OL CL
-N^'J'(^a)-iCp'J'(/7a) + L9M"(7a)=-^;
éliminons M entre ces deux équations, en nous servant de l'équation
28o CHAPITRE IX.
du second ordre à laquelle satisfait la fonction J, et nous aurons
oc
d'où nous tirons
C == —^J{qa) - J(^a).
D'après un calcul fait au n** 13, en laissant encore ga et qa quel conques, on a
^Ttxc-aq\oy;paJ'(qa)
Remplaçons aussi N^ par ~> et nous aurons
Q q(xJ{qa)J(ffa) oç^ J(ffa).
^T:xc*ap^\ogpai'(qa) p^c* ^^
Substituons dans l'équation (r), puis divisons par J(gYï); nous aurons l'équation
(s) — i — a«+ ^^^Hqa) ^ ^
\ogpa 2c' Sttxc* log/?aJ'(7«)
Telle est l'équation transcendante qui détermine a; la quantité^ en a disparu et qa a été laissé quelconque. Cette équation est assez difficile à discuter, si on laisse arbitraires les quantités /, a, x; néanmoins elle ne parait pas avoir des racines négatives dans les conditions ordinaires d'un fil télégraphique.
26. D'après les expériences de Guillemin, faites en 1860, la durée T de l'établissement du courant dans un fil aérien augmente avec sa longueur, toutes choses égales d'ailleurs, et varie dans un rapport compris entre celui des longueurs / et celui de leurs carrés. Depuis cette époque, plusieurs physiciens se sont occupés de la propagation de l'électricité dans un fil aérien. Hagenbach a résumé les expériences faites sur ce sujet {Annalen der Physik, von G. Wiedemann, t. XXIX; 1886), et il a exposé de plus celles qu'il avait entreprises, en i885, entre Bâle et plusieurs autres villes de Suisse. Suivant lui, la durée T varie
avec / dans un rapport très analogue à celui de P ; mais il y a lieu de penser que la manière dont T varie avec / n'est pas si simple.
Remarquons que la propagation de l'électricité est beaucoup plus rapide dans les fils aériens que dans les fils sous-marins; les expériences sont, par conséquent, beaucoup plus difficiles pour les premiers que pour les seconds.
Il convient de rechercher si l'on n'obtiendrait pas une propagation sensible de l'électricité en tenant compte de certaines influences perturbatrices.
Les fils aériens sont ordinairement en fer, métal qui s'aimante sous l'influence des courants; mais, d'après des calculs que j'ai faits à ce sujet, il n'en résulterait pas de modification pour la formule de l'intensité du courant.
Remarquons ensuite que, dans cette théorie, j'ai supposé que la courbure du fil est partout extrêmement petite (n*^ i); cette condition est toujours remplie dans les fils sous-marins, mais pas toujours dans un fil aérien auprès des poteaux qui le soutiennent.
Mais la perte de l'électricité sur la ligne télégraphique doit avoir une influence. Celle qui a lieu par l'air est probablement insensible; au contraire, celle qui se produit par les poteaux ne doit pas être négligeable. Si cette influence est prépondérante, comme le degré d'isolement des fils peut varier beaucoup suivant les lignes télégraphiques, les expériences faites sur diff*érentes lignes donneront des résultats peu . comparables, comme cela paraît avoir lieu eff*ectivement.
Nous allons donc rechercher l'influence du défaut d'isolement des poteaux.
Perte cC électricité par les poteaux.
27. Nous supposerons que les poteaux qui supportent le fil se suivent à des distances égales et que la perte d'électricité sur chacun soit la même, et, comme la distance de deux poteaux consécutifs est très petite par rapport à la longueur totale du fil, nous pourrons, pour appliquer le calcul, regarder cette perte comme s'efl'ectuant tout le long du fil.
La perte d'électricité doit être proportionnelle au potentiel total de
Télectricité pris à la surface, et, si nous désignons par p la densité de Téleclricité à la surface, par u la composante du courant suivant le rayon, nous aurons
(«) ^^ -ya4-fA(cpaH-^«),
[X étant une constante et l'indice a indiquant que les quantités sont prises pour R — a.
D'après le raisonnement qui a servi à établir les équations (d) du n"* 4 du Chapitre VIII, nous aurons
dx dy
d}\ I é/9 i\r.^fi\'^'^
-^d-z—'c-dt^-^j^'^^^^T
L'équation qui donne 9 sera aussi modifiée (Chap. VIII, n^ 10) et deviendra
^^^ di ^ ^ ^ ~ ^^"^ li^ "^ 4îrxfxcy -^^^ — -' y - o-
Posons
comme 'j' satisfait à l'équation A«|^ = o, l'équation (P) sera remplacée par
et reprendra la forme qu'elle avait précédemment; mais les équations qui donnent ^, ç, fi deviendront
.^ , /e/4^ d^ dri ^ , d^ 28. Occupons-nous maintenant d'un système de solutions simples
et calculons la partie correspondante de la fonction ^. Cette partie de ^ aura à l'intérieur et à l'extérieur les formes suivantes
