LES ELEMENTS FIGURATIFS

6 1 . Une délinéation quelconque , pour compliquée qu'elle soit, contient une ou plusieurs des affections ou caractéristiques linéaires suivantes :

Les raccords et les inflexions ;

Les angulations et les rebroussements ;

Les bouclements et les croisements ;

Les branchements et les tactions.

Si dans telle délinéation déterminée on note tous ces points remarquables , les portions de lignes comprises entre eux ne coniportent plus d'autres variations que celles relatives à la courbure, on n'a plus, en un mot, que des droites, des arcs ou des recourbées. Si l'on isole tous ses segments linéaires de la délinéation , on rompt la continuité , et Ton a une délinéation discontiguë. Il faut donc distinguer, et cela est important, la continuité et la discontinuité, la contiguïté et la discontiguïté.

Les raccords, les inflexions, les bouclements raccordés maintiennent la continuité linéaire. Les angulations et les rebroussements , les branchements angulaires et les tactions rompent la continuité proprement dite et maintiennent la contiguïté. Les tactions et les croisements résultent essentiellement de la.4iscontiguïté. K"

Il suffirait de montrer toutes ces particularités réunies dans

une délinéation pour les faire reconnaître aussitôt , mais nous croyons qu'il n'est 'pas inutile d'employer ici une voie un peu détournée et de montrer comment, en partant des éléments linéaires, et les combinant deux à deux, on arrive à faire naître toutes ces particularités .

I. Deux droites conjuguées. — Deux droites peuvent être réciproquement : ou dans le prolongement l'une de l'autre, c'est-à-dire juxtaposées dans la continuité linéaire (i); ou croisées, ou intersectées, ce qui détermine un point de croisement 2) ; ou contiguës , et se rencontrant par leurs extrémités , ce qui détermine une angulation linéaire et un sommet ou point angulaire (3) ; ou branchées, une des lignes rencontrant l'autre en son parcours et lui étant contiguë par l'une de ses extrémités, ce qui revient à une angulation particulière et absolue , quand les deux lignes se rencontrent à angle droit (5). Quand les deux lignes sont détachées, on a comme cas particulier, une conjugaison parallèle (6).

Fig. 3.

IL Deux arcs conjugués, — Deux arcs conjugués déterminent suivant leur position réciproque : i ® Un point de raccord lorsque les arcs sont dans le prolongement l'un de l'autre , et que la courbure se continue d'un arc à l'autre sans jarret, soit que ces lignes se joignent bout à bout du, au contraire, que laissant un intervalle entre elles, on conçoive une ligne continue qui contiendrait l'une et l'autre (i). — 2® Une inflexion, quand les deux arcs se -raccordent linéairement, et qu'ils ont leurs courbures dirigées en sens contraire, ou que l'on passe continûment de la concavité à la convexité et réciproquement. On dit alors qu'il y a inversion dans la courbure, au point d'inflexion (2) (fig. 4). — 3® Deux arcs contigus par leurs extré-

mités déterminent les angulations curvilignes , et, au point de contiguïté, un point angulaire ou saillant. Ces angulations sont de trois formes, qui correspondent aux trois conjugaisons fon-

f ig- 4-

damentales : la première (i) où les deux arcs ont leurs convexités adossées ; — la deuxième où les deux arcs ont leurs concavités affrontées (2) ; la dernière où les deux arcs sont tournés dans le même sens (3) . — Si les arcs sont égaux, on a ainsi deux angulations paires ou symétriques (i) et (2), et une angulation impaire ou assymétrique (3). L'écartement des arcs est tout à fait indéterminé, et si Ton imagine ces deux arcs mobiles autour du point angulaire,' ils donnent lieu chacun à une forme fixe entre toutes, savoir (i) et (2), au raccord des deux arcs, et (3) à l'inflexion. Les angles (i) et (2) ont un axe de symétrie ou plus généralement un diamètre linéaire (2') ; (3) a également un diamètre, mais curviligne, obtenu par la rencontre des normales (3') , par les milieux d'une série de parallèles (3"), ou enfin par les milieux d'une série de lignes obliques et sensiblement convergentes (3'"). Si au lieu d'envisager les angulations proprement dites, on suit le parcours de la ligije, on a en chaque point angulaire un point de rebroussement (fig. 5). — 4» Contact ou taction. — Deux arcs qui se tou-

Fig. 5.

chent extérieurement par leur convexité peuvent être égaux ou inégaux (i) et (2)'; s'ils sont égaux ils donnent lieu à une figure particulière (2) et symétrique ou écartelée quand les arcs se

touchent par leur point milieu ou centre de figure. On peut concevoir ces deux figures (i) et (2) comme déterminées par le croisement des deux arcs infléchis au point de contact ou par le raccord de deux angulations appointées. Deux arcs étant inégaux donnent lieu à une forme particulière de contact , qui est intérieur (3), les arcs étant dirigés dans le même sens, cette forme particulière peut être envisagée comme le résultat de l'intersection de deux arcs qui se coupent au point de taction, ou bien comme le raccord de deux angulations recourbées (fig. 6) . — 5® Croisement. -— Deux arcs qui se coupent en un point dé-

Fig. 6.

terminent un point de croisement ( i ), et les trois espèces d'angulations curvilignes ( i' ( i") ( i'") • Deux arcs différents ou égaux peuvent aussi se couper en deux points quand les convexités sont tournées en sens contraire (2). Si les arcs sont inégaux et tournés dans le même sens, on a la fig. (3) (fig. 7). — 6® Branchement. — Deux arcs qui se rencontrent par le flanc et une

Fig. 7.

extrémité déterminent un branchement ( i ) ; si les arcs se raccordent, on a au point de branchement, un point de raccotd,

un point d'inflexion et un point de taction ou de contact (2) . Les branchements de la fig. ( i ) réunissent toutes les formes d'angulati(ms. — 7^ Deux arcs sont enfin discontigus ou isolés Tuû de Fautre (3) et se correspondent symétriquement ou parallèlement. Les branchechements sont plus particulièrement

des adjonctions indépendantes du cours général de la ligne (fig.«}.

Fig, 8.

III. Deux recourbées conjuguées. — On répéterait sur deux recourbées tout ce que nous venons de dire.de deux arcs. Les figurations obtenues avec des recourbées sont infiniment plus variées par Taccent de la recourbée (en même temps que par Tassymétrie qui donne lieu à un plus grand nombre de combinaisons), tout en n'offrant pas de particularités différentes de celles énumérées précédemment. Les raccords particuliers à la recourbée ont été examinés au § 58.

Mais particulièrement, partant de la recourbée, on est conduit à deux variétés de courbes ou de figures, très-individuelles et très-particulières, qui sont l'enroulement et la boucle (fig. 9.

Le bouclem'ent détermine une figure fermée et un point de croisement (i) et (2). Dans le cas de régularité, la boucle a un axe de symétrie qui passe par le point de croisement (2). Bien que le bouclement soit essentiellement inhérent à la recourbée ou é la variation de courbure, comme il est encore plus généralement un mode de figuration attaché essentiellement à la continuité linéaire, il donne lieu à des formes très-diverses : le cours d'une droite peut être interrompu par une boucle ronde ou ovalaire (3), de même le cours d'un arc (4). Moyennant l'intervention de l'inflexion, on passe de l'angulation convexe

à une boucle par deux inflexions qui se réunissent au point de croisement ou de bouclement (5), et enfin, de l'angle crochu à la boucle par une inflexion (5"). On passe de Tangle concave à la boucle par quatre inflexions (5'). Le bouclement est donc produit comme les autres affections, en un point quelconque d'une ligne quelconque, tandis que l'enroulement affecte exclusivement les extrémités des lignes.

11 faut distinguer le croisement du bouclement et de l'intersécance.

Les recourbées, les boucles et les enroulements étant conjugués ensemble ou avec les droites et les arcs, donnent lieu à une infinité de figures, dans le détail desquelles il serait trop long d'entrer. D'ailleurs, toutes les figurations qu'on en

srayS)^

Fig. 10.

obtiendrait ne contiennent pas de particularité nouvelle ; il suffira de donner ici quelques-unes de ces figures (fig. 10) où Ton reconnaît seulenatent une plus grande complication amenée

Fig. II.

par la réunion d'un nombre quelconque des particularités essentielles.

Pour épuiser l'examen des affections linéaires ou des éléments figuratifs, nous donnerons encore un certain nombre de figures arbitraires où sont réunies souvent en un même point quelques-unes de ces affections ou particularités fondamentales (fig. ii\