z^2«^A-=-cos'^|-^j, ^,z^-2«y/A«-cos^(j
ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS D*UNE PAROI. /|3
13. Si le liquide s'élève sur une des lames et s'abaisse auprès de l'autre, lorsqu'on rapprochera suffîsamment les lames, le point d'inflexion disparaîtra, à moins que l'angle obtus i' ne soit le supplément de I.
Représentons tu — l'pary'; nous aurons
Zi — — 2a i / A' — cos' ( 7 — - )
Si, par exemple, i est <y', la valeur absolue de z^ est plus grande que celle de s^, le liquide s'élèvera plus contre la première lame qu'il ne s'abaissera contre la seconde. A mesure qu'on les rapprochera, k diminuera, et pour
on a j?2 = o. Le point d'inflexion, qui est à la hauteur du niveau, se trouve alors sur la seconde lame. En rapprochant encore les lames, toute la surface du liquide qui y est renfermée s'élèvera au-dessus du niveau, et il faudra modifier l'analyse précédente. Nous allons voir qu'on peut se servir des formules du premier cas, où les angles i et i' sont aigus.
Soit C le point le plus bas de la section droite {/ig. 7). Menons le
Fig
plan BF parallèle au plan AE, entre la lame AE et le point C, puis menons la tangente HK; l'angle KHF, que nous appellerons 1,, est obtus, tandis que l'angle TME, qui représente l'angle 1 est aigu, et l'on a
Remplaçons ensuite le plan BF par une lame pour laquelle Tangle de raccordement avec le liquide soit précisément égal à i,. Il est évident que le liquide se maintiendra jusqu'à la surface HM; car la surface HM représente bien une surface capillaire, et les deux conditions relatives aux angles de raccordement sont satisfaites.
On pourra donc, en prenant encore pour origine des abscisses celle du point C, appliquer la formule du premier cas
en posant, d'après la notation de Legendre,
Pour 0? — OE = e, on a ç = 1, «^ = ^ -+- -^ et, pour a? = OF = ^, ,
on a ç = £, > 't' = "7 ^* Donc l'équation précédente devient, pour
oc — — c Cl X — ^1 ,
^.='-^"«Kj'*)-Kt-1''*)]-¥[^<-*>-<t-ï'*)}
Désignons par \ la distance des lames; nous aurons, en retranchant ces égalités,
-¥KT-î'*)-Ki*i'*)]'
équation qui détermine k.
Les élévations du liquide contre les lames seront positives et données par les expressions
ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 4>
Ce qui précède suppose i, <!7Ç — «. Si i, est > t: — i, le calcul sera tout semblable, mais les élévations se changeront en dépressions.
Sur r élévation ou la dépression d'un liquide dans un tube circulaire
et capillaire.
14. Supposons un cylindre vertical circulaire ; prenons son axe pour l'axe des z et mettons l'origine des z sur le plan de niveau. En désignant par X la distance d'un point de la surface du liquide à l'axe, nous aurons, d'après ce que nous avons vu (n*^ 2), pour l'équation du méridien de la surface du liquide.
dx-
1 ^ r, /^^vi
X dx L \^^] J
Le premier membre représente la somme des courbures principales en chaque point de la surface, au sommet de laquelle les deux rayons de courbure principaux sont égaux à une même quantité y. Si donc on fait x-=^o dans cette équation et qu'on désigne par h la hauteur du sommet, on aura
En multipliant l'équation (i) ^^xxdx et intégrant les deux membres, on a
dz
, . dx i r
xz dx.
Nous allons maintenant supposer que le rayon rest très petit. Dans ce cas, la surface du ménisque diffère peu d'une portion de sphère; si elle appartenait à une sphère, son méridien serait un cercle ayant pour équation
V'f CHAPITRE ir.
/ Hc étant constants. Posons donc
u étant une fonction de x très petite. Nous aurons
dz X du
dj: ~ ^ c'—x^ ^
et par conséquent ^ est nul pour x = o. Nous allons substituer cette expression de z dans (2); en négligeant le carré de -^-j nous aurons
(dz i- c / jr\c- — jr* du \
di) -- ^--T^A: -- -^- dx)
dz dx
