D'UN TUBE CAPILLAIRE

Suspension dan liquide par un tube vertical de résolution.

23. Supposons que la surlace intérieure du tube soit Je révolution et qu'elle ait son axe vertical [fig. 17). Les surfaces inférieure et supérieure BCB' et AC'A' du liquide suspendu dans ce tube seront aussi de révolution autour du même axe.

Désignons respectivement par z et :;' les hauteurs des points des surfaces BCB' et ACA' au-dessus d'un plan horizontal. Si R, R, et R', R', sont les rayons de courbure principaux en un point quelconque de ces surfaces, on aura

Je dis qu'on doit prendre la même constante k dans ces deux équations. En effet, désignons par h et h les valeurs de z et :;' aux deux sommets C et C et par y et y les rayons de courbure en ces points, nous aurons

h'- It^

car cette équation exprime que le poids d'un filet vertical liquide, compris entre les deux sommets, est égal à la différence d'action des deux ménisques qui terminent ce filet. Or l'équation (2) se déduit des équa-

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SUSPENSION d'iN MQriDF DANS i/aTR Al* MOYEN d'uN TURE CAPIIJ.AIRE. Hq

Suspension (Van liquide dans un tube conique vertical .

24. Pour qu'une colonne liquide d'un volume donné reste en suspension dans un tube conique dont Taxe est vertical {fig. i8), il faut

que le sommet du cône soit en haut si les ménisques sont concaves, et en bas s'ils sont convexes. Considérons le cas où ces surfiices sont con-

caves.

Désignons par 2^ l'angle au sommet du cône et par i l'angle aigu de raccordement; enfin pary et/les angles aigus du plan tangent au bord des ménisques inférieur et supérieur avec la verticale. Nous aurons, BV et AV étant deux verticales,

THV -^j = / i- 3, TW =-/ = /- ?.

D'après le numéro précédent, en négligeant des termes très petits, on aura, pour les coordonnées z' et z des surfaces AIA' et BKB' qui terminent la colonne liquide.

/•' .) cosy

V cos'/

o. a^ cos / ">. r

Désignons par Z' et Z les valeurs de :;' et z sur les bords des mé-

^ 3î . i-^:- rr.

iMMiu'" !•! î*«»u* .' -•* ' !»'.!- --^iriiTr'i- =!.• — '1 r *^" r. T««ii3- «lirons

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SUSPENSION I) UN LIOLIDE DANS K AlU Al MOYEN I) IN TlUE CAIMLI.AIKE. ()I

Les trois équations (i), ['2], (')) serviront à déterminer les trois quantités /% /', k.

25. Dans ce qui précède, j'ai supposé que la verticale ne rencontre jamais la surface ALV qu'en un point. En particulier, elle rencontre cette surface vers son bord en deux points si l'angle i est nul. Si la surface ALV est traversée en deux points par la verticale, nous aurons /' = ? — i\ mais, dans les formules précédentes, il faudrait changer le signe dey', comme on le voit facilement. On peut donc conserver les formules précédentes en regardant/ comme négatif.

Considérons le cas où t est nul, nous aurons y = [i, / — — [i, et, en retranchant (i) et (2), nous aurons

^1— I )[-— ^ -h tan- '] — T. ^ ï

, -, t / ' 3 lan{;> X 'K- / ' i / ■•

3^ ■ Viang;i ^ cos-;; / 3 cos»;^

L'angle [ï est très petit; si de plus la longueur de la goutte est très petite par rapport à la distance du milieu de la goutte au sommet du cône, on pourra écrire ainsi ces deux é(|uations

lanj^'i 3

Eliminons /-- /' entre ces deux équations, et nous obtiendrons cette équation du troisième degré

Xt.u- tanj;[i./''— 3//r'r--h i'mr^a^ tan^[i — o,

qui permettra de déterminer / .

Inclinaison sous lafjuelle il faut mettre iiuie dan tube conique pour (juune goutte reste suspendue à un endwit donné du tube.

26. Pour résoudre cette question, je suivrai exactement l'analyse de Laplace.

IJ'A CUAPITKE 111.

Soit AA'BB' le cône intérieur du tube qui a son sommet en S [fig. If)); soit c/A'h la colonne liquide et supposons les extrémités concaves; on peut regarder la goutte comme de révolution. Désignons par 11 et R' les rayons de courbure de ep/el hp*k aux sommets d ety?';

R est < R'. Considérons un canal infiniment étroit /Jp'; la différence d'action des deux ménisques est égale h la quantité

•'•^■'"'(fr"iF)

multipliée par la section droite du filet, et fera avancer ie liquide vers le sommet si le tube est horizontal.

Déterminons les rayons de courbure R et R', en supposant les arcs vfy hk circulaires. Désignons par 2/ la longueur/?/?', par 2p l'angle au sommet du cône et par \ la longueur SP, où P est le milieu depp'.

Menons la tangente cC et la normale eO; désignons toujours par / l'angle fieC de raccordement; nous aurons

/ - SI langfJ, SI :3. S/; - î/; im X - / - U[i — sin(£ — ?)];

en remplaçant dans la première équation, on obtient

, À - /— l{|i — sin(/— [:J)J, ^

cos( / — 3) ^

Tirons R de cette équation, en ayant égard à ce que p est très petit, el

nous aurons

ij (À — /)siii3

Il : r— 7. •

SUSPENSION d'un LIOllDE DANS i/aII» AU MOYKN d'uN TUlîl!: CAPILLAIKK. ()3

On trouve dr même»

A I- /) siiiji

On a donc

I / Cos/ siii si n '^ \ X 7~

sin:i

COS^ - Slll 4

cos/ — sin Ji\

TT- / ~" i

cos/

Àsiii^i

et, en négligeant des tt^rnies très petits, on a

./ I I \ , . /«os/

Supposons que le tube soit incliné à Thorizon d'un angle I; le poids de la colonne cylindrique divisé par la section du tube au point P sera a/^'-p et sa composante suivant Taxe du tube sera égale à 2/^psinI. Il faut pour réquilibre que cette quantité soit égale a la précédente. Ainsi l'on a

sinl

•jt<'/-(:os/ I

siii3 X^ ' \l

Le second terme étant en général très petit vis-k-vis du premier qui renferme sinp en dénominateur, le sinus de l'inclinaison est a peu près inversement proportionnel au carré de )..

27. Considérons ensuite une goutte de liquide comprise entre deux plans qui se touchent par un bord, en faisant un angle très petit. Si le plan bissecteur est horizontal, cette goutte sera a peu près circulaire et analogue à une poulie. Supposons que, en inclinant ce plan suf l'horizon, la goutte soit assez large pour que, vers le milieu de sa largeur, sa surface puisse être considérée en haut et en bas comme cylindrique, la génératrice des deux cylindres étant parallèle à l'intersection des deux plans. Nous regardons toutefois la longueur de la goutte comme très petite par rapport à la distance du milieu de sa longueur à l'intersection. Alors le raisonnement et la figure qui précèdent seront applicables; les lignes SB et SB' représenteront les coupes des deux plans donnés, SOC leur plan bissecteur, epf, hp'k les surfaces cylindriques.

En considérant comme précédemment un tilet pp de section w, on trouvera

pour la diirérence d'action de ses deux ménisques et l'on aura pour la composante verticale de son poids 2/o)^psinI, I étant Tinclinaison du plan bissecteur sur l'horizon. Donc, si la goutte reste en équilibre, la valeur de cet angle sera donnée par cette formule :

. , <^" cos/ I <r

Siil l — — . — :— ^-T -r — -, • SHlp A- A/

On voit donc que, pour l'équilibre d'une goutte suspendue dans un tube conique ou dans l'intervalle de deux plans à une même distance de S, on devra également incliner sur l'horizon l'axe du tube et le plan bissecteur si l'angle des deux plans est égal à la moitié de l'angle au sommet du cône.

Dans ces expériences, il est utile de mouiller le tube et les deux lames; car, sans cela, le frottement jouerait un rôle qui ne serait pas négligeable.

Suspension dun lùjuidc dans un lubc cyliiulrique cerlical,

28. Si l'on applique la théorie précédente au cas où le tube est cylindrique, les deux ménisques tournés en sens contraires sont alors identiques; et en faisant •'= T ^^"^ Téquation (2) du n** 23, on trouve Il ^ h. L'équilibre de la goutte ne serait donc plus possible. L'expérience prouve cependant qu'une petite quantité de liquide peut rester suspendue dans un tube cylindrique vertical si le tube n'est pas mouille intérieurement au-dessous du ménisque inférieur, et l'on ne peut expliquer ce désaccord qu'en admettant un frottement du liquide contre le tube.

Le frottement du li(|iiide sur le tube étant supposé du même ordre de grandeur que la cohésion, le liquide tendra à tombèrent, mais sera retenu en U près de la paroi [Jig. 20); le ménisque inférieur s'affaissera donc et l'angle de raccordement augmentera.

SUSPENSION d'un LIQUIDE DANS l'aIR AU MOYEN d'uN TUBE CAPILLAIRE. 95

Désignons par /la longueur AB comprise entre les bords des ménisques; si le liquide a un mouvement suivant Taxe du tube, la force de frottement contre le tube sera 27ur^, /étant un coefficient. Imajçinons un déplacement vertical et descendant de translation commun h tout

FÎR. 20.

le liquide, et, en regardant les deux surfaces ACA', BC'B' comme sphériques, nous aurons

I cos'i \3 3 /

cos* / \ .1 3

sm/

g^ Ih < o

/ r l'y. I . , . . A cos* i ^ s .> /

oos*/'V3 3

sm;

/ et i étant les angles aigus de raccordement des surfaces supérieure et inférieure avec la paroi. Quand il y aura égalité entre les deux membres, la valeur de / représentera la longueur maximum de la colonne liquide qui peut rester suspendue. Réciproquement, si Ton détermine cette longueur maximum par l'expérience, on en conclura la valeur de/.

Désignons par irMf la résistance opposée par le frottement pour empêcher le mouvement; nous aurons

ilf^S^rW,

en représentant, pour abréger, par H la quantité mise entre crochets dans l'inégalité (a).

<)() CIIAIMTRE iii.

Considérons un filet vertical IIB'A'l à section droite rectangulaire dont un des côtés ds est sur la surface du tube. Désignons par P le poids de ce filet, par V la composante verticale de. la différence d'action des deux ménisques qui terminent le filet et par D la différence de l'action verticale du tube sur ces deux ménisques; nous aurons

|> - If'fls z V-- I).

Or P = V pour tous les filets verticaux, et cette égalité a encore lieu tout près de la parois on a donc

Ensuite la partie du tube en contact av(v le filet produit à la surlace supérieure la composante verticale

et à la surface inférieure la composante verticale

- L''p>ff- COS/' f/s

( ?WrChap. I, n** 13). On a donc pour la quantité I)

J) - : j;> s a- ( COS / - COS /' ) f/s

et l'on déduit de l'équation [r)

( (/) if' — A' p ^- ( COS / COS /' i .

En comparant [h) et (rf), on a

r\\ ■-- •>/7*(cos/- - COS /M.

Supposons H remplacé par sa valeur; la longueur / est connue par l'expérience et l'angle i est aussi connu: cette équation servira à déterminer l'angle i' de raccordement de la surface BCB'avec le tube.

29. z et s' étant les distances d'un point des surfaces des ménisques supérieur et inférieur à un plan horizontal, nous avons (n'*24)