SUSPENSION I) UN LIQUIDE DANS L AIU AU MOYEN D UN TUBE CAPILLAIRE
horizontal; nous avons donc enfin
07 — oii = — 9.T,ro/t -h '?-/'o//'sin'j.
On a d'autre part
ç et i^' étant les volumes intérieurs du tube depuis J et J' jusqu'à la base FG du tube. Écrivons enfin que le volume du liquide n'a pas changé* et nous aurons
Tzr^o/i — r/'- oh' -z=. o.
Remplaçons dans l'équation (A) les termes par leurs valeurs calculées» et nous trouverons
(B) r/'- — i''/'=i 9.T.n* rr'i r' — rf^mj).
Si r — r est très petit par rapport à r, ce qui aura lieu ordinairement, on pourra remplacer dans cette équation r par r, et nous aurons la formule
qui donnera le volume du liquide soulevé. Il est aisé de voir que cette formule subsisterait quand même le bord très petit EF ne serait pas de révolution.
31. Supposons ensuite qu'une partie du liquide soit extérieure au tube, que le cylindre extérieur du tube se relie à la base FG par une partie courbe très petite GH et que le liquide s'élève sur GH jusqu'en I. Désignons par r' le rayon du cercle parallèle du point I; soient i^ et v' les volumes du liquide appartenant à la partie intérieure et à la partie extérieure au tube, u l'angle aigu du plan tangent en I avec un plan horizontal. Il suffira de changer les signes de {^' et i» dans la formule (B), et nous aurons
Si / est assez petit pour que la surface de la partie extérieure du liquide puisse être regardée approximativement comme sphérique, on aura
^ ' sin"*j \3 3 /'
lOO CHAPITRE 111.
nous avons ainsi deux équations pour déterminer v et ç^' et par suite le volume total r -hr'.
La formule (C) n'est qu'approchée; dans le Chapitre V, nous montrerons comment on peut calculer exactement le volume v\
Suspension d'un liquide à Vexirémiié d'un tube capillaire t'^rtical
adapte au fond d'un vase.
32. Désignons par R le rayon intérieur du vase supposé cylindrique, par rie rayon intérieur du tuhe et par/ son rayon extérieur. Le vase renferme un liquide dont une goutte s'est formée à l'extrémité du tube, ayant pour base la section extérieure; cherchons la condition d'équilibre de cette goutte. Il suffit de reprendre les raisonnements du n" 30.
Soient H la hauteur du liquide dans le vase et h la longueur du tube. Donnons un mouvement ascendant infiniment petit au liquide; soient M! l'élévation du liquide dans le vase, XA la quantité dont le liquide monte dans le tube et enfin 55A' la quantité dont s'élèvent les points de la surface de la goutte. Nous aurons
Désignons par V le volume du vase et par r' celui de la goutte, nous aurons
Substituons ces expressions dans l'équation
et nous aurons
r'o//' I Voll ! TT/V/o// - )-r,/îr:/,'sinu - >T:Rr/V:H — o.
Or nous avons
H*an- /-oA-TT/'-v://,
et le volume V est égal à ttR^H; l'équation précédente donne donc pour
SUSPENSION d'un MOriDE DANS l/.MR Ar MOYRN d'tN TVWV. (.APILLAIHE. I () I
lo volume r' de la jçoiitte
qui sera par conséquent le plus jçrand pour j — '^'
Pour que l'équilibre soit possible, il faut que c' soit positif pour
j = -; ce qui donne la plus grande valeur que puisse avoir la bauteurU
du liquide dans le vase. Q^ï^nd H dépasse cette valcMir, la goutte grossit, puis elle tombe.
I02 rjIAPITRF IV.
MODIFirATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES r\ PILLA IRES.
I^-s forces qui élèvent ou abaissent un liquide en équilibre contre la paroi qui le retient ou contre un corps quelconque exercent aussi une influence sur la pression supportée par ce corps, fl en peut même résulter des mouvements sensibles, tels que Tattraction ou la répulsion entre deux lames verticales parallèles et très rapprochées quand elles sont plongées dans un même liquide, ou encore Tattraction ou la répulsion entre de petits corps nageant à la surface d'un liquide. Nous allons étudier d'une manière générale dans ce Chapitre la modification de la pression hydrostatique due aux forces de la capillarité.
Nous commencerons par quelques démonstrations synthétiques qui auront l'avantage de faire concevoir plus facilement le détail des phénomènes; nous embrasserons ensuite leur ensemble dans des démonstrations analytiques.
Attînrtion et rrpulsion entre deu.v lames rertieales pamilèles,
p!on*j;êes dans un lupiide,
1. Soient les deux lames L et 1/ parallèles et verticales, NM la surface cylindrique du liquide intérieur et ABCD celle du liquide extérieur (fig. 22).
Imaginons un canal edcb qui parte d'un point e situé sur le plan de niveau et dont le côté ch vienne entre les lames et évaluons les pressions par des hauteurs du liquide. La pression en le point H du canal sera
MODIFICATION DE LA PRESSION llYDROSTATl^ïlE PAR LES FORCES CAPILLAIRES. I o'i
évidemment la même qu'en e, c'est-à-dire la pression II de ratmosphere et la pression en h sera égale à II diminué de la hauteur verticale h\{. Si le canal se recourbe horizontalement suivant ha et se termine sur la face intérieure de L, la pression du li(|uidc contre la lame sera
lilj. n.
n ~ ^H, diminué de raltraclion du li(juide sur la lame; mais celte dernière force sera détruite par l'action égale et contraire de la lame sur le liquide et ne produira que l'adhérence. Et comme, au point correspondant de la face extérieure de la lame L, la pression estn, il en résulte une pression en a égale à Mb et agissant de a vers b.
Dans la partie BI de la lame, les pressions sont égales et contraires sur les deux faces. Prenons en effet sur une normale a la lame le point/ sur chacune des faces; à l'intérieur, d'après ce qui vient d'être dit, le point/subira la pression U—/1; menons le canal F/horizontal et normal à la lame; la pression au point extérieur/ sera la même qu'au point F et égale à II — /I.
Pour évaluer la résultante des pressions qui s'effectuent sur NB, élevons en chaque point tel que a une normale égale à ^H et évaluons le poids du liquide compris entre la paroi et le lieu des extrémités des normales. Désignons par z^ et r, les hauteurs des points B et N audessus du plan de niveau, par / la largeur des lames, par p la densité du liquide et par^ l'accélération due a la pesanteur; nous aurons ainsi pour la résultante des pressions qui s'exercent sur la lame L
A'p/( VI— ^o)
Vu
~^pi{zi~z:),
I0/| CHAPITIIK IV.
Mais il existe deux autres foires dont il faut tenir compte; soient /, et / les angles de raccordement en N et B. Le liquide exerce le long des deux lignes d'atlleurement en N et B sur la lame une tension normale à ces lignes et tangente à la surface du liquide; la grandeur de cette force est g^ci- par unité de largeur. Ces deux tensions produiront donc les forces normales ^'^pa-/sin£, et g^d'lûni, la première dirigée suivant NP, la seconde suivant BK.
On a donc enfin pour la résultante des pressions normales agissant sur la lame L
Les hauteurs z^ et Zq ont été calculées (Chap. Il, n'** 5, 8 et 9 y.
Si les deux faces de la lame sont entièrement identiques, on aura /, = /, et le dernier terme de P disparaîtra.
La démonstration qui précède est exactement celle qui se trouve dans la Théorie de la capillarité de Laplace, sauf qu'il avait négligé la partie de P due à l'action de la couche superficielle du liquide; Poisson a remarqué le premier qu'il faut tenir compte de cette quantité [youvelle Théorie (le radian capillaire, Chap. V, n" 85).
2. La lame V est poussée vers la lame L par une force normale seniblable a P et dont la valeur est
en adoptant les mêmes lettres avec des accents, afin d'indiquer pour la lame L' les mêmes quantités que pour L. Si les angles de raccordement sont les mêmes des deux cotés de chaque lame, les deux forces P et P' seront égales.
En effet, l'équation de la surface du liquide renfermé entre les lames peut s'écrire (Chap. H, n*^ 5)
(0 — , -=:-consl -
En a|)pli(iuant celle équalion sur la face inlérieure de la lame L, on
MODIKrCATION DE LA PKKSSION HYDROSTATIOLE PAU LES FORCES CAPILLAIIUS. I 03
aura
siiu*, = corisl — • ' •
on aura île uièinr
par suite,
siii i. = coiisl — -^ :
