ICI

SlIU, - SlIU, = — 4 —^

Mais, si Ton applique l'équation (i) aux deux parties du liquide extérieur qui correspondent à chaque lame, la constante arbitraire sera égale à Tunité, et Ton aura

Sin^ 1=:. I —

sinf — I —

•ur-'

il en résulte

SUH — Sin£=: i (^ô — -^1. )•

Si donc /, = let i\ = i\ on aura

.2 -'2 ni, -'i Ji i -S .

•o *'0 *JU *'! *'0 ''1 "'.. ♦

par suite, V z^V.

Si les deux lames sont très rapprochées, zi sera négligeable vis-à-vis de z\\ or 5, est alors sensiblement en raison inverse de la distance des deux faces internes des lames. Donc l'attraction P de ces deux plans aura lieu à très peu près en raison inverse du carré de leur distance, ainsi que Ta remarqué Laplace.

Nous avons supposé que les deux lames ne pouvaient se mouvoir que suivant leur normale commune ; autrement, les résultantes des pressions qui se trouvent sur les deux faces n'étant pas directement opposées, la lame L tournerait en outre autour d'un axe passant par son centre de gravité et parallèle à sa largeur. 11 serait facile d'évaluer le mouvement de rotation, en se rappelant que les forces capillaires agissent en NetB, et en déterminant la position du centre de gravité du prisme liquide imaginé ci-dessus.

Io6 CHAPITRE IV.

3. Si le liquide s'abaisse auprès de chaque lame prise isolément, la surface du liquide est partout convexe et le liquide s'abaisse entre les lames; nous désignerons alors par z^ et Zq les dépressions du liquide auprès de la lame L, et nous aurons encore, pour la pression qui agit sur la lame L,

l'o» h étant les angles aigus de raccordement, et P tendra encore a rapprocher L de L'.

Si, dans l'intervalle des deux lames, le liquide s'élève vers l'une et s'abaisse vers l'autre, z^ sera en général plus petit que z^; néanmoins, le premier terme de P restera ordinairement en valeur absolue plus grand que le second; ainsi les deux lames auront une tendance à s'éloigner l'une de l'autre, mais, comme on voit, cette répulsion sera faible, comparée à l'attraction apparente qui a lieu entre deux lames mises dans un liquide qui les mouille.

Supposons que le liquide s'élève plus sur la première lame qu'il ne s'abaisse sur la seconde. Nous avons vu (Chap. II, n" 13) que, en rapprochant suffisamment ces lames, le point d'inflexion de la section droite du liquide disparaîtra et qu'ensuite le liquide montera sur les deux lames : par conséquent la répulsion se changera en attraction.

Ce fait reconnu, d'après la théorie, parLaplace a été vérifié par Haûy. Il plongeait dans l'eau un parallélépipède d'ivoire qui était mouillé et, parallèlement à une de ses faces, une feuille de talc laminaire suspendue à un fil très délié. Il a constaté que cette feuille, qui n'était pas mouillée par l'eau, était repoussée d'abord, puis attirée lorsqu'elle était amenée à une distance suffisamment petite.

Sur ta poussée verticale qui sollicite un corps iL révolution dont l'aue est vertical, immergé en partie dans un liquide.

4. Soient PQ [fig. 23) le plan de niveau et ap le cercle auquel le liquide vient affleurer sur le corps de révolution AEBD, dont l'axe AB est vertical.

Désignons par u l'angle du plan tangent au corps le long du cercle a^ avec le plan de niveau et par i l'angle de raccordement F^I. Il existe

3I0nïFlCATI0N DE LA PRESSION IIYDROSTATIQL'E PAU LES FORCES CAPILIJVIRES. I07

en chaque point p du cercle ap une force de tension dirigée suivant la tangente ^I au méridien pH du liquide, et sa composante verticale

sera

g}fi'^ cos^pi ^^/O'srt- sin(j — /),

et si nous désignons par rie rayon du cercle a^, la portion du liquide voisine de ce cercle produit une force verticale, agissant de haut en bas et égale à

iT.rg^a^ sin(o — /).

Évaluons ensuite la pression hydrostatique provenant du reste du liquide qui entoure le corps solide.

La pression normale sur un élément de surface </<7, appartenant à la partie EBD située au-dessous du niveau et représentée sur la figure par ef^ sera

n étant la pression de l'atmosphère et j la distance de l'élément au plan de niveau, et la composante verticale de bas en haut sera

^pjr/tJCOS(/l, z) -\- nr/acos(/i, 3),

n désignant la direction de la normale menée intérieurement, et :; celle de la verticale menée de bas en haut. En faisant la somme de toutes ces quantités sur EBD, on aura

p / /cos(//, z)(h -V- n cercle ED = /irp vol. EBD -h n cercle ED.

Si certaines des ordonnées y rencontraient la surface EBD en deux

points, il est aisé de voir que ce résultat serait encore exact.

io8 ciiAPiinE IV.

Considérons ensuite la partie ED^a; la pression au point />' de la surface du liquide est II — ^p^r, .r étant la distance du point/>'au planPQ; menons le canal horizontal pp\ la pression en/>sur l'élément r/c de surface sera (Il — f[znr)fh, et sa composante verticale de haut en has sera

(a) (U - i,^p.r) cos(N, z) fh,

N étant la normale extérieure menée à d-. Donc la résultante verticale comptée de has en haut sur la surface aED^ sera

I^p / .rcos(N, z)df3— n( cercle El) — cercle «3^ -r- «'p vol. annulaire V.aib 1)3 — U(cercleEn - - cercleaS).

Enfin la résultante de la pression atmosphérique sur la surface aAji est II cercle afi.

On ohtientdonc, en ajoutant toutes ces forces, pour la poussée verticale du liquide,

^p vol.EBD -i /rp vol. annul. «Eflr^DS a - //jrp ^' sin(j — /).

Dans le cas où le corps est homogène à son intérieur et lihre, pour que le corps soit en équilihre, il suffit que cette force soit égale à son poids.

On n'a pas tenu compte de la densité de l'air. Si l'on veut y avoir égard, désignons par p, cette densité; il faudra ajoutera l'expression précédente de la poussée la quantité g^p, vol.ExA.SD; mais dans (A) il faudra aussi remplacer p par p — p,, ce qui donnera le terme

— ^p, vol. annul. E^a/? 1)3.

On aura donc, pour la poussée totale, ^'pvol.EBD-hA'^(p--p,Wol.annul.Eaa/>»D.3-^A'p,vol.E«Apï)— '^7:r^'prt*sin(ri— /K

Pour calculer la hauteur du cercle afi au-dessus du plan de niveau, si la courbure de la surface du corps immédiatement au-dessus du cercle ED n'est pas très petite, on cherchera l'élévation verticale du

MODIFICATION DE LA PUESSION llYDUOSTATIOrE PAU I.KS TORCES CAPILLAIHES. I OQ

liquide sur le plan tangent, et Ton aura ainsi, pour cette hauteur (Chap. II, n'^S),

Si les perpendiculaires abaissées de la surface EaJ^D sur le plan de niveau sont extérieures au corps comme dans la /?^. 24, cos(N, z) sera

Ot. 4?

négatif dans la formule (a), et il faudra, au contraire, retrancher de la poussée Tanneau aaEDAjî qui est extérieur au corps. On aura donc, pour cette poussée,

^pvol.EBI)— ,A'i3— o,Uol.annal.Erta6n6-hA'^o,vol.EaA?D— ?7:/-^prt'sin(j— /).

5. Calculons ensuite le volume du liquide soulevé autour du corps au-dessus du plan de niveau. ï^a coordonnée verticale :; étant comptée» il partir de ce plan, l'équation différentielle de la surface lihre du liquide peut s'écrire, si l'on tient compte de la densité o, de l'air.

.'Il

tl r=== ^. -, ' z.r fh\

V ' '' \Tr )

.r étant la distance a l'axe de révolution, et, en intégrant, on a

r étant le rayon du cercle a^ et R le rayon d'un cercle à partir duquel

I lO CHAPITRE IV.

le liquide peut être considéré comme sur le niveau. Pour x = r ou ^ = A, on a

dx . , .

— =: ^ — sin(u — /);