Pour obtenir l'équation en a, posons encore nous aurons
5(^a) D . «VV-o
log/?a iogpa 2
OU
a* , { l^TZiia f \ lu. I
ac' \ p* ^TiKC* iogpa J xap^ iogpa iogpa
Les termes qui contiennent c^ en dénominateur peuvent être négligés, et l'équation du second degré se réduit à
27rxaMog/?a ^niiaiogpa'
l'autre racine aura une valeur négative extrêmement grande et qui correspondra à un mouvement qui peut être regardé comme s'éteignant immédiatement.
32. État permanent. — Le courant électriquie tend vers un état permanent qu'il faut connaître pour J 'ajouter à la somme des solutions simples qui expriment la variabilité du mouvement. Pour cet état, on a les équations
.^ , /do d9\
En différen liant les équations (p) respectivement par rapport kx^ y, z et ajoutant, puis ayant égard aux équations (q) et (r), on obtient
D'après cela, posons
en faisant
et prenant, par suite, pour 5(tR) une solution de Téquation
dK^-^nM^^^^''
ou
5(tR) — I 7 h
Nous avons ensuite, en supposant za très petit,
En appliquant l'équation
nous obtenons
6'=- -i iogTR.6.
logra °
Les dérivées de ô et 0' par rapport à R doivent être égales pour R = a, et l'on en conclut
^=^-TTT 5{tR)5.
a*T*logTa
Nous pouvons maintenant calculer les composantes longitudinale et transversale du courant; elles sont
w~ — >L—^-, ' = — x( i-h —-r- 5(rR) -j-i
a^T^loRza/ ^ ^ dz
I ''=-''^%^^ =-"('+ -r-^ )T3'(rR)5.
] dR \ a*T-logTa/ ^ '
Puis l'équation (a) du n° 27 nous fournit la condition à la surface qui donne
Cette relation entre t et (x permettra de calculer une de ces quantités si l'on connaît Tautre. D'après le raisonnement du n*^ 27, [jl est indépendant de la longueur / du fil; donc, d'après cette formule, t l'est aussi.
Le potentiel ç + doit s'annuler pour l'extrémité s — / du fil; donc G est le produit d'une constante par
sinh[T(/~^)];
9 -f- 6 doit de plus se réduire au potentiel donné A pour z = o; on en conclut
m L. « — A sinh[T(/-g)]
^ sinh(T/)
puis
. coshrr(Z--^)] smh(T/)
33. Supposons, par exemple, que, le courant étant devenu permanent, son intensité au point d'arrivée soit les ^ de son intensité au
point de départ; nous aurons
C0Sh(T/) lO*
et il en résulte
r/zr: 0,4669.
Si nous nous donnons encore la longueur /du fil égale à 400^" et son rayon égal a 2'°'°, nous aurons
par suite
II 67 a334
r= — 7- y Ta= — — .
Prenons pour la conductibilité spécifique du fer du fil x = — 7> et
nous aurons
^"" io«* '
34. Solution générale. - En ajoutant la solution du mouvement permanent à la somme des solutions simples relatives au mouvement variable, nous obtiendrons la formule suivante pour la composante w du courant
. cosh[T(/~^)l v» » ^T^^ »i
w — ^kx . ., ,, — ■ + > B„cos-7— e««',
sinh(T/) j^ l
les coefficients B^ devant être déterminés de manière que w s'annule pour ^ = o; les quantités a^ ont la valeur trouvée au n^ 31, et, si Ton
y remplace (a par > on obtient
" " 2 7:x«*log/?a 2 7rxa*T'log/?a'
quantité négative, puisque log/?a est négatif. D'après cela, on a
r- xA T ;- .\ ,. '^ -^ —rZ^ -T-J TTi COS— .— «««' .
IILS TÉLÉGRAPHIQUES. 289
La série n'a pas une valeur déterminée pour / = o; mais elle tend vers une valeur déterminée quand t tend vers zéro, de sorte que w, étant regardé comme une fonction continue de /, est nul, d'après la formule précédente, pour / = o.
» flTZ
35. La quantité \ogpa, dans laquelle/^ est égal à -.-^ varie peu d'un
terme au suivant. D'autre part, si l'on considère plusieurs fils qui ne diffèrent que par la longueur et pour lesquels les rapports des Ion-
gueurs ne soient pas trop grands, log-r- pourra être regardé sans
grande erreur comme le même pour tous les fils, parce que - est un
nombre extrêmement grand. Nous avons vu aussi que t est indépendant de /.
D'après cela, désignons par T le temps après lequel le mouvement paraîtra permanent à la station d'arrivée pour un appareil donné; on aura
Y étant un nombre fixe, si Ton considère comme très petits le deuxième terme et les suivants vis-à-vis du premier pour cette valeur de /. Ainsi T peut s'écrire
r=r:-27:xy^^^^^«l0g-^ .
D'après le calcul du n° 33, on voit que T/sera petit par rapport à i:, sans quoi le fil serait certainement mal isolé. Donc T variera à peu près proportionnellement à/^, quoique dans un rapport moindre. Nous arrivons ainsi à un résultat très conforme aux expériences.
La quantité [x, introduite au n°27, doit varier en raison inverse dea et, d'après la valeur de a, aT est indépendant de a. Donc T dépend très peu de la grandeur du rayon.
La quantité a, a pour valeur
2 7rxa' loff
Calculons cette quantité dans les conditions indiquées au n° 33, sans
290 CHAPITRE TX.
choisir toutefois la longueur /. Désignons par log^ les logarithmes vulgaires et par M leur module; nous aurons
ou
87r(^log^/-+-Jog»,— j ^
16060 / 73^7 X io**\
' '""log./4-o,aoi8V"' l" y
Mais le second terme de la parenthèse pourra devenir beaucoup plus petit si la perte d'électricité est plus grande que nous ne l'avons supposé dans cet exemple particulier.
Suivant Varley, sur une ligne de 6/40**"* convenablement isolée, l'intensité du courant reçu ne doit pas être moindre que les 0,46 de l'intensité du courant émis. D'après cela, prenons la longueur du fil égale à 640''™, le rayon a = 2™"* et supposons que l'intensité du courant à l'arrivée soit les 0,46 de l'intensité au départ; nous aurons
1 fait 3,2062
cosA(t/) '" ' '^ ' 10'
Considérons ensuite un fil semblable au précédent, isolé de la même manière, mais de longueur / quelconque. Désignons par /' la longueur du fil précédent; nous aurons, pour la quantité a«.
«1 = — ïT^rrr^r^^^^T— û ( » + 4,95o3-^Y
16060 log^/-ho,aoi8
Alors la proportionnalité de T à /* ne pourra être admise approximativement que pour des valeurs de / notablement plus petites que /'.
Théorie de Kirchhoff.
36. Kirchhoff a publié, en 1857, deux Mémoires sur la propagation de l'électricité dans un fil télégraphique aérien, qui méritent d'autant plus d'être cités qu'ils sont le premier essai qui ait été fait pour résoudre ce problème {Mémoires de Kirchhoff ^ p. i3i et i54)«
Suivant Kirchhoff, le fil est recouvert d'une simple couche d'électricité. Appliquons les formules des n°' 1 à 10 en supprimant la double couche que nous avons admise. Le potentiel 6 de la double couche est donc nul et l'on doit faire C = o(n° 5); cette condition déterminera a.
En supposant ga et qa très petits, on a donc (n° 10)
en remplaçant
et négligeant un terme très petit, on obtient l'équation
a7rxa'log/?a *
Bien que les formules de Kirchhoff ne soient pas complètement d'accord avec les miennes, il trouve une équation en a qui ne diffère de la
précédente qu'en ce que logpa ou log—v- est remplacé par log-y;
mais, si l'on procède convenablement aux approximations, c'est bien log/7a que l'on doit trouver dans cette équation.
La partie réelle des racines a est très petite par rapport au coefficient
de v^ — I, et on peut les écrire
« = 7 Ti ±pcsJ—\ = — B ztpcJ—ly
47rxaMog/?a ^ ^ /- r >
e étant positif.
On a, pour un terme simple de la composante (v du courant (n° 11),
w = 5— r — 2 H cos pz e°",
'àiïca^piogpa '^
OÙ H a une valeur imaginaire, et, en réduisant w à sa partie réelle, on peut le mettre sous cette forme
(a) w '= tf-^'CC cospct -+- D sinpct) cospz,
293» CHAPITUE IX. - FILS TÊLÊGRAPIllQrES.
oii C et D sont deux constantes réelles. Or on a
cospct (!OS/)c - J cosp(z -h et) -^ J cosy>( ^ -- cl), sinpct smpz - { s\np{z -h cl) — J siii/7(c — cl);
il en résulte que l'expression (a) indique un mouvement de rélectricité qui se propage en deux ondes de sens contraire avec la vitesse c, qui est celle de la lumière.
Dans les calculs de Kirchhoff, \ogpa étant remplacé par log ^j £ ne
varie pas d'un terme de (i^ à l'autre; tous les termes de la partie variable de l'expression générale de w sont donc multipliés par la même exponentielle e ", et il en résulte que les séries renfermées dans l'expression générale de w peuvent être sommées facilement; mais l'exponentielle e~" doit réellement varier d'un terme à l'autre, et il s'ensuit que le mouvement tendrait beaucoup plus rapidement vers l'état permanent que ne l'indique la solution de KirchhofT.
Mais, soit qu'on adopte la théorie de KirchhofT ou cette théorie modifiée comme je viens de l'indiquer, on obtient des résultats en opposition avec les expériences.
