Les surfaces renfermées dans Téquation
jT -f- TT- -- const.,
et qui ne sont pas de révolution, ne peuvent pas être fermées; mais on peut obtenir, dans l'appareil de Plateau, une masse d'huile terminée par une pareille surface, en l'assujettissant a passer par deux fils de fer qui la limitent.
Au lieu de soustraire une masse liquide complètement à l'action de la pesanteur, on peut rendre cette action excessivement faible et négligeable vis-à-vis des forces moléculaires. Pour cela. Plateau forme une ligne fermée gauche au moyen d'un fil de fer, et il la plonge dans un liquide convenablement choisi ; après que le fil est retiré, une lame mince de liquide terminée à ce fil peut se maintenir un certain temps.
La lame étant soumise sur ses deux faces à la pression de l'atmosphère, la pression normale provenant de l'action capillaire doit être nulle; ainsi l'on a
pour la surface d'équilibre afiectée par la lame. Les surfaces que nous avons considérées précédemment sont minima pour un volume donné qu'elles devaient renfermer; celles-ci sont minima sans condition, pourvu toutefois qu'on n'en prenne pas une trop grande étendue. C'est aussi seulement dans ce cas que l'équilibre sera stable et, par conséquent, que la lame liquide pourra se maintenir. On reconnaît que ces surfaces sont minima par la formule qui donne la varia-
8o CHAPITRE m.
tion de leur aire quand on passe à une surface infiniment voisine
=^-/(ïï + ïï;)'«'''
(Chap. I, n"" 8 ) ; Télément hi de normale étant quelconque, il faut, pour que Sç soit nul, qu*on ait Téquation (A).
Les surfaces fournies par l'équation (A) ont été étudiées par Monge, MM. Ossian Bonnet, Sclierk, Schwarz, Enneper. Plateau a cherché d'abord à reproduire quelques-unes de ces surfaces qui avaient été définies d'une manière particulière par ces géomètres; puis il a reconnu expérimentalement que, par un contour donné, on peut en général faire passer une lame mince et par conséquent une surface satisfaisant à l'équation (A).
Riemann a précisément soumis à l'analyse les surfaces fournies par l'équation (A) et qui passent par des lignes limites données; mais on ne voit pas dans son Mémoire d'équations de ces surfaces sous forme finie.
Poids des liquides superposés dans un tube capillaire.
17. Supposons deux liquides renfermés dans un tube capillaire, le plus léger de densité p', le plus lourd de densité p, et le tube plongé aussi dans ce dernier liquide. Soient h' et h les hauteurs moyennes des deux liquides dans le tube, au-dessus de la surface de niveau dans le vase.
Imaginons un abaissement infiniment petit de même grandeur, représenté par — SA, pour tous les points du liquide renfermé dans le tube, et par SA, l'élévation correspondante de chaque point de la surface extérieure. Appliquons l'équation (A) du n" 1 ; nous aurons d'abord
j zcifn zizi — oh j z dx ci Y + / ^ ^^'i dx dy;
Z, dans la première intégrale du second membre, représente la hauteur d'un point de la surface du ménisque et dans la seconde intégrale la hauteur d'un point de la surface du liquide du vase; les indices 6 et B indiquent que les intégrales s'étendent aux sections 6 et B du tube et du vase.
LiyriDKs siPKUPosKs. 8i
La valeur moyenne de la quantité positive SA, esta (Vi comme 6 est à B, et comme z n'a que de très petites valeurs dans la seconde inté-
grale, elle est négligeable. Ainsi ^ 1 zdn se réduit à — h/iM.
En considérant la même quantité pour le liquide moins dense, on aura
On a ensuite
07 z= O, 07 =i: O. I — - (), Oli -.T. (>,
et si Ton désigne par /et L les périmètres des sections du tube et du vase, on a
OJ - - - /o// ;- L 0//p
mais la quantité N8^ de la rorn)ule(A) doit être remplacée par ces deux parties
— .\ / o// H- N, L o//, - . - N / o// -r- Ni L |T o//,
en désignant par N, ce que devient N quand on passe du tube au vase ; toutefois le second terme est négligeable devant le premier. Ainsi l'équation (A) du n'* I deviendra
(11) Zh/, r-y/M/V -h) . SN/,
et si Ton fait (Cbap. I, n'' 9 j on obtient
(K) ://// f-p7y(//--//) ^s/Mcos/.
Le premier membre représente le poids du liquide soulevé dans le tube, et l'on trouve ainsi ce théorème donné parLaplace : Le poids du liquide soulevé dans le tube ne dèpcn^l que du liquide inférieur.
18. Il faut toutefois remarquer que, si le liquide inférieur mouille
le tube, on n'a pas en général N = — Mcos/ = — M, en faisant / =o;
mais, d'après ce qu'on a vu (Cbap. I, n*" 10), / peut être imaginaire, et
l'on a alors — N>M. Le poids soulevé pourrait donc être plus grand
82 CHAPITKE m.
que celui qui est indiqué par la formule (K), et la détermination expérimentale de ce poids pourrait servir à calculer N d'après (H).
On doit observer que, dans la formule (H), on ne peut supposer que le liquide Supérieur disparaisse complètement, parce que l'angle de raccordement du liquide inférieur avec le tube varierait brusquement. Cependant personne ne me semble avoir fait cette remarque.
Citons une expérience de Thomas Young qu'il a donnée comme étant en contradiction avec la théorie de Laplace. Une petite goutte d'huile était introduite par le haut dans un tube capillaire qui renfermait de l'eau, et la surface supérieure de l'huile s'est abaissée au-dessous de la surface primitive de l'eau.
On peut expliquer ainsi ce fait. Admettons que l'angle de raccordement de l'eau avec le verre ne soit pas zéro, mais un petit angle que nous appellerons i. Désignons par H la hauteur à laquelle s'élève l'eau dans le tube mouillé préalablement par ce liquide; nous aurons
Enfonçons le tube de manière que l'eau vienne jusqu'à l'extrémité supérieure, puis introduisons une très petite goutte d'huile et relevons le tube; nous pourrons alors appliquer la formule (K), qui montre que le poids soulevé dans le tube capillaire sera moindre que précédemment. On comprend donc que, si la goutte d'huile est très petite, la surface supérieure de l'huile dans le tube se trouve plus bas que la surface de l'eau quand le tube ne renfermait que l'eau. On voit de plus que cette expérience, faite avec précision, pourrait servir à déterminer l'angle /.
19. Supposons que le tube capillaire soit formé de deux matières différentes, séparées par une section droite. Si le liquide supérieur reste au-dessus de cette section, la formule (H) subsistera, N désignant une constante relative au liquide inférieur et à la partie supérieure du tube, ainsi qu'on le voit d'après le raisonnement qui a servi à établir cette formule.
Si le liquide supérieur est en partie au-dessus, en partie au-dessous de la même section, désignons par N, et N', ce que devient N quand on prend la partie inférieure du tube avec les liquides inférieur et supé-
LIQUIDES SUPEUPOSKS.
rioiir. Il faudra, dans la formule (A), remplacer
NSj par -Ni/ 5//,
N'aj' par -N'/3// i-N;/o./,
et, au lieu de la formule (H), nous aurons
Enfoncement dun tube capillaire dans un rase renfermant
deux liquides super/yosc's,
20. On a un vase indéfini renfermant deux liquides. Plongeons-y verticalement un tube capillaire et cessons d'abord de l'enfoncer quand l'extrémité inférieure du tube rencontre le fond CD du liquide supérieur {fig. 1 5); alors le tube ne renfermera que du liquide de densité p', et si nous désignons par >. la longueur moyenne de la colonne soulevée dans le tube au-dessus de CD, par H' la hauteur moyenne de la surface
Im{j. ij.
l'ig. i6.
It
du ménisque au-dessus du niveau AB du liquide supérieur et par /• la dislance des niveaux AB et CD, nous aurons
Continuons à enfoncer le tube. La colonne \ du liquide supérieur restera dans le tube, et il s'y introduira de plus du liquide inférieur [fig. i6). Désignons par h la hauteur moyenne du ménisque inférieur au-(^ssus de CD et remarquons que, d'après le théorème du n" 17, le poids soulevé au-dessus de CD, s7> a h- ^bh, ne dépend pas de la nature
(lu liquide supéririir; nous aurons, si l'angle i est réel,
H étant la hauteur à laquelle s'élèverait le rujuide inférieur dans un tube capillaire, s'il existait seul. En remplaçant \ par sa valeur, on a
équation qui détermine //.
21. Enfonçons le tube davantage et de manière que Textrémité inférieure plonge dans le liquide plus dense et l'extrémité supérieure dans le liquide moins dense.
Concevons qu'on donne un très petit déplacement vertical de haut en bas aux molécules du liquide intérieur au tube et le même pour toutes; puis appliquons l'équation (A) du n" 1, nous aurons, en désignant par h la hauteur moyenne de la surface de séparation des deux liquides dans le tube au-dessus de CD,
