par 25 environ et l'emploi de la formule (y), pour représenter les racines a, pourrait être tout à fait admis.

On obtient, pour les valeurs de a qui correspondent aux valeurs /i == I, 2, . . ., 6,

ai=: — 9,267, «,=: — 87,881, «, = —88,295, «4 = — l66,l3, «5 = — 285,97, «6 = — 5oi,58.

17. Occupons-nous ensuite du mouvement de l'électricité à l'intérieur du fil télégraphique dans les conditions où il a coutume de se produire. Supposons donc que l'extrémité du fil (5 = o) soit mise brusquement au potentiel A et maintenue à ce potentiel constant par sa communication avec une pile. L'autre extrémité du fil {z = l) est en communication avec la Terre et se trouve au potentiel zéro. Alors le fil sera traversé par des courants variables qui tendront rapidement vers l'état permanent. Examinons cet état variable.

Désignons par ol^ la racine a correspondant au nombre entier n. La

fonction continue de /

/ — z 2 v^ I „ , . nizz

s'annule pour / = o, quel que soit :; ; donc la dérivée par rapport à 2 de cette fonction s'annule aussi pour / = o ou encore la limite de la série

iH- 2 > e^n' cos— ^>

quand / tend vers zéro, est nulle. De plus, la dérivée par rapport à z de cette dernière expression s'annule pour z = o et z = l. Or les termes de w renferment en facteur

^ =r/?(H„cos/?.j — H';jSin/?5)e««',

et w doit satisfaire aux conditions suivantes : il s'annule pour / = o, quel que soit z; il se réduit a -y- pour / = oo; entin on a

— =0 pour s=zo et z=z L

Il en résulte que w peut être mis sous cette forme

, . 3cA 2xA v* m:z ^ ,

{a) (»;— — -+. -j- 2^cos—j-e^nt^

rt = 1

et l'intensité du courant pour toute la section du fil sera iza^w. On voit aussi très facilement que si, après que le courant est devenu permanent, on supprime le contact avec la pile, la composante iv du courant sera donnée par la formule

2Ax V^ 'iTT^ „ ,

Nous avons, pour le terme simple de w (n® 13),

— 7-^1 * r-ïT )pUaCOspze^ni^

a68 CHAPITRE IX.

OU, en négligeant une partie très petite par rapport à celle que nous conservons,

iv zz: . ^ ". H;, cos ps e*« ' ;

2 7rc*a*/?log/?a

cette expression doit représenter le terme général de (a); en exprimant cette égalité, on obtient

Si Ton adoptait l'expression (y) du n® 15 pour les racines a„, la formule (a) s'accorderait entièrement avec celle qui a été admise par W. Thomson pour représenter le mouvement longitudinal de l'électricité k l'intérieur d'un fil télégraphique sous-marin.

18. Pour avoir la composante transversale du courant, nous considérons d'abord la solution simple (n^ 13)

V—— -. — r-^-t T =: — 7 — Y-Vx H« sin/>5 e«»'

4 TU c* a' \o%pa 4 TT c* a* log/^a '^

et, en remplaçant H„ par sa valeur,

u = —.— /iR sinise*-'.

Nous aurons ensuite, pour la valeur complète de u,

TT AX „ V^ « 7t5 „ ,

rt=i

quantité qui peut être considérée comme nulle, à cause de la petitesse du coefficient et à cause de celle de la série.

On calculera aussi facilement les composantes de la force magnétique exercée par le courant sur un point extérieur. On emploiera les formules

dy dz dz dx' *

et l'on trouvera

X = *Y^,, Y=-<1)^, Zzro,

en posant

<!> = ^ __2cos-^e«»'

et, en remplaçant $ dans X, Y, on obtiendrait des formules identiques à celles qu'on avait trouvées pour le mouvement permanent.

19. Le mouvement de rélectricité sera considéré comme arrivé a Tétat permanent dès que, avec des instruments donnés, on ne pourra plus constater la variabilité de ce mouvement. Si nous remarquons que, vers la fin de cet état variable, la série qui entre dans w peut être réduite à son premier terme à cause du décroissement rapide des exponentielles, nous reconnaissons que la durée sensible T de cet état variable sera donnée par l'équation

^ étant une quantité constante pour des instruments donnés. La valeur de tti est toujours représentée d'une manière très approchée par l'expression (y) du n*^ 15, en sorte qu'on peut poser

Ainsi T est proportionnel à /^, ce qui est conforme aux expériences de Varley et de Jenkin; T est aussi proportionnel au coefficient d'induction K de l'isolateur et en raison inverse de la section et de la conductibilité spécifique du métal.

D'après les formules qui ont été obtenues, on ne peut dire que l'électricité ait une vitesse déterminée dans le fil télégraphique. Cette vitesse, en effet, serait la longueur de ce fil divisée par le temps de la transmission de l'électricité d'une station à l'autre, aussitôt après qu'on a établi le contact à la première. Or ce temps n'a pas une valeur déterminée. En eflet, la formule de l'intensité du courant pour 5 = / est

et, quelque pcti t que soit le temps/, pourvu qu*il ne soit pas nuM aura une valeur différente de zéro; cette valeur sera d'abord insensible pour tous les instruments; elle sera reconnue d*autantplus tôt que les instruments seront plus délicats. Enfin Tintensité paraîtra ne plus subir de changement, quand / aura obtenu la valeur T déterminée ci-dessus.

Fil télégraphique aérien.

20. Après la théorie exposée dans les onze premiers numéros de ce Chapitre, toute la difficulté de la recherche du mouvement de Télectricité dans un fil aérien se réduit à déterminer la quantité a qui entre dans l'exponentielle relative au temps.

D'après ce que nous avons admis en général pour un conducteur traversé par des courants, le potentiel de l'électricité située à l'intérieur du fil et à sa surface est nul à l'extérieur; mais, en considérant ce principe comme admissible en général, s'il est susceptible de quelque perturbation ordinairement insensible, on peut craindre que, dans un corps dont une dimension est énorme par rapport aux deux autres, cette perturbation joue un rôle qui ne soit plus négligeable.

Admettons néanmoins que le potentiel extérieur est nul, et posons en conséquence

En remplaçant 9' et 0' par leurs valeurs (n*** 3 et 5), nous obtenons

La quantité /?a est certainement très petite; mais, comme les suppositions que ga et qa soient aussi très petits simplifient beaucoup les formules, essayons de les faire, et cette équation deviendra

^^' a^p^ iog pa

Remplaçons C par la valeur du n® 10, calculée d'après ces suppositions, et nous avons

\27rxaMog/?a 47rx/ ^ a^iogpa '

et, en supprimant des ternies négligeables devant ceux qui sont conservés, nous obtenons enfin

On en tire

2 TTx a* log pa a* log /?a

V i67r*x*a*(log/?a)* a*

47rxa'log/?a V i67r*x*a*(log/?a)* a*log/>a'

or on reconnaît facilement que, sous le radical, le premier terme est très petit par rapport au second, en sorte qu'on peut réduire les racines a à

en posant

47rxa* log/>a* * y a- log/^a

. D'après ces formules, on trouve

4 2 iog/?a

qui est en général assez petit; mais on aurait

q^ z=: 47rx« 4-/?'

ou, en négligeant le second terme,

dont la partie imaginaire est très grande. Donc les approximations que nous avons employées ne sont pas admissibles, et il faut procéder autrement.

21 . Essayons donc maintenant de reprendre les calculs en supposant ga très petit et qa très grand.

Pour intégrer l'équation

cir^ r dr

quand rest très grand, nous poserons

et nous développerons T suivant les puissances descendantes de r; nous aurons ainsi la formule

- c'' / Il 191 \

que nous réduirons à son premier terme. La même équation est aussi satisfaite par l'expression

e*** / II ' 9 J \

v/7 En prenant

s/gR

nous avons, pour les équations (C) et (D) du n® 7,

et nous en tirerons

Nous avons ensuite, pour les deux équations (A) et (B) [n° 6],

(a) -H--C-hU-==C'logpa,

Nous avons encore l'équation (E) ou

(n« 8), et l'on tire de {d)

a P^ \Jqâ P^

Substituons ces valeurs dans (a), et nous trouverons

çj^'^igy-p') «

p^logpa p^c^iogpa

D'après l'équation (F) du n*' 8, on a

Remplaçons C, C et La dans (A), et nous aurons

q-c^^qalogpa

puis

p^c^qaiogpa p-

D'après (/), M est nul; il faut donc, pour que ce calcul soit admissible, que l'expression (c) soit assez petite pour être regardée comine nulle. Or on a q^=^TzxoL; cl sera trouvé imaginaire et q renfermera une quantité réelle très grande qu'il faudra choisir négative, en sorte que l'expression (c) soit effectivement très petite par le facteur e^".

22. Pour obtenir maintenant l'équation en a, appliquons l'équation (^) ou

a* iogpa '

en remplaçant C par la valeur précédente, nous obtiendrons

— 7? — /^' 7:ir::2 - /^' + ^2i^^>.^ =Q

c^qa Iogpa c* '^ /Jttxc* ^ a^logpa

274 CHAPITRE TX.

et, en supprimant deux termes négligeables,

a^H- -f— OL T-T == o.

471/ rtMogyya

En ayant égard à la petitesse de ^-— > on obtient

avec

Sttx a ^/— log/>â

Vérifions que, d'après cette valeur de a, g^^a^ est très petit tiq^o? très grand. Nous avons, d'une manière très approchée,

47rxa* a* £? 2

tr* -zzz. m -|- />* rrr rir — izi — — i- rtz >

^ ' a-i-47rxc* " C* C* a*log/?a

quantité en général suffisamment petite; nous avons de même

<y'=: 47rxa=: — 47rx£ ± (\'K'Â.l^\J — I,

dont la partie imaginaire est très grande et la partie réelle très petite, et la quantité y a sa partie réelle très grande aussi bien que sa partie imaginaire.

Nous avons, pour la densité de la simple couche située à la surface du fil,

P=4^^-V- POurR = a, et, en remplaçant (p et par un terme simple, nous avons

t/R 2^ '^ ' 2 \° a^iogpaj

Il en résulte qu'il n'y a pas de couche simple d'électricité à la surface du fil et qu'il ne s'y trouve qu'une double couche.

23. Expressions du potentiel et de l'intensité du courant. — On a trouvé (n*" H) comme solution simple, pour la composante du courant

suivant Taxe du iil

et nous avons, pour l'intensité du courant total correspondant.

:=: 27r / ivR

tt 1:31271 I ivRûfR

Calculons l'intégrale renfermée dans cette expression. La fonction i(q^) satisfait à l'équation différentielle

On en tire

[r!?^)]=,.rj(,R).

Quand ^R est très petit, on a

j(qK)z=zi-\-^-r—y par suite R — )1 =zo;

quand ^R est très grand, on a

par suite

et l'on a, pour l'intégrale cherchée,

r JiqR)^ciR=: -L^ae^<'.

276 CUAPITRE IX.

Ainsi, l'expression de I devient

^ etT

et, en remplaçant L^ par sa valeur et y' par ^'tzy.oi, puis négligeant le premier terme, qui est très petit par rapport au second.

2p^c^ \ogpa dz

Nous avons ensuite, comme solution simple, pour l'expression du potentiel <i\

ce qui peut être réduit à

tt> — ? T.

Or on a

T =: (H sin;>5 H- H' cos/>c) e«';

en exprimant que T s'annule pour z = o et s == /, on a OÙ /i représente un nombre entier, et, si Ton fait

où I désigne \J-- i , on a

T = (H,4-H,0(cosei^4- /sîn6i^)e-"sin^5.

Donc, en supprimant la partie imaginaire, on obtient

<Sz=z — -—; (Hi cos£i ^ — Ht sine* ^) e-" sin 0^.

a*p^\ogpa^ 11/ i-

24. Formons ensuite la solution générale. La fonction $ doit s'annuler pour s = / et conserver une valeur constante A pour 5 = o. On

a donc

*f = A — r" î y^ —n (H, cose./ — HjSin£i/)e-*'sin/>5.

Cette fonction doit être nulle pour / = o; on a donc

et Ton en conclut

/>*log/?a

H| = A/it:-^ \ogpa.

Revenant à l'expression de I, nous aurons, pour la solution simple,

( — £ — c|i)(H, -hH,i)cos/?5e-"(cose|/-4-isin£t£),

npc* iogpa

et, en supprimant la partie imaginaire,

[(H,e -hH,£i)cos£|/ -h(H|E,-— H,€)sin6, /]c-"cos/>5.

apc* Iogpa

Nous avons donc, pour Texpression générale de I,

l — Tza^-p ^ __2^^^— [(H,e-HH,£,)cos£i/-+-(fl,e,--H,£)sin£,/]e-"cos/>;;,

Cette expression doit être nulle pour / = o; on a donc

Tra'—r- H ;lim;V —. (H,£ -f- H,£,)c-"cospc = 0,

quand t tend vers zéro; or la limite de