DES A-PLATS POLYGONAUX

80. Tous les à*plats polygonaux ou déterminés par des contours rectilignes ont pour caractère essentiel d'être des segments d'à-plat, des portions tranchées de l'étendue superfi-^ cielle. Comme rien ne limite a priori le nombre des segmenta-* tionSy le nombre des segments de ligne qui composent le contour est indéfini, et par des segmentations indéfiniment multipliées on passe insensiblement d'un contour rectiligne à un contour curviligne. Il est donc utile d'examiner ces figures dont le caractère frappant et nettement déterminé peut aider à mieux comprendre les formes curvilignes et arrondies qui sont de composition moins simple et d'une analyse plus fine et plus profonde.

Ce qui frappe tout d'abord dans les figures au trait qui représentent les polygones, c'est le contour rectiligne (à cause que les segments de droite ayant une largeur sensible, sont des figures à symétrie écartelée et possédant par conséquent un point de rappel), où il faut distinguer des segments de droite qui se rencontrent bout à bout sous des angulations semblables ou différentes à tous les degrés. Selon le nombre et la longueur des segments, selon l'inclinaison de ces segments, et leur coordination générale, on a des figures différentes. Il faut au moins trois droites pour déterminer une figure fermée. A partir de ce

Ii8 THÉORIE DE L'ORNEMENT.

point rien ne limite plus le nombre des côtés. Les figures qui ont trois côtés sont les triangles, celles de quatre côtés sont les quadrilatères, celles d'un plus grand nombre de côtés sont les polygones en général, ou les figures multilatères. A mesureque croît le nombre des côtés,. la figure s'accuse de moins en moins, c'est-à-dire que les saillants angulaires s'effacent de plus en plus, et en même temps que le contour tend à devenir curviligne, l'à-plat tend à s'arrondir et à perdre son caractère ' de segment de plan.

8 1 . L'idée de nombre corrélative à Tidée de parties distinctes, et l'idée de groupement corrélative à l'idée d'un ensemble de parties, se lient immédiatement à l'idée de figure polygonale. Ces deux idées de nombre et de groupement solidaires l'une de l'autre, sont le fond purement intelligible de la notion supérieure de l'ordre, qui se lie d'autre part à la perception et à l'intelligence des formes de l'étendue. On a donc la perception immédiate des figures polygonales, puis il s'y joint l'intuition d'un plan de coordination qui relève de l'idée de l'ordre et que la géométrie rend sensible, en en fournissant une représentation directe, moyennant les définitions de la symétrie. Ce plan de coordination fait l'unité de la figure, constituée d'autre part par un ensemble, une collection ou un groupe de parties, dont le nombre peut être nettement déterminé, c'est-à-dire évalué, et traduit en chiffres .

Un nombre étant une collection ou un groupe d'unités décomposable en d'autres groupes ou susceptible d'être formé par la réunion d'autres groupes, si l'on subordonne l'idée de nombre à des signes de convention, comme des points ou des chiffres, ces points ou ces chiffres désigneront les unités numériques ou les groupes de ces unités, et ces groupes suivant leur mode de composition et leurs propriétés essentielles seront désignés par des épithètes assorties; on ne sortira pas de l'arithmétique pure, qui n'a d'autre langage que celui de l'algorithmie. Mais si l'on prend pour ces unités des figures sensibles qui partici-

pent des propriétés de l'étendue, à toutes les espèces particulières de nombres correspondront des espèces de figures particulières; ces figures seront des délinéations comme les polygones, ou des dispositions ornementales si les unités choisies sont des figures composées, et délimitant une portion réelle de l'étendue, c'est-à-dire un à-plat, impliquant ultérieurement un champ coloré ou un relief. Dans le premier cas, le trait proprement dit fournira une représentation des figures. Dans le second cas, ce sera le dessin, qui est une langue, non plus conventionnelle comme le trait, ni inventionnelle comme Talgorithmie, mais imitationnelle et s'adaptant immédiatement à la nature des choses, dans leur réalité phénoménale et sensible.

En logique, l'idée de groupe est purement abstraite et comporte seulement une définition purement logique qui, traduite par le langage^ soutient et rappelle incessamment l'idée pure. Ekî arithmétique, le langage et l'artifice des signes, ou Vaigorithmie^ traduisent les propriétés des nombres, et les attachent aux signes purement inventionnels ou aux chiffres qui représentent des groupes d'unités. En géométrie, l'idée de groupe est immédiatement figurée et traduite par le trait qui en fournit une représentation directe. Les traits sensibles, dont les propriétés particulières traduisent immédiatement les propriétés de l'étendue, figurent les unités particulières et constitutives du groupe. De plus, ces traits sont liés les uns aux autres et coexistent dans l'étendue, moyennant les conditions d'ordre et de situation qui relèvent de l'idée de l'étendue. C'est cette corrélation qui détermine V unité du groupe ou de la figure. En architectonique enfin, les unités particulières et constitutives du groupe sont des objets réels, des délinéations, des à-plats ou des reliefs, dont la coordination purement architectonique

détermine Vunité du groupe, conformément à l'idée esthétique de type, que le dessin traduit immédiatement en en fournissant une image sensible et représentative. Ces délinéations, ces

à'-plats et ces reliefs, traduits par les modes particuliers d'ouvrer ou de façonner qui constituent les arts et métiers, déterminent enfin Vunité ou l'individualité des objets doués de réalités corporelles.

82. En suivant la série des figures polygonales, conjointement à la série ordinaire des chiffres, on distingue les triangles, les quadrilatères, le pentagone, Thexagone, etc., qui répondent successivement aux chiffres 3, 4, 5, 6, 7, 8... (i désignerait un trait, 2 un angle). Les chiffres sont d'espèces différentes : on distingue des nombres premiers, des nombres pairs, multiples, etc. A ces espèces de nombres correspondent des espèces particulières de figures polygonales ; cette correspondance est établie par les conditions particulières de la symétrie et de la régularité, suivant le diagramme de disposition, dont la forme générale est corrélative à la composition des groupes numériques.

r.— TRIANGLES.

83. Le nombre 3. est absolu, c'est-à-dire premier, parce quil forme un groupe irréductible. Le triangle est aussi une figure première et irréductible. La forme en est régulière ou irrégulière, selon que les trois côtés sont égaux ou inégaux. Si les trois côtés sont inégaux, on a le triangle scalène ( i ) dont une forme particulière est rectangle, si deux des côtés déterminent une angulation perpendiculaire (2). Si deux des côtés sont égaux, on a le triangle isocèle qui est de trois formes : la pre-

mt

Fig. 24.

mière a une angulation aiguë (3), la seconde une angulation ouverte (4), la troisième une angulation perpendiculaire ou

absolue (5). Enfin si les trois côtés sont égaux, on a le trigone (6), qui est la forme de triangle absolue (fig. 24). Tous ces triangles sont des segments réguliers ou irréguliers d'à-plat, ce sont les segments irréductibles et derniers du plan. On rapporte le triangle soit à l'espace circulaire, soit le plus naturellement à Tespace angulaire ; dans ce dernier cas, le triangle est un segment d'espace angulaire et sa dominante est un angle principal. La forme régulière de ce segment est le triangle isocèle ou symétrique par rapport à un axe qui passe par la dominante angulaire et qui est aussi la bissectrice de cet angle et la hauteur du triangle ; cette hauteur normale est perpendiculaire à la base normale ou au côté du triangle qui est unique. Le triangle isocèle a une base et une hauteur (que nous avons qualifiées de normales, parce qu'elles sont rapportées instinctivement aux deux coordonnées fondamentales et esthétiques des figures planes, la verticale et l'horizontale) ; c'est par ces deux particularités essentielles qu'il est entre tous les triangles le thème de formes esthétiques. La base rattache cette forme à l'ordre horizontal ou de front. (Un intervalle homogène entre deux extrémités.) La hauteur le fait tributaire de l'ordre vertical ou d'élévation. (Un départ et un sommet qui comprennent un intervalle uniforme ou varié.)

Le sommet du triangle étant plus ou moins éloigné de la base, c'est-à-dire placé à une hauteur plus ou moins grande, les rampants sont plus ou moins inclinés sur la base, et forment entre eux une angulation plus ou moins aiguë ou appointée, plus ou moins obtuse ou surbaissée. Suivant donc que la déclination sera plus ou moins aiguë, elle deviendra l'attraction vive du triangle, elle restera unique et toute en hauteur. Si le triangle est surbaissé, ce n'est plus la déclination du sommet qui est attractive, mais bien les deux déclinations rampantes qui se rattachent à la base. On a donc deux aspects esthétiques bien différents : le triangle surélevé et le triangle surbaissé.

Le triangle étant rapporté à l'espace circulaire n'a point de

dominante angulaire. C'est esfsentiellement un segment régulier ou irrégulier d'espace circulaire, le plus simple de tous et qui a trois désinences angulaires variables. La forme absolue est le trigone dont les trois angles ou les désinences sont égales . Tout triangle dont la dominante est Taréole circulaire, s'il n'est pas absolu ou trigone, est une forme irrégulière ou boiteuse. Une telle forme qui s'éloigne de la régularité qui lui est inhérente et qui ne- penche pas décidément vers l'espace angulaire, est une forme hésitante et incertaine, c'est-à-dire irrégulière. Au cas où cette forme serait symétrique ou isocèle, l'impression n'en serait pas moins dissonante, le type du triangle isocèle étant angulaire et décidément surélevé ou surbaissé.

Cette forme absolue et essentiellement régulière, le trigone, a ses angles égaux, ainsi que ses côtés; c'est une figure centrée qui en soi n'a point de sens ou d'orientation absolue, elle enveloppe un plein régulier. Son centre de figure, de gravité ou d'impression est le centre du cercle inscrit où se coupent également les bissectrices des angles et les axes de symétrie. Si ce triangle était rapporté à l'espace angulaire, comme la hauteur est plus petite que la base, on aurait encore un triangle en hauteur ; mais c'est alors une forme mauvaise, à cause que la différence entre les deux dimensions dominantes est très-petite et incertaine.

Les lignes naturelles du trigone sont les hauteurs (2), les rayons (3) et les apothèmes (4), La figure 5 est le trigone inscrit, et la fig. 6 réunit toutes ces particularités (fig. 25).

Fig. 25.

84. Si l'on établit instinctivement une corrélation entre la base et la hauteur, c'est que cette hauteur est déterminée par les deux rampants du triangle : toute direction oblique étant rela-

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. ni

tive, et se composant avec les deux directions absolues, Thorizontale et la verticale ; ces deux rampants ou ces deux obliques étant d'égale inclinaison et de longueur égale aussi, laissent entrevoir inévitablement la verticale qui est leur norme absolue. Entre tous les triangles isocèles la forme géométrique absolue est le triangle isocèle rectangle.

Le triangle isocèle rectangle et le trigone font partie de la série infinie qui embrasse tous les triangles isocèles possibles compris entre Thorizontale et la verticale. Cette série n'a point de terme absolu, et c'est pour cela que le triangle n'est point en soi une forme esthétique, car, pour le déterminer, il y faut adjoindre d'autres idées qui lui sont le plus naturellement harmoniques, il est vrai, mais sans pour cela faire partie de sa nature essentielle. Le triangle qui aurait la base et la hauteur égales est bien rigoureusement déterminé, mais c'est encore un triangle élevé, et tous les triangles qui l'avoisinent diffèrent entre eux aussi peu qu'on le veut. Autre chose donc est la détermination géométrique qui est absolue, autre chose est la détermination esthétique qui est variable .

Si donc l'on imaginait de tracer une série de triangles isocèles, conformément à des longueurs et à des hauteurs rigoureusement déterminées, par exemple, partant d'une base égale à huit et donnant aux hauteurs successivement 1,2, 3, 4... parties de la base, on aurait le tableau suivant :

Base = 8.

Hauteur

Côtés

= 4,ïa3 ..

Triangle isocèle de Pythagore. Triangle rectangle isocèle.

Triangle égyptien.

Si l'on prolongeait cette série, on aurait y correspondant une série de triangles de plus en plus aigus, et qui offrirait peut-

être quelque autre coïncidence, que nous ne voulons pas exa-

miner. Nous retiendrons seulement, de la série précédente, le triangle isocèle, qui a une base = 8, une hauteur = 3, les rampants = 5. La moitié de ce triangle est le triangle arithmétique de Py thagore, triangle scalène rectangle dont les trois côtés sont égaux successivement aux nombres 3, 4, 5 ; le triangle isocèle dont la base = 8, la hauteur = 5, qui dérive de la pyramide et que Ton qualifie d'égyptien (c'est ce fameux triangle qui,

Fig. 26.

d'après l'opinion d'une certaine école d'archéologie, serait la clef de toutes les proportions, le secret de toute véritable architecture) . Enfin le triangle rectangle isocèle dont la base = 8 et la hauteur = 4.

Le premier triangle, celui de Pythagore, est un triangle purement arithmétique; le second a des origines diverses, on peut le faire dériver géométriquement d'une pyramide ayant déjà des rapports arithmétiques et géométriques définis, ou le construire immédiatement moyennant les nombres 8 et 5 ; le troisième est un triangle purement géométrique, c'est la moitié du carré, ses deux dimensions 8 et 4 sont géométriquement et figurativement comparables : ce triangle a donc une physionomie distincte, et l'on se rend compte immédiatement de sa proportion.

Or, ces trois triangles, considérés comme à-plats, sont les plus incertains de toute la série des triangles isocèles ; ils sont mitoyens d'assez près aux triangles surbaissés et d'assez loin aux triangles surélevés, lesquels sont les formes véritablement esthétiques. Donc, au seul point de vue de l' à-plat ou de la

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i25

forme immédiate, ces vénérables rapports numériques n'ont aucun sens, et il s'en faut garder. Au seul point de vue arithmétique on pourrait encore établir d'autres rapports, par exemple construire un triangle isocèle qui aurait 2 pour base et 3 pour les rampants, ce qui reviendrait à un triangle ayant 8 pour base et 1 2 pour rampants et dont la hauteur serait intermédiaire dans la série entre 11 et 12, mais indéterminable par les voies ordinaires de cette série. Voici donc encore, même au seul point de vue de l'arithmétique, un nouvel élément de variation, on en pourrait imaginer d'autres à l'infini, d'où l'on doit conclure déjà que l'arithmétique est quelque chose de trèsparticulier et de très -exclusif, dont l'intervention est le plus souvent arbitraire puisqu'elle n'a aucun rapport de nature avec les objets auxquels on l'applique.

Si nous nous plaçons maintenant au point de vue de la géométrie, et que nous lui demandions de déterminer par des constructions rigoureuses et exactes les formes des triangles, ou d'en obtenir la figure par voie de dérivation géométrique d'une autre figure dans l'espace ou dans le plan, on se rapprochera davantage de la nature essentielle des choses, et les figures obtenues par voie de déduction ou de composition géométrique seront de nature homogène, c'est-à-dire géométriques aussi. Mais là encore il sera fait usage de voies détournées, et qui n'ont aucun rapport immédiat avec la nature et les exigences de l'esthétique. Il n'importe guère en effet que l'on puisse conclure d'une figure déterminée certains rapports frappants et réductibles en nombre, ou qu'on en puisse fournir un tracé relativement simple, par la règle et le compas ; toute figure ainsi déterminée ou approximée n'en reste pas moins soumise, en tant qu'elle est une forme, à ce rigoureux examen, qui, au nom de l'esthétique et par la maîtrise souveraine de l'homme, consacre définitivement et fait siens les objets de son choix, nonobstant la certitude et la rigueur des remarques scientifiques dont ils peuvent être l'occasion.

Le trigone est un triangle isocèle, et si l'on partage sa base en huit parties égales, sa hauteur sera d'environ 6,928; ce triangle s'intercalerait donc dans la série précédente entre le triangle égyptien et l'isocèle qui a 7 pour hauteur. Si l'on considère d'autre part combien sa construction géométrique en est simple et facile, Ton sera amené forcément à en conclure que le degré de simplicité ou de rigueur arithmétiques n'est pas la mesure du degré de simplicité ou de rigueur géométriques, et que ni Tune ni l'autre ne sont la mesure du degré de simplicité ou de beauté

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Fig. 27.

de l'image purement formelle. Ces importantes considérations trouvent naturellement leur application en architecture, à propos de laquelle tant de théoriciens ont établi des formules et des méthodes de tracé, peut-être historiquement très-importantes , mais que l'on ne peut accepter plus longtemps sans les soumettre au préalable à un examen critique rigoureux.

85. Appliquant à quelques triangles isocèles de formes diverses la méthode générale de l'inscription de cercles tangents, on se rendra bien compte de ce qui fait l'unité, l'harmonie ou la beauté de tel triangle entre tous les autres (fig. 27;.

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i2j

Fig. I . Triangle isocèle rectangle ; — déclination brusque bilatérale.

Fig. 2. Trigone; — déclination brusque et tripartite.

Fig. 3. Déclination plus grande en hauteur.

Fig. 4 et 5 . Déclination en hauteur de plus en plus prononcée,

Fig. 6. Déclination en hauteur tout à fait décidée, la déclination à la base ayant disparu.

Fîg- 7f 8, 9, lo. Déclination bilatérale de plus en plus prolongée.

Fig. 1 1 . Déclination exclusivement rampante , adoucie et prolongée horizontalement, toute déclination verticale ayant disparu.

Cet artifice de Tinscription des cercles a encore l'avantage de montrer comment une forme est plus pu moins favorable suivant son échelle ou sa grandeur actuelle. Quand nous disons que les déclinations horizontales ou verticales ont disparu, il faut entendre qu'elles se sont effacées plus ou moins. Cet effacement est sensible dans les figures précédentes; mais on comprend bien que si la figure était plus grande, c'est-à-dire que la quantité d'à-plat y fût plus considérable, ce qu'il en reste après l'inscription des cercles serait encore perceptible, et laisserait comme une ombre d'indécision qui rendrait l'image moins nette.

Selon que l'isocèle est rampant ou qu'au contraire il s'élève en une seule déclination verticale, on a deux espèces de types distincts, et selon l'échelle ou la grandeur des individus conformes à ces types, on a des déterminations esthétiques fort distinctes aussi et même tout à fait hétérogènes ; par exemple : en architecture le fronton ou la flèche, et dans le détail des ornements les désinences obtuses ou aiguës.