j ux
ou
a}rz=L 1 — - — h I uxdx
Poisson trouve donc deux valeurs de A, savoir (a) et (6), et la se-
ÉLÉVATION OU DÉPUESSION d'lN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAUOl. 49
conde rend u infini pour a?— r. La correction du terme en -j? qu'il fait
par la formule (6), se trouve être à peu près double de celle qu'il faut faire.
15. Si l'angle i de raccordement n'est ni nul, ni très petit, les formules que je viens de donner s'appliqueront très bien à des tubes dont le rayon ne dépassera pas i*""; ainsi elles s'appliqueront en particulier à une colonne mercurielle renfermée dans un pareil tube. Mais, si /est nul, la méthode d'approximation du calcul précédent n'est plus applicable. En effet, dans ce cas, c est égal à r, et une nouvelle approximation calculée d'une manière semblable donnerait dans z des termes qui seraient infinis pour x = r.
11 faut donc, quand i est nul, employer d'autres formules. La surface convexe différant peu d'un hémisphère si le rayon ne dépasse pas i"™, restant convexe et se terminant normalement à un plan horizontal, on conçoit qu'elle pourra être assimilée avec une grande approximations un demi-ellipsoïde de révolution dont le rayon équatorial sera celui r du tube.
£n mettant l'origine au sommet, l'équation de l'ellipse méridienne sera
r, p étant ses demi-axes, et le rayon de courbure au sommet sera
on aura donc
Le volume du liquide soulevé est 2-ra^ (n^ 3), et il en résulte
11 ra' z= Il / ' A -t- 2 TT I zxdx.
Cette intégrale est égale à ^ » et l'on obtient
Des équations (i) et (2), on tire
Nous verrons, au Chapitre V, le moyen de juger du degré d'approximation de ce calcul en comparant les résultats des formules précédentes à cqux d'autres entièrement rigoureuses.
Si l'on veut calculer la quantité a^, connaissant /^, on déduira de la dernière formule
hr hr / /»/* hr ( \ r i r* \
Edouard Desains a déduit, au moyen de cette formule, pour la valeur de a* relative à l'eau, le nombre 7,55 à la température de 8*", 5 C.
16. Pour déterminer l'épaisseur de la couche d'un liquide qui humecte la paroi intérieure d'un tube capillaire, M. Duclaux, après avoir introduit dans le tube une colonne du liquide, l'aspire jusqu'à une des extrémités de ce tube; puis il fait retournera sa position primitive la base opposée de la colonne dont la longueur se trouve diminuée. Il en déduit bien facilement le volume de la couche liquide qui reste adhérente à la surface intérieure du tube et par suite aussi son épaisseur. M. Duclaux a ainsi trouvé, en employant un tube de o™™,i45 :
Épaisseur Cil millimètres.
Eau o , ooo5o
Alcool à 00° 0,00076
Huile d*olive o,oo344
J'ai le premier démontré que, lorsqu'un liquide coule dans un tube capillaire, il se trouve sur la paroi une couche immobile tellement mince qu'on peut la considérer comme nulle dans le calcul (voir Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, 10 août i863, et mon Cours de Physique mathématique, n° 30). Cela n'était nullement admis auparavant ; néanmoins les physiciens ne me citent jamais à ce sujet.
Si l'on représente par II la hauteur moyenne, au-dessus du niveau,
ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 5l
(le la surface du ménisque dans un tube circulaire du rayon r, on a, d'après le théorème de La place,
71 7*11 :=: 2 Tira* ces « OU
Ainsi H varie en raison inverse du rayon du lube; ce qui est la loi dite de Jurin.
Certains physiciens ont cru reconnaître que, pour les liquides qui mouillent le tube, la hauteur H croit plus que ne l'indique la loi de Jurin, quand le rayon du tube devient inférieur à i'°™. On a voulu expliquer ensuite ce fait par la couche liquide dont l'épaisseur ne serait plus négligeable pour des tubes aussi fins; mais cette explication doit être rejetée d'après les nombres donnés ci-dessus pour l'épaisseur de la couche. La loi de Jurin doit être considérée comme très exacte et l'anomalie, que certains physiciens ont observée, provient de ce que, dans les tubes extrêmement fins, la surface du liquide est moins exposée à être altérée par les poussières et que la couche liquide s'y maintient plus longtemps.
Remarquons que, si l'on voulait tenir compte de l'épaisseur de la couche, il faudrait, dans l'application des formules, diminuer le rayon du tube de plus du double de l'épaisseur de cette couche. En effet, dans le Chapitre P% n° 10, on a raisonné comme si la couche liquide était solide, ce qui était suffisamment exact à cause de sa faible épaisseur; toutefois elle est attirée par le ménisque et celui-ci doit se relier à la surface cylindrique par une très petite surface, en sorte que la somme des rayons de courbure principaux ne change pas brusquement, en passant d'une surface à l'autre, ainsi qu'on l'avait admis.
17. Laplace avait énoncé ce théorème : L'élévation d'un liquide qui mouille exactement les parois d'un tube capillaire est y à diverses températures, en raison directe de la densité du liquide. (On fait abstraction de la dilatation du tube).
Désignons par H la hauteur du liquide dans le tube à la température t et par Hq cette hauteur à la température zéro et représentons par a un
s 2 CHAPITRE II.
coefficient constant; puis posons
(h) ii = iio(i-^0;
d'après I^place, a serait le coefficient de dilatation du liquide. D'après les expériences de Brunner, on a la formule {b)
Pour Teau entre o*» et 82* en faisant a — 0,00187
»> rétlier entre o* et 35« » « =: o,oo523
» rhuîlc crolive entre. . o*eti5o' » 3i=:o,ooi4i
et les valeurs de a sont beaucoup plus grandes que le coefficient de dilatation de ces liquides.
M. Wolf a trouvé, pour l'eau et pour des valeurs de / comprises entre o*^ et a5**, la formule encore plus précise
H — Ho (i — 0,00206/ — 0,00000298/'),
qui conduit à la même conclusion.
Voici à quoi revient le raisonnement fait par Laplace : D'après la formule (a), on a
La quantité g^a^ esta peu près proportionnelle a l'attraction du liquide sur lui-même, comme il résulte de la formule (Chapitre I*% n" 8)
si l'on suppose C très petit vis-à-vis de B. Si donc on néglige l'accroissement de répulsion entre les molécules provenant de l'augmentation de la température, on voit que gfo^ varie à peu près proportionnellement à p^; donc H est sensiblement proportionnel à la densité p. Comme cette conséquence n'est pas juste, il faut en conclure que les hypothèses précédentes ne sont pas non plus, toutes les deux, exactes.
Tube non cylindrique^ mais de révolution et dont Vaxe est vertical.
18. Supposons un tube de révolution, dont l'axe est vertical, plongé en partie dans un liquide [fig. 8). Soit ZOD l'axe vertical du vase qui
ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS D*UNE PAROI. 53
sera aussi celui du liquide. La hauteur du ménisque AMB ne dépend que de la forme de ce ménisque.
Pour un liquide donné, le ménisque ne variera qu'avec le rayon AO = ret l'angle NAO = i' formé par la normale AN à la surface capillaire avec l'horizon.
Fig. 8.
Soient AH une verticale, AT et AC deux tangentes au méridien et à la section du ménisque; on aurai' = HAC. Désignons comme précédemment par I l'angle de raccordement TAC qui est connu; nous aurons
i — HAT + i.
Si nous regardons comme connus la hauteur du cercle AB et par suite ret l'angle HAT, nous aurons aussi la valeur de î . Alors la formule qui donne la coordonnée z de la surface du ménisque est la même que celle qui donne cette coordonnée pour le ménisque d'un tube cylindrique, dont r est le rayon, l'angle de raccordement étant supposé égal à r.
Ainsi on aura (n^ 14)
c -f- \fd^ — x^
C étant fourni par la formule
— JL- ( Zl
~" cosi' \ 3 a* I
tang'i
sinr
H y a toutefois une remarque à faire pour le cas où, dans la surface du ménisque, à certaines valeurs de x correspondent deux valeurs de z, ainsi que cela a lieu [fig. 9) depuis le point A' jusqu'en A.
Les formules {a) et (b) sont encore applicables depuis le point M jusqu'au point P oii la tangente est verticale. Mais en ce point la valeur de -7^
ax
devient infinie; x y est donc égal à c et le radical y change de signe. Il faudra donc, à partir de ce point jusqu'en A, faire
rirr^
-h î c 4- s/c^ - ' x^ H- ^—5 log
Za>
Pour déterminer c, désignons par i l'angle aigu de la normale au
ménisque en A avec l'horizon, nous aurons
dz r
coli' = — '^ " -■ - ' ( I — ô-i j=^.-^ I
dx i/^s #.t \ ^CL c \f^—' r^J
et on en conclut facilement
~~ cosi' \ 3a* I — sini'/
Dans ce qui précède, nous avons supposé connue la section circulaire AB à laquelle s'arrête le liquide, par suite connues les valeurs de
s, a? et ^ au point extrême A du méridien du ménisque. Si cela n'avait
pas lieu, on égalerait entre elles les valeurs de z relatives aux méridiens du ménisque et de la surface intérieure du tube, et il en résulterait en général un problème assez difficile, mais peu utile à la Physique.
ÉLÉVATION OU DÊPUESSIOX d'iN LIQUIDE AlPHÈS d'uNE PAROI. 55
19. Dans un tube de révolution dont Taxe est vertical, il peut y avoir plusieurs états d'équilibre et si le rayon diminue par degrés insensibles, ces divers équilibres sont en général alternativement stables et instables. Voici le raisonnement donné parLaplace pour le prouver:
D'abord, le liquide tend à s'élever dans le tube, et cette tendance en diminuant devient nulle dans l'état d'équilibre; le liquide continuant à s'élever, elle change de signe et le liquide tend à s'abaisser. Ainsi le liquide, étant un peu écarté de cet état d'équilibre, tend à y revenir : cet état est donc stable. Si l'on élève le liquide par aspiration» sa tendance à s'abaisser, après que cette action aura cessé, diminuera jusqu'à devenir nulle pour une certaine hauteur de la colonne, au delà de laquelle, la tendance changeant de sens, le liquide devra monter. Ainsi cette hauteur correspond à un état d'équilibre instable. De même le troisième état d'équilibre serait stable, le quatrième instable et ainsi de suite.
Le raisonnement de Laplace est vague et il est indispensable de le remplacer par un autre qui ait plus de précision.
La fonction de forces U qui régit le liquide peut être considérée comme ne dépendant que d'une seule variable, par exemple de la hauteur à laquelle s'élève le sommet du liquide, et l'équilibre correspond à l'équation SU = o. Or la fonction U ne dépendant que d'une variable, les valeurs de cette variable déduites de cette équation correspondent en général à des maxima ou des minima de U qui se succèdent alternativement quand cette variable va en croissant. Au maximum de U correspond un équilibre stable d'après un théorème de Mécanique, et à un minimum de U un équilibre instable. Ainsi les équilibres de la colonne capillaire seront alternativement stables et instables. Il reste à prouver que le premier est stable.
On a (Chapitre P, n« 6)
et, si le liquide mouille le tube, on a N = — M = — a-, par suite
U =: A — gpfzdm — gpa} d h- gpà^Q^
a étant la surface libre du liquide et S2 celle qui est au contact du tube. On voit facilement que si l'on fait croître la hauteur de la colonne à
56 CIIAPITUE II.
partir de zéro, le terme gpa^Q sera celui qui subira d'abord le plus grand accroissement et que U commencera par croître. Quand U cessera d'augmenter, il passera par un maximum. Ainsi le premier équilibre est stable.
Tube conique vertical.
20. Comme application de ce qui précède, considérons un tube conique de révolution et plongeons-le dans un liquide qui le mouille par sa partie la plus large, de manière que son axe soit vertical. Désignons par 2]3 l'angle au sommet du cône et par a le rayon du tube à la hauteur de la surface de niveau, à partir de laquelle on compte les s. Le méridien du tube est une droite qui a pour équation
langji
Nous supposons la surface du ménisque tangente au tube; elle se trouve donc dans le second cas examiné au n® 18. Désignons par r le rayon du tube sur le contour du ménisque; sur ce contour, s étant le même pour le tube et la surface libre du liquide, on a
l'angle désigné précédemment (n'^ 18) par i' est constant et égal à ^ et l'on a
r ( /'* tang*p \ ^^^ ^~cosp\' 3a* i-sinpy
En portant cette valeur de c dans l'équation précédente, elle ne renfermera plus que l'inconnue r.
Faisons le calcul en supposant que ^ soit un très petit angle, ce qui est nécessaire pour que le tube soit capillaire, et posons d'abord
En faisant simplement c = r et négligeant J, on déduira de l'équa-
ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. S'J
tion (i)
=: - ih 4 / -7 2 rjf' sin 3.
Ne considérons d'abord que I«i solution où le radical est précédé du signe -H et posons
- + y/-j-2«-sin? = /-,.
nous aurons pour J, en remplaçant dans le logarithme c par — g»
Faisons ensuite dans Téquation {i)c = — 70 et remplaçons le dernier terme par J, dont la valeur est connue; nous aurons
r Q = -+■ ô — ô -t-rtanp:?-+-J,,
langp /• 3 cosjî ^
et il en résultera, en négligeant des quantités très petites,
^ ' ~ 2-1- jsiiifJ
Si nous posons de même
— \/- 2rt'sînp= /*,
r\ , I — sin [i
-Jog — '- —Jî,
nous aurons pour le rayon du bord du ménisque cette seconde solution
D'après ce que nous avons dit (n^ 19), la valeur (4) de r correspond à un équilibre instable; la valeur (3) se rapporte,au contraire a un équilibre stable; toutefois cet équilibre n'est lui-même possible que si l'expression (3) est réelle, c'est-à-dire si l'on a
a* — 8«'sinp — 2aJ, tangp — Y a'sin'p>o.
5 s CHAPITRE !1. — ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE, ETC.
Si cette condition n'est pas remplie, le liquide montera jusqu'en haut du tube. Cette inégalité se réduit à peu près à
a'>8a«sinp;
donc un équilibre stable sera possible, si le rayon le plus grand du
tube est sensiblement > 2a\J2 sin|3, et il suffira d'enfoncer le tube de manière que son rayon à la hauteur de la surface de niveau soit
> 2a\f2s[n^. Il faudra d'ailleurs que le tube s'élève assez pour que la valeur de r donnée par la formule (3) soit un des rayons du tube.
