II. — LES QUADRILATERES

86. Les quadrilatères sont des segments réguliers ou irréguliers des quatre formes fondamentales de Tétendue : le plan, la bande, le cercle et Tangle.

En tant qu'ils sont des segments de plan, la dominante est Tà-plat proprement dit circonscrit par la figure quadrilatère ; s'ils sont des segments de la bande, la dominante est linéaire ; s'ils sont des segments de cercle, la dominante est circulaire ; enfin, s'ils sont des segments de l'angle ou des triangles tronqués, leur dominante est angulaire.

Les quadrilatères ont quatre côtés qui sont égaux, inégaux ou variés, et de plus soumis à un plan de construction ou à un diagramme de symétrie, ce qui donne lieu à huit espèces de formes (fig. 28).

Fig. 8.

1° Les quadrilatères irréguliers (i), assy métriques ou qui n'ont point d'axes ;

2^ Les trapèzes irréguliers (2, 2'), assymétriques ou qui n'ont point d'axes ;

3^ Les trapèzes réguliers (3), symétriques ou pairs, i axe;

4® Les coins variables suivant les angles (4, 4',4"), et symétriques, I axe;

5^ Les parallélogrammes (5), dont la symétrie est diagonale, une infinité d'axes ;

6® Les losanges écartelés, dont la symétrie est diagonale, 2 axes;

7® Les rectangles écartelés, dont la symétrie est diagonale, 2 axes ;

8^ Le carré à symétrie quaternaire, 4 axes.

Le quadrilatère a ses quatre côtés inégaux et articulés sous des angles inégaux. Le parallélogramme a ses côtés égaux deux à deux et articulés parallèlement sous des angles égaux deux à deux. La forme mitoyenne entre le quadrilatère et le parallélogramme est le trapèze qui a deux côtés parallèles ; les deux formes particulières du trapèze sont le trapèze rectangle et le trapèze isocèle ou symétrique. Le rectangle et le losange sont deux espèces particulières de parallélogramme : les côtés du losange sont égaux et les angles égaux deux à deux. Les côtés du rectangle sont inégaux, et les angles tous égaux et droits. Si Ton suppose ces deux figures mobiles et comme articulées aux quatre sommets, le rectangle devient un parallélogramme ; le losange ne change pas de forme, mais seulement d'accent; les angles devenant simultanément plus aigus et plus obtus, la figure s'allonge dans un sens en même temps qu'elle se déprime dans l'autre. La forme absolue et invariable du "losange mobile est le carré qui a ses côtés égaux et ses angles droits. Les losanges mi-réguliers ou seulement symétriques ont leur forme mitoyenne entre le quadrilatère et le losange , leur composition est très-variée suivant les angles : un angle aigu et un angle obtus, deux angles aigus ou deux obtus s'opposantl'un à l'autre. La forme du coin est mitoyenne entre le quadrilatère irrégulier et le losange.

Le tableau suivant indique, en même temps que les lignes naturelles de la figure, la corrélation étroite qui existe entre le rectangle et le losange. Ces lignes naturelles sont les diagonales qui joignent les sommets, et les médianes qui joignent les milieux des côtés opposés. Ces lignes sont aussi des axes de symétrie. Les figures (4} (4') inscrivent un losange ou un rectan-

gle; les figures 5, 5' réunissent les diagonales et les médianes; les figures 6, 6' ont en plus la figure inscrite. Les figures 7, 7' réunissent les figures inscrites et les diagonales ; les figures 8, 8^ réunissent toutes les particularités.

Le carré, comme le montrent les figures suivantes, participe à la fois du rectangle et du losange. Le carré est la forme absolue entre tous les quadrilatères.

Fig. 29.

87. La dominante d'à-plat du carré est le cercle. Les dominantes des rectangles, des losanges et des coins, sont les ovales

Fig. 3o.

pairement pairs ou écartelés pour les rectangles et les losanges, et pairs ou simplement symétriques pour les coins. Dans l'espace ovalaire, la dominante principale est linéaire, c'est-à-dire que Tovale implique le rectangle, et, réciproquement, le rectangle implique Tovale ou la dominante ovale qui détermine Tappréciation esthétique du rectangle. L'ovale a deux diamètres principaux, ou deux axes, de même que le rectangle. Le rapport linéaire de ces deux lignes ou la proportion linéaire doit être assez déterminée pour que la forme soit aussi déterminée. Un ovale , dont les deux axes diffèrent peu, est une forme incertaine qui a [pour dominante l'espace circulaire. Si, au con-

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i3i

traire, les axes sont fort différents, la dominante devient linéaire : dans les deux cas, les formes sont extrêmes, Tune de ces conditions s'exagérant au détriment de l'autre qui subit, dans ce cas, un arrêt de développement. Cette coexistence de deux conditions différentes, et qui doivent exister simultanément, est ce qui détermine Tinfinie variété d'ovales et de rectangles. Dans les losanges, ce sont les désinences angulaires qui sont les plus frappantes; si ces désinences sont prolongées, Tovale inscrit s'allonge d'autant et paraît de moins en moins bien adapté à la forme. Les coins et les oves qui y correspondent ont des formes infiniment plus variées, l'abside et la désinence pouvant être variées à tous les degrés, conjointement à rallongement ou à la dépression de la figure.

m. - LES PENTAGONES.

88. Les pentagones sont de trois espèces, suivant qu^ils sont irréguliers, mi-réguliers ou^éguliers. Le pentagone irrégulier a ses côtés et ses angles inégaux et n'a point d'axes de symétrie; le pentagone mi-régulier est symétrique par rapport à un axe ; il a, par conséquent, les lignes et les angles qui se correspondent égaux. Enfin, le pentagone-régulier a 5 axes de symétrie et tous ses côtés et tous ses angles égaux. Le pentagone régulier (3) est une figure centrée et a pour dominante le cercle ou l'aréole circulaire. Le pentagone mi-régulier (2, 2') est une figure paire et a pour dominante l'ove allongé ou surbaissé. Le

Fig. 3i.

pentagone irrégulier a pour dominante l'à-plat, le cercle bu les désinences angulaires (fig. 3i).