LIQUIDES SUPERPOSÉS

remplaçons [j. par la valeur (6), et nous aurons

La surface du cylindre est /ituRA, et, pour reconnaître si S peut être plus petit que cette surface, il suffit d'examiner le signe de la quantité

{c) ^ (ti'R'- l') + (tt'R'h- ^) sin -^- .

Supposons

A < Rt: < /,

nous pouvons alors poser

sin := — sin 2Tt A',

et, si nous prenons k entre zéro et -> sin -^ sera négatif; par suite, l'expression {c) le sera aussi. Il en résultera toutefois

ainsi ce calcul suppose la hauteur du cylindre comprise entre ttR et 27:R. Remarquons que, en opérant comme nous venons de le faire, on rend négatives les deux parties de l'expression (c); ce qui n'est pas nécessaire pour que cette expression soit elle-même négative. Il en résulte que l'instabilité de l'équilibre du cylindre commence pour une valeur de sa hauteur notablement inférieure à -R.

14. De ce qui précède, on doit conclure que Plateau s'est trompé quand il dit au § 418 de son bel Ouvrage {Statique expérimentale et théorique des liquides) :

« Pour tout intervalle des bases moindre que leur circonférence, la » surface du cylindre est minimœ areœ d'une manière complète, c'est- » à-dire à l'égard de toute espèce de petite déformation. »

Cette proposition n'étant pas exacte, il faut maintenant s'expliquer

78 CIIAPITUE 111.

comment Plateau a pu admettre, d'après ses expériences, que le cylindre est stable, quand sa hauteur ne dépasse pas 27:R.

Il faut d'abord remarquer que si, dans la déformation, la grandeur des bases de la figure vient à changer, la variation 55U ne se réduira pas h — gT ST, comme nous l'avons trouvé (n^ 7) ; mais, si nous désignons par Uq et u les variations des rayons des bases et par b^ une constante, nous aurons

Si les bases se rétrécissent, le second terme est négatif; SU peut donc être négatif, sans que son premier terme le soit. Remarquons aussi que le liquide peut être un peu maintenu par les disques à cause de l'adhérence et du frottement.

Toutefois ces raisons ne suffisent pas pour expliquer comment, d'après l'expérience, l'équilibre est stable tant que la hauteur est plus petite que 27rR. Mais les déplacements très petits que l'on communique ordinairement à la colonne liquide, et par exemple en donnant un mouvement vibratoire au vase, ne sont pas absolument quelconques. On conçoit que, en se déformant, la colonne liquide ait une tendance à passer par des figures d'équilibre. C'est, en effet, ce qui a été reconnu par Plateau. Alors, d'après ce qu'on a vu au n° 12, le méridien de la surface devient une sinusoïde dont le pas est égal à 2 7:R, et la surface déformée est plus grande que celle du cylindre, si la hauteur de la figure est inférieure à 27: R.

15. Plateau a étudié expérimentalement les déformations successives d'un cylindre très allongé d'un liquide sans pesanteur, dont les deux bases sont au contact de deux disques horizontaux. En faisant vibrer cette colonne, il y produit des ventres et des étranglements qui se suivent régulièrement, et, quand la figure se rompt, elle se partage en deux ou trois espèces de sphères qui se succèdent aussi régulièrement. Béer, qui a calculé le premier l'onduloïde et le nodoïde, a aussi étudié ces faits par l'analyse [Einleitung in die Elasticitàt und CapiUantàt); mais on doit toutefois remarquer que c'est après avoir admis certains faits d'expérience qu'il en calcule d'autres rigoureusement. Remarquons aussi, comme l'a déjà observé Plateau, que quand les surfaces d'équilibre ne sont pas minimœ areœ, en sorte qu'elles ne sont pas

LIQUIDES SUPEnPOSÉS. 79

Stables, on ne doit pas les regarder comme des surfaces maœimœ areœ, ainsi que l'a fait Béer. Ces surfaces de révolution sont en général mi" nimœ arecBy parmi les surfaces qui renferment le même volume, entre un cercle parallèle donné et un autre cercle suffisamment rapproché.

Figures d'équilibre d'un liquide sans pesanteur^ qui ne sont pas

de révolution.