I. — UN CERCLE FIXE ET UNE LIGNE DIRECTRICE

70. Directrice droite. — La droite étant indéfinie, par la translation du cercle on a la bande, indéfiniment symétrique de part et d'autre en tous ses points, et par conséquent uniforme; c'est la troisième forme fondamentale de l'étendue superficielle. Si la droite est finie, on aurait une figure également finie i) et terminée à ses deux extrémités circulairement.

Directrice circulaire. — La circonférence étant finie et fermée, on a une bande circulaire ou une couronne ; les arcs étant finis, on a des figures finies et terminées circulairement aux deux extrémités de l'arc (2).

Directrice recourbée. — La recourbée étant essentiellement finie, on a la figure (3). L'anse donnerait la figure (4} (fig. i3).

Fig. .i3.

11 serait inutile de prolonger plus avant les détails explicatifs de ce mode uniforme de génération, qui s'étend à toutes les lignes simples, composées et composites, c'est-à-dire aux anses, aux oves, aux ovales, aux lignes ondulées, rebroussées^ bou^

clées, polygonales, etc. En signalant les terminaisons circulaires des lignes, nous nous sommes conformés à la logique scientifique ; mais il ne faut pas attacher à cette indication plus d'importance qu'il ne convient. Esthétiquement, les à-plats linéaires finis sont des segments des à-plats linéaires indéfinis : ainsi le rectangle est un à-plat linéaire fini, le plein-cintre est un à-plat circulaire fini ; c'est qu'en effet il ne faut pas confondre la terminaison physique avec la détermination esthétique ; les extrémités des lignes sont des terminaisons physiques, et non des terminaisons harmoniques à ce qui fait l'essence de la ligne, c'est-à-dire à la continuité linéaire. D'ailleurs, et plus généralement, ce mode d'appréciation de l'étendue est ici un peu détourné, car on a l'intuition immédiate de l'à-plat linéaire que l'on conçoit comme composé par des segments rectangulaires, l'idée de centre, solidaire de l'idée de cercle, étant en effet étrangère à l'idée de ligne.

H. - UN CKRCLb: VARIABLE ET UNE DIRECTRICE.

71. Directrice droite. — Partant d'un cercle fixe, et d'un point fixe de la droite, si le centre du cercle vient se placer successivement en tous les points successifs de la ligne, en même temps que sa grandeur ou sa quantité d'étendue augmente ou diminue, c'est-à-dire, décline continûment, on a les à-plats déclinés et spécialement les déclinations angulaires. L'idée la plus simple que l'on puisse se faire de cette déclination consiste à lui assigner pour déclinatrice une droite inclinée à la directrice, ou une portion d'arc, et les déterminations fondamentales de ces déclinations ont pour déclinatrice ou pour forme-enveloppe les angulations fondamentales, c'est-à-dire l'angulation rectiligne, l'angulation suraiguë et l'angulation renflée (i), (2), (3), (fig. 14}.

Bien qu'il faille concevoir idéalement des cercles en tous les

points de la directrice, en indiquant, comme nous l'avons fait ici, seulement les cercles tangents, on accuse mieux par ces termes discontinus physiquement le caractère essentiel de la déclination. Dans la figure ( i), la déclination est essentiellement régulière et adoucie, c'est l'angle rectiligne ordinaire ; dans la figure (2), la déclination est rapide, et l'appointement accentué ; dans la figure (3), la déclination y est lente et comme hésitante, ici l'à-plat proprement dit l'emporte sur le caractère de désinence attaché essentiellement à la déclination angulaire. D'après cela la forme (i) est mitoyenne aux formes (2) et (3).

Dans ces figures la déclination est prolongée, mais suivant rinclinaison respective des lignes-enveloppe, cette déclination change de caractère, si l'angle est très-ouvert la déclination est brusque et comme étranglée (4), (5), (6). C'est qu'en effet

Fig. 14.

cette déclination, au lieu d'être simple, devient symétrique ou récurrente et s'étend de chaque côté de la directrice. Ces déclinations se rattachent à l'ordre horizontal, conforme au second caractère de la droite (indéfiniment symétrique en tous ses points). Les premières se rattachent à l'ordre vertical, conforme au premier caractère de la droite (un parcours successif d'un point à un autre) .

Suivant leur échelle, ces déclinations sont des formes, ou des désinences. Ce sont les désinences qui varient les détails des formes et les accentuent à des degrés divers.

72. Directrice arquée. — La progression d'un cercle suivant un arc, détermine une forme particulière de la déclination angulaire, c'est la déclination recourbée ou crochue (7,.

g8 THÉORIE DE L'ORNEMENT.

La forme des déclinations étant successive, c'est-à-dire, commençant à un point pour finir à un autre, il faut distinguer deux formes fondamentales de cette déclination : i^ la déclination angulaire où Tà-plat finit à rien, la directrice allant jusqu'au sommet de Tangulation ; 2^ la déclination ovalaire, suivant une directrice finie à Textrémité de laquelle irradie un à-piat circulaire qui arrondit la désinence. Comme dans les déclinations angulaires, la directrice y peut être une droite ou un arc. Ces déclinations sont réglées et délimitées par les anses ou les recourbées variées ; ces lignes sont alors Tenveloppe d'une série de cercles, qui se suivent linéairement et déclinent conformément à la recourbée déterminante. La suite des cercles est indéfinie du côté de l'ouverture de l'anse, et finie près du sommet, en un point fixe où le cercle dernier est, comme disent les géomètres, osculateur de la courbe, ce qui veut dire que le cercle a en ce point la même courbure que la courbe. La désinence ovalaire est plus ou moins accentuée, et varie depuis l'arc de cercle jusqu'à la désinence angulaire.

Fig. i5.

Selon que l'anse est hyperbolique, parabolique ou elliptique, et que la directrice est droite ou curviligne, on a les figures (i), (2), (3), (4). La forme elliptique (3) est une moitié d'ovale, la forme recourbée (4) a un point d'inflexion.

Par analogie avec les angulations obtuses, on a des déclinations ovalaires surbaissées (5) en anses de panier.

Il ne faut point confondre ici l'à-plat avec la ligne de contour^ les cercles d'à-plat se développent indépendamment de cette ligne de contour, qui n'est qU'Unô forme^nveloppe . Si l'on

s'attachait à la ligne seule et qu'on voulût en apprécier la courbure, on décrirait des cercles osculateurs, dont les centres se trouveraient en grande partie hors de la figure ; on ne peut donc confondre ces cercles de courbure avec les cercles d'à-plat.

En résumé, toutes les formes possibles d'à-plats se composent synthétiquement avec les éléments suivants, ou se décomposent analytiquement en ces éléments :

i^ L'extension circulaire;

2® La prolongation linéaire, ou uniforme, et rectiligne oU curviligne ;

3® La déclination angulaire, rectiligne ou curviligne, droite ou recourbée;

4^ La déclination ovalaire, rectiligne ou curviligne, droite ou recourbée.

La déclination angulaire est finie physiquement, et son à-plat est de même forme et homogène dans toute son étendue. La déclination ovalaire est finie harmoniquement, et son à-plat se compose harmoniquement avec l'extension circtilaire et la déclination angulaire.

loo THÉORIE DE L^ORNEMENT.