DES POLYGONES
100. I. Éléments rhombiques et décomposition des polygones en losanges. — On numérote à partir de o tous les sommets successifs d'un polygone, o, i, 2, 3, 4, 5... De o on mène une parallèle au côté 1-2, de 2 une parallèle au côté i-o, on a ainsi le premier losange ; du 4® sommet i ' de ce losange on mène une parallèle à 2-3, de 3 une parallèle à 2-1', on a le second losange. Du point 2' on mène une parallèle à 3-4, et de 4 une parallèle à 3-2', on a le troisième losange ; on continue ainsi indéfiniment pour tous les sommets. On remarquera que les polygones d'un nombre impair de côtés ont un nombre limité de losanges qui laissent un vide irrégulier, qu'au contraire les polygones d'un nombre pair se peuvent couvrir intégralement par des losanges juxtaposés et qui ne laissent aucun vide. De plus, le nombre total des losanges se réduit à un nombre limité de losanges différents (fig. 48, 49 et 5o).
En général, si n est le nombre des côtés du polygone, la fofiimlç - i — — J
donne le nombre total des losanges, dans le cas 06 n est ui| nombre pair. Si au contraire n est impair, on obtient le nombre total des losangçs par la formule
w — 3 Si If est impair, la formule donne le nombre de losanges différents.
Si n est pair, la formule
donne le nombre de losanges différents.
Si n est pairement pair, la formule donne le nombre de losanges différents.
Soient par exemple les polygones de i6, de lo et de 9 côtés, Pour le polygone de 16, on a — P -7-^) = 28 losanges qui couvrent exactement la figure. Ces 28 losanges se réduisent à — = 4 losanges différents. Le décagone a un total de — (■^^~^)
= 10 losanges qui se réduisent à i^^^ = 2 losanges différents. L'ennéagone a un total de (^^— ^) r"~~) ~ ^ losanges qui lais-
sent un vide ; ces 6 losanges se réduisent à âz^ = 3 losanges différents .
Fig. 48.
Fig- 49-
Fig. 5o.
Le polygone de 16 côtés a 4 losanges, dont les angles ont pour valeur savoir : le losange j, ~ pour les angles aigus et 2
pour les angles obtus ; le losange b, ~ et |, c'est le losange . *
propre de Toctogone -, le losange c, ^ et ^ ; enfin le losange rf, dont les angles sont égaux à i et qui est par conséquent un carré.
Si les angles des losanges sont fractions exactes de 4 droits, on les peut réimir autour d'un même point, et Ton a ainsi des étoiles régulières dont les pointes saillantes ont la même grandeur que les girons juxtaposés. Le losange a donne une étoile de 16 losanges ou de 16 pointes. Le losange b donne une étoile de 8 pointes, c'est l'étoile de l'octogone. Le losange c, dont
MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i53
les angles ne sont pas des fractions exactes de 4 droits, ne donne pas d'étoile. Le carré d assemblé par 4 donne* un carré. Les losanges du décagone ont pour valeur, savoir : a, 5 et 3,
et /^, I et 3 ; ce dernier est le losange du pentagone, qui donne Tétoile du pentagone-, le premier a donne une étoile de 10 pointes.
Les losanges de Tennéagone ont pour valeur, savoir : j, * et -^ ; ce losange donne une étoile de 9 pointes ; le losange b,
^ et ~ , ne donne pas d'étoile ; le losange c, ^ et ^ , est le losange trigone ou de Thexagone, il donne Tétoile hexagonale.
Tous les losanges ainsi obtenus ont leur côté égal au côté du polygone générateur.
Il est évident que le triangle et le carré n'ont point de losange dérivé. L'hexagone en a un, c'est le losange trigone. L'octogone en a deux, son losange propre et un carré. Le pentagone n'en a qu'un, l'heptagone en a deux. Le dodécagone a un losange propre, un losange trigone et un carré, etc.
En répétant circulairement les polygones décomposés intégralement en losanges, en obtiendrait des rosaces, comme celle
Fig. 5i. Fig. 52.
obtenue de l'octogone (fig. 5i et Sa). En décomposant les losanges en losanges plus petits, on découperait la figure en partie de plus en plus petites qui, assemblées de toutes les manières possibles, détermineraient une variété infinie de combinaisons.
I o 1 . 2 . Éléments cunéiformes et décomposition des polygones en coins. — Si l'on joint les points milieux des côtés, du polygone générateur et les sommets des angles rentrants des
i54 THÉORIE DE L'ORNEMENT.
polygones dérivés au centre, on décompose la figure en coins qui ont pour angle au centre^ Tangle au centre du polygone, et pour angle opposé, successivement tous les angles du polygone générateur et des polygones étoiles qui en dérivent,
En général, si n est le nombre des côtés du polygone, la formule - donne U
VRleur de Tangle au centre, et • ' J la valeur de Tangle du polygone.
Si n est pair, la suite des formules ■ ■- - , — ^ — ^y ■ ■■■ .... - donne succès^
fi H 9t n
sivement la suite des angles de tous les polygones dérivés.
Si n est impair, la suite de» formules '^ — i, — i — \ \ ,~ — î....-
donne la suite des angles de tous les polygones dérivés.
On a ainsi pour chaque polygone une suite finie d'angles, si Ton conjugue deux à deux ces angles entre eux ou avec l'angle au centre, on obtient ainsi les losanges examinés précédemment et les coins.
Pour le pentagone on a la suite d'angles 5, 5, 5 . Ces angles conjugués deux à deux donnent 5 > 5 coin du pentagone ; j > 1 coin du premier décagone étoile, f > 3 coin du pentagone étoile, et enfin 3 + 5 ou le losange du pentagone.
On remarquera Tartifice des signes ^ (plus grand que) pour désigner les coins, et + (plus) pour désigner les losanges.
L'hexagone donne la suite des angles g, |. Ces angles conjugués deux à deux donnent g > 5 ou le coin hexagonal, qui assemblé par trois donne le trigone et assemblé par six donne Thexagone, etg + gou le losange trigone, qui assemblé par trois donne Thexagone et assemblé par six donne Tétoile hexagonale.
L'octogone donne la suite des angles ^, g, g. Ces angles con-
jugués deux à deux, savoir : -g- > g le quart de Toctogone ;
■y > I le coin de Toctogpne ou le huitième ; g > g le coin
de l'octogone étoile ; ^ + 1 le losange de l'octogone ; g + g le carré.
MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i55
L'heptagone donne la suite des angles y, -, -, 1 ^. Ces angles
conjugués deux à deux donnent : y > | le coin du i ® polygone étoile de 14 côtés ; y >* le coin de Theptagone \ j>j et y > - des coins dérivés des polygones étoiles du polygone de 14 côtés; ^>^ donne une étoile de 14 pointes; ->^
unQ étoile de 7 pointes ; | > ^ ne donne pas d'étoile \ j>l
donne une étoile de 14 pointes; ^>^ est le coin du premier heptagone étoile ; • > ^ est le coin du i ® polygone étoile de ï4 côtés, il donne une étoile de 14 pointes et une de 7 pointes, y + 1 est le losange qui donne une étoile ; | + - est un losange qxii ne donne pas d'étoile.
La série des angles de Tennéagone est ^'^, j, ^, ^, ^,-1 ^. Ces angles conjugués deux à deult donnent 3 losanges et 6 coins. Savoir :
* + ^ ou le losange a de la figure 5o qui donne une étoile de 9 pointes correspondant au premier ennéagone étoile (D) .
- + ^ OU le losange trigone ; - + ^ ou le losange g qui ne donne pas d'étoile.
^>* coin de l'ennéagone.
>* donne une étoile de 3 pointes et une de 9 pointes.
^>^ donne une étoile de 9 pointes (C).
V>\ donne une étoile de 9 pointes (D).
- > ~ donne une étoile de 6 pointes (A' ) et une de 9 pointes (A).
\>\ donne une étoile de 18 pointes (B) et une de 9 pointes (B).
La série des angles du décagone est 5, 3, |, 5. Ces angles conjugués deux à deux donnent toutes les figures du pentagone et spécialement un losange propre 5 + 3 et un coin propre J>^ qui donne une étoile de 10 pointes.
Sl^Im^i
K'*^ Ilf-S"!^^ L'ORNEMENT.
l|^'?^|pâ^fî§'8^îiê^^'=3SO"^ ^s^ l^t l> vv Ces angles ^® It^î^a^É^ËWl"^"^ ^" losange propre 3 + 3 qui
(§1 ïfî\îî*^i '^^'l^S
Fig. 53.
^jpi^i^ pointes ; le losange trigone et le
u-G^»K î > 4 donne une étoile de 1 2 poîn-
l^une étoile de 3 pointes et une de
^K 3 donne une étoile de 4 pointes et
^i^jîfiîi^ième enfin 3 > 3 donne une étoile
^*!i2:^:Wpintes.
Pl^IG^ii^^plus loin cet examen, et nous fini-
l^l^i'll^^nt observer que cette génération
^nt à la théorie générale des poly-
iîât:i^£sthÉtiquement le lien harmonique
^^îjgiàîwtées. C'est par cette théorie générale
p:%^SJ3gâ:ftM^t aisément chacun des éléments
[n^^'aSacl^i^Scit seraient d'une élaboration difiî-
iJSJ^ï^i^^^^^.^pnd on tient compte des strictes
||^^;^^;^j^î^pmet pas que Ton obtienne avec
^&^i^:ç^4|>^^gê obtenu d'une manière plus simple
^^^H§*^é^i£^^^f^i^econnait aucun mérite esthétique
Pll^ï©îSÉ'8«ii<S-"il^n nous permette encore une der-
MATÉRIAUX ANALYTIQUES. i5y
nière observation qui est d'importance. Nous aurions pu nous étendre sur les relations curieuses qui existent entre la théorie des nombres, l'algèbre et la géométrie. Il y a dans l'étude de ces matières et des rapprochements qui en surgissent, comme une sorte d'entraînement secret, dont nous-mêmes n'avons pas toujours su nous garder ; mais si l'on prend soin de ne jamais perdre de vue les figures elles-mêmes, et que, pour la vaine satisfaction d'une curiosité dissolue, on n'aille pas sacrifier les opinions et les goûts qui sont propres à notre race et que les artistes ont pour mission de révéler, on abandonnera aux mathématiciens ce qui, de ces matières, relève de la curiosité scientifique, et aux Orientaux, les développements souvent extraordinaires, qu'au seul point de vue purement ornemental on en peut tirer.
