PAR UN TUBE CAPILLAIRE

Équilibre d'un système composé de deux liquides et d'un corps solide.

1. Appliquons l'analyse exposée, du n° 2 au n^ 6 du Chapilre I, quand, au lieu d'un seul liquide, on en a deux superposés dans un vase.

Désignons par m chaque molécule du premier liquide; par m' chacune du second; par M chacune du corps solide, avec des indices pour les distinguer. Représentons par r la distance entre deux molécules du premier liquide; par Kla distance entre deux molécules du second; par R la distance entre met M; par R' la distance entre m' et M, et par/> la distance entre m et m\ Nous aurons, d'après le principe des vitesses virtuelles, l'équation

g%mU -h -SiSsmims/{ri^s)^ri^s -h S/S,m,.M,F(R/,,)8R/,„

Ja

-^jg-Sm'8c'-h^S,S,mJm;/,(/,,,)8r;.,-hS,S,m;.M,F,(R',.,)8R',,,

/, /,, F, F,, <p étant les attractions entre les molécules, dont les masses multiplient ces fonctions. Le premier membre de cette équation est égal à — XU, U étant la fonction de forces.

Désignons parc et ç' les parties libres des surfaces des deux liquides; par £2 et £2' les surfaces suivant lesquelles ces deux liquides touchent

6o CHAPITRE 111.

le solide; enfin, par T la surface de séparation des deux liquides. Soient encore p et p'ies densités de ces deux liquides. Nous aurons, en désignant par B, C, D, E, F, H, B', C, D', E', F'

des constantes,

S,S,/n,M,F(R,,,)8R/,, --iz -E 8i2,

S,S,m;M,F,(R;.,)SR;.,--- - E'8i2',

-SiSsmimsAn,s)^n^s = - 8(cr -+-12 -H-T) 4-C 8a + D 8u 4-.F 8T,

- S,S,m>;/,(r;,,)8,-;,, ^ ^ 8(a'4- ii'-i- T) 4- C'8cr'-+- D'8J'-i- F8T, ^

C, D, F, C, D', F' étant nuls si l'on ne suppose aucun changement aux limites des liquides. Posons

et l'équation du principe des vitesses virtuelles deviendra

(A) p8 fzdm 4- p'8 I z'dm' + pM 8îh- p'M' oj' 4- pN 8u 4- p'N' 8u' 4- x 8T = o.

2. Développons d'abord l'équation (A), en supposant que le second liquide recouvre entièrement le premier. Soient R', R', les rayons de courbure de la surface a et ^, Ji, ceux de la surface T; désignons par 1' l'angle de raccordement de a avec la paroi, par /' le contour de <r' et par Sx' la distance de la ligne /' à la position infiniment voisine qu'elle prend après le déplacement virtuel. Désignons par 1,, l^, Sx, les mêmes quantités pour la surface T. Enfin, représentons par S/i, W, Sv les distances des surfaces a, 'x', T à ces mêmes surfaces après le changement virtuel.

LIQUIDES SUPERPOSÉS. Gl

D'après ce qu'on a vu dans le Chapitre I (n"* 8, 9), on obtient facilement

8T = - J ( 1 + ^J 8v ^ -f-^ cos II 8X, dl,,

8<2=: AX dl -\- fz\,dl,,

8ii'm ÇlVdl'— Çll.dl,, I z dm z=z / ^1 ov cTTy 8 fz' dm' = fz' In' d^' - fz^h dT,

z' étant l'ordonnée de la surface c' et 5, celle de la surface T. Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (A), les intégrales en WS(/ et SvrfT seront

et, comme le volume de chacun des liquides est constant, on en conclut, pour les équations des surfaces a' et T,

h et A, étant deux constantes arbitraires.

On trouve aussi, dans l'équation (A), les deux intégrales

Ap'M'cose'+p'NOôX't//', Axcosii-hpN— p'N')5Xi^/i,

qui doivent être nulles, quels que soient ^'et ^, ; on en conclut

cosr = — ^,y cos/, = î— ;

on a

et, dans le cas où le changement de densité des liquides serait négligeable à leur limite, cette formule deviendrait

• * tf

Superposition d'une goutte de liquide à un autre liquide.

3. Plaçons une goutte de liquide sur un autre liquide plusdense, que nous supposons assez large pour être regardé comme s'étendant indéfiniment. En prenant, par exemple, pour la goutte de Teau ou de l'huile et pour le liquide inférieur du mercure, les surfaces seront convexes. Pour simplifier, nous admettrons que la surface de la goutte est de révolution et par suite aussi la surface du liquide inférieur.

p' est la densité du liquide de la goutte, p celle du liquide inférieur, T la surface de contact des deux liquides; nous aurons à faire

ûii = O, 8i2' z= o

dans Téquation (A) du n® 1, qui deviendra

(D ) p8 fz dm -+- p'a Çz' dm' 4- pM OŒ -+- p'M' Od' H- X 8T -^^ o.

Nous pouvons supposer que les déplacements virtuels laissent de révolution les surfaces a, g' et T.

Admettons d'abord que, dans ce mouvement, le cercle aa' (Jig. lo)