LIQUIDES SUPERPOSÉS, G

suivant lequel se rencontrent ces trois surfaces ne change pas de grandeur et reste fixe. Nous aurons

8 fz' W= fz'on'da^-' Çz, 8v dJ,

Nous allons supposer ensuite que le cercle aa' se modifie et chercher les termes qu'il faut ajouter aux expressions précédentes. Si l'on conçoit que le point a se meuve dans un plan passant par l'axe de révolution, ce déplacement peut se décomposer en deux autres : l'un sur d et l'autre sur d', que nous allons examiner séparément.

4. Faisons d'abord glisser le point a d'une quantité infiniment petite ^ = aa^ sur <; et supposons que <t ne change pas au delà du parallèle du point «1. Dans la déformation, T viendra en T,, a' en (s\ et ses deux surfaces feront entre elles un angle très peu différent de celui qu'elles faisaient d'abord.

Désignons par S'a, SV, d'T les parties de Sa, W, XT qui n'ont pas été calculées précédemment et qui dépendent de S^; représentons par h le rayon du cercle aa! et par /i, n\ N les normales menées au point a aux trois surfaces a, </, T et dirigées à l'intérieur de la goutte. Enfin posons, pour les angles de ces normales,

nous aurons

8'<j =: — luh 8X,

8'T= 2Tzh X bai^= 2itA8Xcos/,

8V= — 27t/ixca = — 27t/i8XcosiV

ab et a^c étant des normales aux méridiens de T, et <s\

6'| CHAPITRE m.

Ainsi, l'équation (D) renferme l'expression

(E) 2i:AoX(— pM — p'M'cost-f-TCOsy).

En second lieu, déplaçons le point a {/ig. 1 1) sur la surface <j' d'une quantité infiniment petite ^ = aa et supposons que g ne change pas

au-dessus du point a. Dans la déformation, T viendra en T, et <i en df ; abaissons a/? normal à <7 et ak normal à T, . Les parties de 55<i, ST, te' dépendant de SX' sont respectivement

— 2TZ h Xap zrz — 2Tzh oX' COSI,

air/i X oik ■=: 9.Tz/i 8X' coS'j,

— 2Tzh X na:= — 2Tzh oX';

ainsi l'équation (D) renferme l'expression

(F) 2i:AoX'(— pMcOSI — p'M'-l-TCOSu).

Les deux quantités ^ et Sx' étant arbitraires, les deux parenthèses des expressions (E) et (F) sont nulles.

Si l'on supposait le déplacement du point a effectué sur la surface T, en désignant par 8L sa grandeur, on trouverait qu'il faut ajouter au premier membre de (D) l'expression

2ir/i5L(pMcosy 4- p'M'cosu — t),

qui doit être également nulle.

5. On a donc ces trois équations, qui ne renferment que les inconnues i ety,

(a) — pM — p'M' cosi -+- T cosy — o,

{à) — pMcosi — p'M'-i-TCOsu— o,

LIQUIDES SUPERPOSKS. Oj

mais dont la troisième doit évidemment rentrer dans les deux premières.

Pour le démontrer, remplaçons \> pary — i, puis multiplions (a) par sin(y — i), {b) par - siny et ajoutons, nous aurons

— pM[sin(y — /)— cosisiny] — p'M'[cos/sin(y — /) - siny]

-f-T[cosy sin(y — /) — siny cos(y — 0] ' o;

si l'on développe et qu'on divise par sin«, on trouve l'équation (c).

On peut regarder (a), [b], {c) comme trois équations du premier degré dont les inconnues sont cosy, cosj et cos?, et l'on a

cosy — ^ 1 cos u j-^ ,

. ^5 pjM»-p'»M'»

ros z — ■ ■ •

" :îpMp'M'

Ces formules nous montrent que pM, p'M' et t forment les trois côtés d'un triangle dont les angles opposés h ces côtés sont u,y, t: —i. Conformément au n^ 15 du Chap. I, regardons ^pM et ^p'M' comme des forces de tension normales au cercle aa' et tangentes aux surfaces a et g'. Dans le travail virtuel SU des forces capillaires, — ^t^T est la partie qui provient de la variation de la surface T, en sorte que gT peut être considéré comme une tension de la surface T qui agit tangentiellement à cette surface et normalement au cercle aa'; on en conclut ce théorème :

Les trois tensions relatives aux trois surfaces rr, q' et T se font équilibre.

Ce théorème, admis maintenant sans raisons suffisantes dans les Ouvrages de Physique, était indispensable à démontrer.

6. D'après ce qui précède, on connaît les inclinaisons mutuelles des trois tangentes au point a, menées aux méridiens des trois surfaces; il reste à former une équation pour déterminer leurs positions.

Nous allons examiner cette question dans le cas où la goutte est très large, en sorte qu'on peut la regarder comme cylindrique dans une petite étendue {Jîg. 12). Supposons donc que les trois surfaces <7, <?', T se rencontrent suivant une ligne droite horizontale et qu'elles soient

66 ciiAPiTaE III.

des cylindres dont les génératrices sont parallèles a cette droite. Soient a, a' et r^ les angles aigus formés avec un plan horizontal par les plans tangents menés à ces trois surfaces en leur intersection.

Fi(j. 12.