II+II,)?' . II

et, en remplaçant H et II,, nous aurons

( a'sin-;- I h ^\u^ \^' - ( ^sin -^ -f- asin- Vo;

or nous avons

l'équation précédente devient donc

a'sin h bsiïï - lp'=r ( 6>sin -~ • i- « sin- ),s.

On en conclut

a'p'sin ^(? — ?') sin-

tang- = . . î

^(p-p')cos^ -hflrp-aycos^

formule dont le second membre ne renferme que des quantités connues. On aura ensuite a' et r, par les formules [a).

Pour que l'équilibre de la goutte soit possible, il faut que les trois tensions g'pM, gf^V et g^ puissent se faire équilibre et par conséquent que la plus grande de ces quantités soit plus petite que la somme des deux autres. Si cette condition n'est pas remplie, le liquide le moins dense se répandra sur l'autre, jusqu'à former une couche d'épaisseur excessivement mince, à laquelle les raisonnements précédents ne seront plus applicables. Cette remarque a été faite pour la première fois par Marangoni, en i865.

Figure d'équilibre d'une masse liquide soustraite à l'action

de la pesanteur,

7. Pour réaliser un liquide sans pesanteur. Plateau composa un mélange d'eau et d'alcool ayant exactement la même densité que de l'huile. Si donc on introduit une goutte de cette huile dans ce mé-

08 CIIAIMTIIK III.

lange, elle y demeurera suspendue et prendra une figure d'équilibre sous la seule action des forces moléculaires.

Appliquons les n°* 1 et 2 à l'ensemble de celte masse liquide. En désignant, comme précédemment, par U la fonction de forces, le premier

membre de l'équation (A) du n"* i représente SU; si l'on suppose

qu'on déforme infiniment peu la masse d'buile, sans changer la surface du liquide extérieur dans sa partie libre et dans celle qui touche le vase, le premier membre de (A) se réduit a tSï; ainsi on a

J \Sl'^' Sij'''

Le volume de la masse d'huile étant constant, / SvrfT est nul. Multiplions cette expression par une constante C, ajoutons à SU et égalons la somme à zéro, nous aurons

f[- Hk -' ^y "^y "^

pour l'équation générale de l'équilibre et, h étant arbitraire, on a, pour l'équation de la surface de l'huile,

(i) -r -+- T- -- const.

Pour que l'équilibre soit stable, il faut que la fonction de forces U soit maximum ; ainsi le volume se déformant d'une manière quelconque, il faut que SU soit négatif et, par suite, ST positif; donc la surface T est alors minimum. Si l'on assujettit la surface T à passer par des lignes qui la terminent, la même propriété subsistera.

8. Supposons que la surface d'équilibre soit de révolution. Désignons par C une constante arbitraire et par^r la distance d'un point de la surface à l'axe de révolution pris pour axe des z. L'équation (i) peut s'écrire

dz 1

du- I

' :^2Ljr dx

LIQUIDES SUPERPOSÉS. 6g

Chap. 11, n** 14). Intégrons les deux membres, puis résolvons paf rapport à dz^ nous aurons, en représentant par C une seconde constante arbitraire.

dz :=:

y/xl(C^='4-C'p'

et cette équation peut s'écrire

, {x^ ±ab)dx

dz — — - . y

a et b étant deux quantités positives, dont la première est la plus grande. Comme x^ peut varier entre a^ et è^, posons

nous aurons

x^ :— a* cos*«p 4- b^ sin*<p,

, a*cos*9 4- ^*sin'o ibaô ,

dz^ ; ■ ^ ;-^^ =^ ^?»

y a* cos*?p -h u^ siu'cp

et si nous posons

___ sja^—b\

k-=z ^ ' A(p i=:y/i — A^sin**^,

nous aurons

(2) z — ajtir^d^±bj-^'

9. La seconde intégrale étant précédée du signe ±, prenons d'abord le signe -h, et, en nous servant des notations habituellementemployées pour les intégrales elliptiques, nous aurons les deux formules

^ = ^,F(cp) + aE(?),

qui expriment les deux coordonnées du méridien au moyen d'une même variable <p.

Si nous faisons varier <p depuis zéro jusqu'à -> x décroîtra depuis a jusqu'à h. Prenons l'origine des z pour 9 = o, alors z croîtra depuis

zéro jusqu'à

CHAPITKE m.

©•^"KD

et nous obtiendrons Tare AB (y?^. i3).

Continuons à faire croître ç de ^ à ::, x croîtra de 6 à a, et comme

les intégrales ont la même valeur, prises entre e et -> ou entre -

et - 4- c, il en résulte un second arc BC symétrique du premier. Ensuite la courbe se composera d'une infinité de branches identiques à

Fig. i3.

ABC. La surface dont elle est le méridien a été appelée par Plateau un onduloïde.

On a

ab d^ (a-+- hy{ab — x^)x ^

donc la courbe méridienne a un point d'inflexion pour x = \^.