QUI EN DÉRIVENT

92. Toutes les considérations purement •géométriques, qui concernent les polygones, sont dépendantes d'un examen plus général et plus abstrait, qui est relatif à la distribution de points.

Puisque l'espace a trois dimensions, ou trois coordonnées, au moyen desquelles on détermine tel point de Tespace ; puisqu'il ne faut que deux coordonnées pour déterminer un point assujetti à rester sur une surface, et qu'enfin une seule suffit si le point est pris sur une ligne déterminée, des points pourront donc être imaginés :

i^ Rangés les uns à la suite des autres suivant une ligne droite ou toute autre ligne susceptible d'être prolongée indéfiniment. Suivant une ligne circulaire ou toute autre ligne courbe rentrante et fermée. Enfin, suivant une hélice ou toute autre ligne courbe à double courbure ;

2® Répartis, les uns par rapport aux autres, sur une surface plane ou une surface courbe susceptible d'être prolongée indéfiniment , sur une surface plane limitée ou sur une surface courbe ou quelconque fermée ;

3^ Distribués les uns par rapport aux autres dans l'espace et constituer un nombre indéfini de configurations, soit géomé-

x36 THEORIE DE L'ORNEMENT.

triques lorsqu'il est possible de se rendre compte des relations d'ordre, de situation et de figure qui déterminent la forme géométrique ; soit artificielles lorsqu'on donne à ces configurations une dénomination arbitraire ou empruntée à d'autres formes plus habituelles et qui nous sont familières.

Si les points sont disséminés au hasard, il n'arrive que par hasard qu'il y ait entre eux un lien plus ou moins défini. En général la recherche à priori d'un ordre plus bu moins régulier est si difficile et de si peu d'intérêt que personne ne songe à s'y égarer. Il suffit de concevoir que l'on arrivera nécessairement, ensuite d'un travail plus ou moins laborieux, à reconnaître que l'on peut joindre ces points les uns aux autres, de telle manière que l'on obtienne une image susceptible d'une définition précise ou d'une figuration définie, cette figuration pouvant être linéaire ou en surface . Les travaux de la physique mathématique portent plus particulièrement sur cet ordre de recherches \ les conditions du problème sont traduites en fonctions analytiques qui, à l'aide des conceptions géométriques, sont figurées dans l'espace,

•93. Npus nous proposons dans ce paragraphe d'examiner seulement les figures planes que l'on obtient en reliant un nombre de plus en plus grand de points distribués sur un plan.

Deux points déterminent une orientation, et la droite réelle ou imaginaire qui les relie est la figuration rudimentaire et la plus simple de toutes.

Trois points déterminent une direction et deux distances si les points sont alignés, ou bien un triangle réel ou imaginaire et par suite une figure et trois distances dans tout autre cas.

Quatre points sont alignés ou bien disposés en quadrilatère et les distances extérieures qui les relient figurent un trapèze, un losange, etc. De plils, les distances qui relient les points opposés ou les distances extérieures sont les diagonales.

Cinq points sont disposés en ligne droite, ou déterminent une

MATÉRIAUX ANALYTIQUES. iS;

figure réelle ou imaginaire en forme de T, de trapèze, de croix, de polygone, etc.

En général, un nombre quelconque de points est distribué en ligne droite ou bien détermine une figure réelle ou imaginaire. Si la figure est réelle, on a successivement toutes les variétés de figures polygonales. Si la figure est imaginaire, les différents arrangements de points sont spécifiés par le nombre et la situation. C'est ce qui a lieu dans le blason.

Dans la répartition des figures ou des meubles sur le champ de Técu, il faut considérer le nombre et la situation. De la situation dépend l'arrangement particulier, parce qu'un même nombre peut s'arranger diversement.

Un point est posé dans telle partie déterminée de l'écu : deux points sont posés l'un au-dessus de l'autre, ou en pal^ l'un à côté de l'autre, ou en fasce^ diagonalement en bande ou en barre. Trois points sont posés en ligne droite, suivant une des partitions de l'écu ou bien 2 et i . Quatre points sont posés 2 et

Fig 35.

2 OU en carré \ 1,2, i, ou en losange, 2, i, i en pairie; 3 et i en T. Les quatre points, posés aux angles de l'écu, donnent l'orle la plus simple. Cinq points sont posés 2, 2, i ; 2, i, 2 en sautoir, 1,3, I en croix, 2, i, 1,1 en pairie, 3, i, i en T. Six points sont posés 2, 2, 2 en orle; i, 2, 2, i ; 3, 2, i en triangle ou pile. Sept points sont posés 3, 3, i ; 3, i, 3; 2, 3, 2 en hexagone, enfin 4, 3. Huit points sont posés 3, 2, 3 en orle; 3, 2, 3 ; 2, 3, 2, I en écu; 3, 3, 2 ; 2, 2, 2, 2. Neuf points sont posés 3, 3, 3 ; i, 2, 3, 2, i en losange; 3, 3, 2, i ; 4, 3, 2, i

en pile. Dix points sont posés 4,' 2, 4; 3, 4, 3; 3, 2, 2, 3 en orie. Onze points sont posés 3, 2, i, 2, 3. Douze points sont posés 4, 2, 2, 4 en orle; 3, 3, 3, 3. Treize points sont posés 4, 3, 3, 2, I en vair; 3, 2, 3, 2, 3, etc.

En général, les arrangements de points sont désignés et spécifiés : I® par une suite de chiffres qui indiquent le nombre et la situation; 2® par les figures usuelles qu'ils déterminent comme la croix, le sautoir, le pairie, le chevron, Torle -, 3** par les figures géométriques telles que la droite, le carré, le triangle, Thexagone, etc.

94. Un nombre déterminé de points disséminés implique immédiatement un nombre proportionnel ou corrélatif de distances ; à mesure que le nombre des points augmente, le nombre des distances qui les relient augmente encore plus rapidement. Ainsi trois points impliquent 3 distances ou droites; 4 points 6 droites; 5 points 10 droites ; 6 points .14 droites, etc. Toutes ces droites sont les côtés et les diagonales des figures polygonales.

Une distribution de points est symétrique, lorsque toutes les distances semblables, c'est-à-dire symétriquement placées sont égales ; elle est régulière lorsque toutes les distances semblables ou symétriquement placées étant égales, se coupent en des points semblablement placés et également distants les uns des autres . Cette régularité est réalisée ^dans les arrangements circulaires de points, d'où dérivent toutes les espèces de polygones .

En dehors des arrangements déterminés et figurés, des points en nombre illimité peuvent être posés les uns à la suite des autres, suivant une directrice, droite, circulaire ou volubile. Si ces points sont à des distances égales, on a une répétition uniforme et la figuration la plus, simple de l'ordre linéaire ou circulaire ou volubile. Si les points étaient distribués suivant une ligne courbe dont la courbure serait variée d'un point à un autre, la distribution, pour être régulière, devrait suivre un cer-

tain ordre conforme à la courbure de la ligne directrice. Cette courbure s'accentuant, les points devront se serrer progressivement et suivre en général toutes les modifications de courbure de la ligne.

95. Trois points distribués régulièrement, c'est-à-dire à des distances égales, déterminent le trigone ; quatre points le tétragone ; cinq le pentagone ; six l'hexagone, ainsi de suite en suivant la série ordinaire des chiffres. Si on trace effectivement les

Fig. 36.

droites qui relient ces points circulairement, on a des figures nettement déterminées et qui s'apprécient d'emblée, et alors on peut observer qu'une même forme d'une construction intrinsèque définie étant rapportée aux coordonnées naturelles et instinctives est l'objet de perceptions rapides sensiblement difîé-

rentes les unes des autres, selon la position et Torientation de cette forme (fig. 36).

Le trigone peut occuper quatre positions différentes bien distinctes : I** posé sur un côté; 2^ posé sur la pointe ; 3® tourné à droite ; 4° tourné à gauche. Puis un nombre indéfini de positions obliques ; dans toutes ces positions, le triangle est sensiblement déformé, la base ou la pointe dominant, suivant la position, rintégrité de la forme. Le losange donne lieu à trois images distinctes, debout sur la pointe, en travers ou en long, enfin posé sur un côté, Timage est alors indécise et rappelle un parallélogramme. Le rectangle donne lieu à deux positions distinctes. Le carré est posé sur un côté ou sur la [pointe, cette dernière image simule un losange. L'hexagone a deux positions ainsi que Toctogone. La différçnce de Timage est ici parfaitement nette : la première montre bien le parallélisme des lignes et leurs directions rectangulaires ; la seconde, au contraire, n'est plus qu'une image centrée, où il faut compter expressément le nombre des côtés pour reconnaître l'espèce du polygone. Le pentagone peut paraître sensiblement déformé dans chacune des quatre positions indiquées, mais il faut remarquer que le changement de position altère simplement la régularité de la forme sans lui donner un aspect différent-, le pentagone et tous les autres polygones d'un nombre impair de côtés sont des figures essentiellement centrées.

96. En suivant la série des polygones on remarquera qu'à mesure que le nombre des côtés augmente, la figure se concentre sur elle-même et n'est plus susceptible d'être placée dans un sens plutôt que dans l'autre, c'est-à-dire qu'elle devient indifférente. L'heptagone, l'ennéagone, le décagone, et, à plus forte raison, les polygones d'un nombre de côtés supérieur ne sont plus que des figures centrées. Le sens naturel de ces figures est tout entier dans la régularité de distribution des côtés par . rapport au centre ou suivant l'ordre circulaire.

En sautant du carré à l'hexagone, de l'hexagone à l'octogone,

pour revenir au pentagone, nous n'avons tenu aucun compte de Tordre habituel qui consiste à suivre la série ordinaire des chiffres. C'est que cet ordre habituel, n'est en effet qu'une habitude de l'esprit qui tient à un préjugé d'éducation. Ensuivant ainsi la série des chiffres, on semble suivre une marche rationnelle, puisqu'on s'élève progressivement du simple au composé. Mais, comme nous l'avons déjà fait remarquer, le degré de simplicité arithmétique n'est pas la mesure du degré de simplicité géométrique, non plus que la mesure du degré de simplicité formelle ou de l'image.

Les polygones en tant qu'ils sont des formes ont un caractère déterminé et indépendant de toute idée de nombre que l'on y peut associer. Certainement le nombre 5 est plus simple que le nombre 8, mais géométriquement, le pentagone est une figure parfaitement définie comme forme et que l'on aurait pu désigner d'un nom propre qui ne rappellerait en rien l'idée de nombre. Les formes polygonales seraient tout aussi intelligibles et imaginables , quand même nous ne saurions pas compter.

Les polygones sont des formes, et alors l'idée de nombre est purement accessoire.

Les polygones sont des figures, et alors la forme, l'ordre et l'idée de nombre sont corrélatives.

Sans doute il est fort difficile de séparer l'idée de nombre de l'idée de forme, et il n'y a certainement nul inconvénient à associer à la notion de la forme l'idée plus abstraite du nombre. Pourtant il est fort important de ne les point subordonner l'une à Tautre. La forme comporte un mode de représentation immédiatement adéquat, le dessin, tandis que le nombre est fixe à Taide de signes conventionnels régulièrement construits suivant une loi systématique'qui fait l'objet de Tarithmélique. L'idée de nombre si naturelle et si simple se trouve voilée et comme obs-

curcie par l'importance excessive donnée à la logique, c'est-àdire à l'esprit de système dans l'enseignement. Quoi de plus

simple que les nombres deux et trois que Ton ne compte même pas tant l'intuition en est aisée, sûre et prompte. Pour le mathématicien, les nombres arrivant à leur rang dans la série arithmétique perdent leur sens originairement simple pour prendre une acception détournée et passer à l'état de chiffres ou de signes numériques .

On confond alors l'intuition immédiate et naturelle avec l'idée abstraite ou subordonnée à un système scientifique, et comme l'idée de nombre, si vague qu'elle soit, est absolument inéluctable, on a cru, par suite de cette confusion, qu'il serait possible de l'appliquer aux œuvres d'art. De là cette vaine recherche de l'explication de la beauté des œuvres d'art, par l'harmonie qui serait attachée à certaines propriétés mystérieuses des nombres. Si l'on attache tant d'importance au chiffre, et une importance exclusive et étroite, il est tout naturel que l'on en vienne à demander à l'arithmétique, qui en est la théorie, de formuler les conditions du beau, et l'on arrive ainsi à faire dépendre une question de forme d'un problème arithmétique , ce qui est tout simplement absurde.

Ce qui explique en partie cette illusion, c'est qu'en général une forme, une disposition, une ordonnance résultent de la distribution dans un certain ordre des parties constituantes, et que l'idée de l'ordre considérée dans sa pureté abstraite s'associe naturellement à l'idée de nombre, car on ne peut fixer un ordre ou s'en rendre compte que par une étiquette numérique ou par des lettres, ou par tout autre signe dont nous connaissons déjà le numéro d'ordre.