LIQUIDES SUPERPOSÉS. 7I

Si a = 6, la surface devient un cylindre droit Si a = 00 , l'équation difierentielle devient

- hd,r

dz = — >

et le méridien est une chaînette dont Téquation est

Cette surface d'équilibre, appelée caténoîde, correspond à C = o et ses deux rayons de crfurbure principaux sont égaux et de sens contraire.

Si 6 = 0, la surface est une sphère, elle est intermédiaire entre la famille des onduloïdes et celle des surfaces suivantes.

10. Prenons ensuite, dans la formule (2), le signe — . Nous aurons

5=:aE(^)-^.F(cp),

X nu a A©.

Faisons croître ç à partir de zéro, x décroîtra depuis la valeur a, et s ira d'abord en croissant. On a

dz ab — x^ d^z — {a — bY(ab'^x-)x^

dx — I i ' <7r* ^ ï *

l'ordonnée z croîtra donc jusqu'à la valeur de x = yjab^ qui correspond

à la valeur de <p donnée par

a' Sja-\- b

on en pourra déduire la valeur correspondante z^ de z par les Tables des intégrales elliptiques, et l'on en conclura l'arc AD [fig. i4). Puis ç

variant de <p, à -> a? décroîtra do sjab \\ h et :; décroîtra de 5, à

on obtiendra ainsi l'arc BD. En faisant varier <p de - à 77, on aura un

72 cnAPiTaE m.

arcBEF symétrique de Tare ADB, La courbe est ensuite composée d'une infinité de branches identiques a ADBEF. La surface qui a cette courbe pour méridien a été appelée par Plateau un nodoïde.

Fig. 14.

11. Le méridien de l'onduloïde ou du nodoïde peut être obtenu par le roulement sans glissement d'une ellipse ou d'une hyperbole dans un plan sur Taxe de révolution. Le foyer de la conique engendrera en effet le méridien de la surface, comme l'a démontré Delaunay [Journal de Uomille, t. VI ; 184 1).

Pour obtenir ces figures d'équilibre, Plateau commençait par établir dans le vase deux disques horizontaux et de même axe, et il formait un cylindre d'huile dont les bases étaient sur ces disques. En rapprochant lentement ces disques, le cylindre droit se change en une portion d'onduloïde, dont le plus grand cercle parallèle est à égale distance des deux disques. Si l'on rapproche encore les plaques, on obtient une

LIQUIDES SUPERPOSÉS. 'j'i

portion de sphère, puis une portion de nodoïde, où n'entrent jamais de parties correspondant ji l'arc BD.

Si, après avoir formé le cylindre précédent, on enlève avec une pipette de l'huile au milieu, on aura un onduloide qui aura son cercle de gorge à égale distance des deux bases. Jamais la grandeur de l'onduloïde ne dépasse la distance comprise entre deux cercles de gorge consécutifs.

Si, au lieu de deux disques, on emploie deux anneaux de fil de fer qui servent d'abord de bases au cylindre, ce cylindre sera terminé par deux calottes sphériques convexes égales. En rapprochant les deux anneaux, on pourra obtenir de même un onduloide ou un nodoïde, terminé par deux calottes sphériques convexes.

Stabilité de l'équilibre d'un cylindre sans pesanteur.

12. Occupons-nous de la stabilité de l'équilibre d'un cylindre d'huile placé entre deux disques parallèles dans le mélange de Plateau. Il résulte des expériences de ce physicien que ce cylindre serait stable tant que sa hauteur ne dépasserait pas la circonférence de sa base; mais il deviendrait instable dès que la hauteur dépasse cette circonférence. Nous allons rechercher si cette proposition est absolument exacte.

Il faut, comme nous avons vu au n*" 7, pour que l'équilibre du cylindre soit stable, que sa surface soit plus petite que toutes celles dans lesquelles elle peut se changer par une déformation très petite.

Supposons d'abord qu'on déforme infiniment peu ce cylindre, de manière que la surface conserve son axe de révolution et qu'elle reste une surface d'équilibre, de sorte que la somme des courbures principales sera la même dans toute l'étendue de la surface.

L'équation du méridien de ces surfaces est (n'^8)

dz

dx

ou.

si nous

posons

dx dz

X Cx^

-4- ni 2

lO

74 criAPiTRE m.

Dans le cas particulier où cette surface se réduit à un cylindre, on a ^ = o, et l'équation devient

X— hC,

.r =r — itz -T V^i — 2CC'.

Comme x a alors une seule valeur, nous devons supposer que le radical est nul; ainsi nous avons

et, en désignant par R le rayon du cylindre.

Pour l'onduloïde infiniment voisin provenant de la déformation du cylindre, C et C doivent prendre des valeurs infiniment peu différentes

ÎY -I- c, h r, ; posons aussi

II sera infiniment petit, et, comme /> l'est aussi, l'équation (i) deviendra

R du

riz = • — —-= --. 7

et, en intégrant, on aura

(2) rrr — ^VC COS , = ^ 4- I>,

D étant une constante arbitraire. La valeur de u s'annulera pour des valeurs de z distantes de tzW. Le radical devant être réel, on en conclut

Calculons l'aire S de la surface; nous aurons

^ ^rz. 2TZ j œ \h -\- p'dZj

LIOHDES SUPEKPOSKS. 'j5

puis, en posant

A =1 — RH - 2 Rr., B = - 2Rn,

nous obtenons

. / 3 RI \ Rîç H«

= — VA -H R M — M* -}- R £ — T^i arc cos — T=rrTr .■— -t- consl.

\ » / v^-RU-2R7i

ou, d'après la formule (2),

Uq^Zq étant les valeurs de Uy z sur la base inférieure, et les lettres w, z sont conservées sans changement pour la base supérieure.

Exprimons ensuite que le volume n'a pas changé. On a, pour ce volume,

V = — 2iîRVA 4- R« — u^ -\- tA\'{\\ 4- R) arc cos — ^^— h const.,

et, si 5 — :;o ^st plus petit que sttR, on déduit de (2)

Le volume du cylindre est donné par le premier terme; il faut donc que la partie restante de V soit nulle, ce qui donne

V^ 4- R" — u^ — v^V 4- R//o— "3 = — Rs(^ — -^o)* Remplaçant dans S, on a

et, d'après l'inégalité (3), S est toujours plus grand que la surface du cylindre 277R(5 — -3,,).

Donc, si la hauteur du cylindre est moindre que la cirvonfèrence de ses bases, sa surface latérale est moindre que celle de l*onduloïde infiniment

voisin dans lequel le cylindre peut se changer. Ce cylindre ayant donc été ainsi déformé, il tendra à reprendre sa forme première.

13. Nous allons considérer une autre déformation du cylindre, en supposant encore que sa hauteur soit plus petite que la circonférence 27:R de sa base. Concevons que le cylindre se change en une surface de révolution dont le méridien ait pour équation

{a) X —.\\ — (X -h ^siii-y^>

OÙ [A et h sont infiniment petits, et supposons Taxe des x mené à la moitié de la hauteur du cylindre.

Désignons par 2 A la hauteur du cylindre; nous aurons, pour expression du volume de révolution.

Y z^Tz I X- dz,

et, en remplaçant x par sa valeur (a),

\=2Tzh I (R - fx)* -H - J - — Sm-y- .

Ce volume est égal à s-R^A; on en conclut la valeur de [a

... b^ b^ l . o.rJi

Calculons ensuite la surface; nous aurons

b =: 'iT. I X as ^=:: 2r. I X i/ I H y— cos- -j- dz

= 21T n R— |x-h ^sin^ j f 1-1 ^ cos*~ j^/^.

En efiectuant le calcul, on obtient

b — ^r.Rh -\- 2rJ— 2iLh -\ RAh — y— sjn-y-j;