CHAPITRE IX
LES POLYGONES DERIVES.
97. Si Ton imagine une suite de points situés sur une circonférence et également espacés, et que Ton joigne ces points i à i , on aura successivement pour 3 points le trigone, pour 4 le carré, pour 5 le pentagone..., pour n points le polygone de n côtés. Une suite de n points étant ainsi régulièrement espacée en une circonférence, si Ton joint ces points non plus de i en i , mais de 2 en 2, de 3 en 3..., etc., on obtiendra une suite de figures non plus convexes comme le polygone premier, mais étoilées, où s'entre-croisent toutes les lignes de la construction.
Le trigone n'a point de figure dérivée, non plus- que le carré qui a seulement deux diagonales entre-croisées. Les huit autres polygones principaux, c'est-à-dire Thexagone, Toctogone, le décagone et le dodécagone, le pentagone^ Theptagone, Tennéagone et le pentédécagone, ont tous des polygones dérivés étoiles, d'espèces différentes, savoir :
L'hexagone, une figure étoilée formée de deux trigones régulièrement entre-croisés, c'est-à-dire intersectés (fig. 37).
Le pentagone, une figure étoilée continue (fig* 38).
L'octogone, une étoile formée de deux carrés entre-crois.és et une étoile continue (fig. 39).
L'heptagone, deux polygones étoiles continus (fig. 40) .
Le décagone, une étoile de deux pentagones intersectés -^
un polygone étoile continu — une étoile formée de deux pentagones étoiles continus intersectés (fig. 41}.
Fig. 37.
Fig. 38.
Fig. 39.
Fig. -|0.
Fig. ^i.
L'ennéagone, une étoile de trois trigones intersectés — deux polygones étoiles continus (fig. 42).
?!Ê8t'sS5i^*'^S^S'§-®^^''^^''^^"^^ intersectés — ~" "f^M'^Ww''^^3^* — ""^ étoile de quatre
Itfi'^i^^^lS^fWli^''^ continu (fig. 43).
liwSl'It-â^'S.^^Î'*! trigones entre-croisés
i||Éê^^l*Sj^i^j^îfQtre-croisés — trois poly-
s, on peut mener d'un sommet
j- ____,- ^C^;^5^^ygone est pair, une des dJagona-
^'^^S^a^^'I^M^ «li^Sonalcs forment deux à deux
Cgones déri-
^^^^fe^*ISlW'^^5&î¥5'll*^î'lygo'>e pair - -'* polyg.
vés, et pour un polygone impair où toutes les diagonales contribuent à former
des angles, polygones dérivés.
Soit, par exemple, un polygone de 48 cotés, on a
ou 22 figures déri-
vées qui sont de trois espèces : les polygorles intersectés, les polygones étoiles continus et les polygones étoiles intersectés.
En écrivant les uns à la suite des autres tous les nombres compris entre o et la moitié de 48 ou 24, on a une série arithmétique qui comprend trois espèces de nombres : 10 les diviseurs de 24 : 2. 3. 4. 6. 8. 12. 16; 2^ les nombres premiers avec 24 : 5. 7. 11. i3. 17. lo. 23; 3o enfin les multiples premiers avec 24, savoir : 9. 10. 14. i5. 18. 20 21. 22. A ces trois espèces de nombres correspondent les trois espèces de figures dérivées, savoir :
