PRINCIPES GÉNÉRAUX
cité négative que je désigne par zdxs et — idxs. L'électricité tdus sera sollicitée dans la direction de P par la force P t dts, et l'électricité — tdxs sera sollicitée par une force égale et contraire. Il pourra y avoir, en outre, dans le volume dxs de l'électricité libre z'dvsy positive ou négative, qui sera sollicitée par la force Ps'rfcar dans la direction de P ou en sens contraire.
Le courant, qui en résulte au point {oc, y, 5), a la direction de P et son intensité, dans un corps homogène, est proportionnelle à
Regardons e' comme très petit par rapport à t\ nous pourrons réduire cette expression à
P . 2 £ dxs.
Enfin, si l'on suppose que £ a la même valeur dans toutes les parties du conducteur homogène, le courant, qui a la direction de P, sera aussi simplement proportionnel à P. Désignons par Ç, y], X, les composantes du courant i suivant trois axes rectangulaires et par X, Y, Z les composantes de P; nous pourrons poser
5=:ixX, TQzizxY, ÇizzxZ,
et X s'appelle la conductibilité du corps pour l'électricité; c'est une quantité constante pour tous les points d'un conducteur homogène, mais elle varie avec la matière du conducteur. On peut aussi poser
Xi=R^, Y=:Ryî, Z = RC,
et R, l'inverse de la conductibilité, s'appelle la résistance spécifique du conducteur.
De ce qui précède, il résulte que l'intensité du courant dans un élément de volume du conducteur ne dépend pas de la quantité d'électricité en mouvement dans cet élément, mais de la vitesse de ce mouvement.
On voit aussi que, dans le numéro précédent, il faut supposer d\^' composé de molécules d'un seul signe et d}fl' composé de molécules de signe contraire et d}^' doit être à très peu près égal a — d]f! .
G CNAI»1TI\K I.
Variation de Vélectricité libre à l'intérieur d'un conducteur.
5. Un conducteur étant traversé par un courant, formons dans ce corps un parallélépipède rectangle dont les trois côtés dx, dy, dz sont parallèles aux axes de coordonnées. Par la face correspondant à l'abscisse Xf il entre dans le parallélépipède pendant le temps dt une masse d'électricité égale à
^ dy dz dt,
et, par la face opposée qui correspond à l'abscisse x -h dx, il sort la quantité d'électricité
Il en résulte, dans le parallélépipède, un accroissement d'électricité égal à
-,— dxdydzdt.
djc
De la même manière les deux autres couples de faces laissent entrer dans le même volume les quantités d'électricité
— -j- dx dy dz dt, 7^ ^«^ dy dz dt,
cïV uZ
D'autre part, si p est la densité de l'électricité, l'électricité libre du parallélépipède, qui a pour masse pei^é/)^^^^, obtient, dans le temps ^/, l'accroissement
-T-dx dy dzdt,
dt ^
Egalant ce gain total à la somme des trois gains partiels, on obtient
la formule
dy dz
dp /de,
dt \dx
Courants permanents.
6. Si l'on choisit une pile convenable et qu'on relie un corps conducteur homogène aux pôles de cette pile, ce corps, après un temps
PRINCIPES GÉNI^RAl'X. 7
très petit, pourra être considéré comme traversé par des courants permanents pendant un temps plus ou moins long.
La force électromotrice, dans ce cas, ne dépend que du potentiel de l'électricité. Désignons par V ce potentiel, c'est-à-dire la somme des masses des molécules de l'électricité divisées par leur distance au point (^, j, s); alors la force électromotrice, que nous avons désignée par P (n® 4), aura pour composantes en chaque point (^, j^, 5) du corps
„ dW V - ^^ , ^V
dx dy dz
Ohm a reconnu le premier, dans son Livre publié en 1827 {Die gaivanische Kette mathematisch bearbeitet) que, dans l'état permanent, les composantes de la force électromotrice sont les dérivées par rapport dLX^y.z d'une même fonction; mais KirchhofT parait avoir remarqué le premier que cette fonction est le potentiel de l'électricité, pris en signe contraire.
Les composantes du courant au point (^, j, z) sont donc
^ dV dV ^ dV
^ = -"^' ''='-''d^' ^^-''Wz'
Il est facile de reconnaître qu'il n'y a point d'électricité libre k l'intérieur du conducteur. En effet, sî p est la densité de l'électricité dans ce
corps, comme le mouvement est permanent, on a -~ = o et l'équation du n" 5 devient
di dt) d^ dx dy dz~
Remplaçons dans cette équation ^, r\, ^ par leurs valeurs; le conducteur étant homogène, x est constant et nous obtenons l'équation
pour les points intérieurs au conducteur. D'ailleurs lo potentiel V satisfait a l'équation bien connue
AV.rz-47:p; et l'on on conclut que la densité p est nulle.
Le conducteur ne renferme donc pas d'électricité libre à son intérieur. Helmholtz et Kirchhoffen ont conclu que le conducteur est recouvert d'une couche d'électricité qui, jointe à de l'électricité extérieure, produit le potentiel Y. C'est l'opinion la plus généralement admise; elle n'a pas été cependant acceptée par tous les physiciens géomètres. Ainsi, par exemple, Maxwell et Franz Neumann n'ont émis aucune opinion à ce sujet. On verra, dans le Chapitre IV, que nous serons conduits à substituer à la couche d'électricité libre qui recouvrirait le conducteur une double couche d'électricité, c'est-à-dire deux couches d'électricité extrêmement voisines, l'une située à la surface du conducteur, l'autre dans l'air qui enveloppe le conducteur, et telles que deux éléments de ces couches, dont l'un peut être considéré comme la projection de l'autre, renferment des masses d'électricité égales et de signe contraire. C'est cette double couche, jointe k l'électricité des corps qui relient le conducteur à la pile, qui produit le potentiel V. Le système pourra en outre être recouvert d'une couche électrostatique dont le potentiel sera constant à son intérieur.
7. En chaque point de la surface libre du conducteur, le courant doit être dirigé tangentiellement à la surface. Donc, si l'on désigne par X, (ji, V les angles de la normale intérieure à la surface avec les axés de coordonnées, on a
; C0S>. r COS/JL -i Ç COS V "" O
ou
^V ^ d\ dS
-r- COS A 4- -r- COS a -;- -f cosv . o; dx dy dz
on a donc cette condition à la surface libre du conducteur
dn étant l'élément de la normale.
Enfin il y aura des parties t, et Ta de la surface du conducteur où entreront et sortiront les courants. Supposons que le potentiel V ait une valeur connue en tous les points de t, et Tj; posons donc
i V -1 H, sur Ti, ^"^^ V=-.H, sur T,;
