V-hvol. annul. aErt^I

En remplaçant dans (c), on a, pour le volume soulevé,

(p — p,)V — o.r/'^ort* sin(j — /) — ( c - o, ) vol. annul. aEa^I)^. Dans le cas de lay?^. 2^, le signe du volume annulaire doit être changé.

Poussée verticale sur un coîjys solide quelconque immergé en partie

dans un liquide,

6. Prenant maintenant, au lieu d'un corps de révolution, un corps quelconque, nous conserverons néanmoins les figures du n"* 4; ainsi PQ sera encore le plan de niveau, mais la courbe a^ n'est plus un cercle, et ses points sont à différentes hauteurs.

Désignons parr/y un élément de la courbe aP; ses éléments en général pourront être considérés comme sensiblement horizontaux. En désignant encore par u l'angle du plan tangent au corps en un point de cette courbe avec un plan horizontal, on aura, pour la hauteur de chaque point de la courbe a^,

h :-- 2 a SU) J

MODIFICATION DE LA PKESSION IIYDHOSTATIQI'E PAU LES FORCES CAPILLAIHES. I I I

OÙ 'j est maintenant une quantité variable. La tension de la surface du liquide qui s'exerce normalement sur toute la courbe a^ aura une composante verticale qui, estimée de bas en haut, est égale à

— g p a- j si n{j — / ) ds.

En raisonnant comme ci-dessus, on trouvera, pour lo restant de 1 poussée verticale estimée de bas en haut,

^p vol.EBD H-^'pi vol. EaA?D 4- ,^Mp — Pi) vol. aniiul.Eaa^D?,

si le volume annulaire est intérieur au corps solide.

D'une manière générale, si le volume annulaire est en partie intérieur, en partie extérieur au corps, on pourra encore adopter la formule précédente, en convenant de considérer comme positive la partie de ce volume intérieure au corps et comme négative celle qui se trouve en dehors.

Ainsi, en désignant par P la poussée verticale provenant du liquide,

on aura

P— -pvol.EBD-t-i'PiVoi.EaA?D

(? — pi ) vol. aimul.Eart/>[iD — A'pr?* / sin(j — i)dSf

en comprenant le troisième terme, comme nous venons de l'expliquer.

7. Voyons comment nous devons modifier le dernier terme de cette formule, quand chaque élément ds de la ligne a|i n'est pas regardé

Fij;. 25.

comme sensiblement horizontal. Concevons alors un cylindre vertical mené par cette ligne; soit ;x l'angle de ds avec un plan horizontal. Menons {fig. 25) en un point M de ds la normale N au cylindre et la nor-

I 12 CIIAPITKE IV.

maie n à la surface du corps, les deux normales étant dirigées vers Tintérieur, et soit x l'angle de ces deux normales.

Représentons la ligne s par MC; soient MT la tangente en M, ZMH une verticale, / la tension de la surface du liquide; elle est située dans le plan tangent à cette surface et perpendiculaire à MT. Projetons/ en /i sur le plan vertical ZMT;/, sera comme /"perpendiculaire à MT, et la projection verticale de/ sera

-/C0S(y,/,)C0^/, \lll.

La ligne MT fait avec MZ Tangle - — ;j.; donc/ MH = a. Les plans TM/

et TM/ sont les plans tangents à la surface du liquide et à la surface du cylindre vertical, et leur angle /3I/ est celui des deux normales NM/i ou T. Donc la pmjeclion verticale de / est

- /"cosT, cos:x.

Donc lo dernier terme de l'expression de V doit être remplacé par

^' }n' I cos »; cos u i/s.

8. Calculons ensuite le volume V du liquide soulevé autour du corps au-dessus du niveau.

Comme la poussée ne dépeud pas de la nature intérieure du corps, ou peut toujours concevoir le poids/» du corps et la position de son contre de gravité, de manière qu'il y ait équilibre entre le poids/» et la poussée. Imaginons alors un canal composé de deux branches verticales égales; la première branche est supposée comprendre le corps et toute la partie du liquide qui s'élève au-dessus du niveau par suite de rattraction du corps solide ; dans la seconde branche, le liquide se termine par le plan de niveau.

Désignons |>ar v et %-' les parties du volume du corps situées au-dessous et au-dessus du niveau, par u le poids du liquide situé dans la seconde branche et par A le volume annulaire compris entre le plan de niveau^ le cylindre vertical mené par la ligne d'affleurement et la surface du corps. Le poids u du liquide renfermé dans la seconde branche du canal doit ctro égal au poids du liquide et du corps contenus dans

3lOhUM:\TlON hF lA l'IiKSSKlN llYDROSTATIOrF PAP, I PS PORCFS r.\Pll.l.\lP»KS. I I '1

la première hi-aiirlu»: on :i <lone

par suite

Celle quantité est r^;ile à la poussée P, dont Trxprrssion f<l, «l'aprè^ ee que nousvrnons de voir n""* 6 et 7 ,

P — i' s » - i' : , i --- i' ( s — .-1 ' V - i' ' "" / <*ôS ^ <*<»> :a '/.v.

et, en exprimant eettt* é^'alité, nn nhlient ré(|uatinn

( s - z, )\ - : z(t- I roST nis'x ds — ( : — s, » \,

qui détermine le volume \ .

l'r/if rorps phifc sttr la surface d'un liquide,

9. Ln petit corps placé sur la surface d'un liquide qui ne le mouille pas peut ne pas s'y enfoncer complètement, bien que sa densité soit supérieure à celle du liquide. Il suffît évidemment que la force verticale provenant de la capillarité surpasse la différence entre le poids du petit corps et celui du liquide sous le même volume.

Prenons l'exemple même donné par Laplace. Un petit parallélépipède rectangle, dont la densité est D, est placé sur un liquide dont la densité p est moindre: les côtés a, % du parallélépipède sont mis horizontaux et le côté h vertical; a et// sont supposés très petits. Désignons para: la quantité dont il s'enfonce et par /l'angle dont le liquide s'écarte du corps. Le poids du corps sera ^DxfiA, celui du liquide déplacé /r?^!^'^ **ï 'î* composante verticale de la tension superficielle 'r:rt-.2 7. -h 'i cos/: on auradom*

I) , >/^/-( 7 -r- 3 ) COS/ / -: - // ' ,

l't, si cette quantité est plus |)elite que //, le corps flottera sur le liquide.

il'

I I ] CHAPITRE ÏV.

Démonstration analytique des résultats précédents,

10. Nous avons calculé d'une manière synthétique la poussée d'un liquide sur un corps qui y est plongé. Mais on peut douter que nous n'ayons rien négligé dans le calcul de cette force; on comprendra mieux l'importance de cette remarque par les numéros suivants, où il sera prouvé qu'il existe véritablement d'autres forces verticales qui sollicitent le corps, mais qu'elles se détruisent. La démonstration analytique, que nous allons donner, lèvera tous les doutes sur l'exactitude des résultats qui précèdent.

Supposons d'abord le corps de révolution et son axe vertical. Faisons descendre de SA tout le corps solide, et, conformément au n'' 12 du Chapitre I, nous supposons que l'accroissement S^ de la surface libre rRdu liquide, qui forme l'anneau cic'i', soit le prolongement de la surface cR {^g. 26).

Kig. 'j6.

La ligne d'affleurement ce vient ainsi en hb'; par hl/ menons un cylindre vertical qui rencontre la position primitive de la surface du corps en aa\ L'accroissement ?5i2 de la partie de la surface du corps qui plonge dans le liquide est indiqué par acda' . Ainsi on a

/•étant le rayon du cerclée/?'. Comme précédemment, désignons par/ l'angle de raccordement du liquide avec le corps et par 'j l'angle du plan tangent au corps solide avec l'horizon; on déduit de la considération du triangle abc

. o/i cosu o/« C0S(u /)

cb--r — ,---, f en — ..—.\...- ..

sini sin^

Désignons par Z la résultante verticale de toutes les forces qui solli-

MODIFICATION DE LA PUESSION llYOnOSTATIOLE PAR LES POUCES CAIMLLAIRES. I IJ

citent le corps solide de bas en haut. D'après le n° 8 du Chapitre I, on aura, en ayant égard au déplacement du corps solide,

p étant toujours la densité du liquide, D la densité du solide, dç son élément de volume, dn l'élément de volume du liquide.

Désignons par dO un élément quelconque de la surface du corps et par dSl un des éléments de celte surface situé au-dessous du cercle c(/. Appelons ^n la dislance normale de la seconde position de la surface du corps k la première, et remarquons que le liquide vient remplacer l'espace abandonné par le solide au-dessous de la surface bcRb'&K; nous aurons

I j^^Aim — / zr,nd{), o I zdrri — / zo/idiî;

or on a

o/^ = oh cos(//, z)y

n étant la normale menée intérieurement, z la verticale menée de bas en haut, et ht positif quand il est extérieur a la surface primitive; on a donc

> / zd\- --1 — o/i / 5C0s(/<, z)d{)y / zdxs -11^ o/i j - cos(/i, z)dil.

I zcos{n,z)dO, comme on l'a déjà remarqué au n" i, représente le

volume entier V du corps solide, / <s cos(w, z)d^ représente le volume

du corps situé au-dessous du niveau augmenté de la partie annulaire fgc; appelons-le V. Enfin nous avons

M -^a^y Ni::- — a- cos /, COSJ^, .^ cos(-»--/) ^,

Il en résulte

Le premier terme représente le poids du corps, l'action du liquide est donnée par les deux autres termes, et nous retrouvons le résultat du n° 4.

I |6 CIIAPITHE IV.

1 1 . Examinons ensuite le cas où le corps solide n'est pas de révolution autour d'un axe vertical. On voit aisément qu'il n'y a lieu de modifier, dans la démonstration précédente, que ce qui concerne l'expression

za-{^7 — cosf oJ).

Le triangle ahc de lay?é^ 26 sera remplacé par un quadrilatère gaucho défini comme il suit : Soit ce la ligne d'affleurement et aa' la trace de cette ligne sur le corps quand il est enfoncé verticalement de M. Par le point c de la ligne rc\ menons à cette ligne et sur la surface du corps

la ligne normale ca; de même, menons normalement à la ligne ce' sur le prolongement de la surface a du liquide la courbe cji; menons la verticale ab — ?ÎA terminée au point b de a, et menons b'^ parallèle h ce. L'arc ca représente la largeur de ^il et Tare e^j celle de J^t; ainsi on a

les deux intégrales s'étendant à tous les éléments ds de la ligne d'affleurement.

Projetons la ligne brisée eab'^j sur r(i, nous aurons

mais nous avons vu (n"7) que le dernier cosinus est égal à cos-zî cosa; nous avons donc

c'} -- (iC COS/ - -- 0// eus/, COS'X

et par suite

07 - - COS ioil iiz I ( c 3 — (ic ces / ) (Is :^ - - o// / CUSr, C06 JJL iU.

MODIFICATION DK LA PUKSSION IIYDKOSTATIUI K PAIV LKS 1 OliCKS CAPII.LAIKKS. I I 7

l/équalion (A) est donc remplacée par la suivante :

Z ::= — A*^ I) V -i - Lr j\' — A' z (I • 1 ces r, ces a <ls,

et nous arrivons aux mêmes résultats qu'aux n''^ 6 et 7.

Désignons par \ Tanglc de la normale à la surface du corps avec la normale Nau cylindre vertical mené par la ligne c/, les deux normales étant menées intérieurement, il est clair qu'on aura

Sur les composâmes liorizontalcs des forces ciTivèes par un liquide

sur un corps Jlotlanl.

12. Supposons le corps rapporté à trois axes rectangulaires diîs a\ V, :?, le plan des a, vêtant toujours supposé le plan de niveau. \ln raisonmiut comme aux n"** 10 et 1 1 , on trouvera, pour la somme des composantes dirigées suivant l'axe» des .r,

avec

les trois angles r,\ >/, ;/ ayant la même signilication relativement à l'axe des .r que r,, >., a pour Taxe des z. Je dis qu'on a

en ell'et, supposons deux éléments dO de la surface du corps (|ui aient la même projection sur le plan des v:?. La quantité :; y sera la même et la quantité cos(w, x)dO y aura des valeurs égales et de signe contraire, lont Tune sera la projection de ces éléments. Comme on peut prendre ainsi deux à deux tous les éléments de la surface, il est évident que l'intégrale est nulle. Pour la même raison, l'intégrale

/ ; (;os(//. ./ ) ffi

ii8

CIIAPITHE IV.

peut être réduite aux éléments compris entre la ligne s d'affleuremonl et une ligne horizontale tracée sur le corps par le point le plus bas do la ligne s. Cette intégrale étant ainsi comprise, on aura

X — A' s I z COS (//, .1) (lil — A' Z(l- I COSr/ COS \J.' cis.

On aura de même la somme des composantes des mêmes forces suivant Taxe des r.

S(ir la théorie donnée par Poisson.

13. Poisson, dans le Chap. V de sa Théorie de l'action capillaircy s'est occupé de la modification de la pression hydrostatique par l'action capillaire sur un corps qui y est plongé en partie. Il partage le liquide qui environne le corps solide en dilférentes parties dont il recherche séparément l'action sur ce corps; il y emploie des calculs extrêmement compliqués, bien que très habiles; on peut toutefois reconnaître qu'il n'avait pas pris la question par son vrai coté, car il n'est parvenu à déterminer l'effet des actions capillaires que dans le cas où le corps est de révolution et son axe vertical.

La surface capillaire d'un liquide est sollicitée par une pression normale P égale à

R et R, étant les rayons de courbure principaux de la surface en chaque point. Mais, comme le remarque Poisson, cette force s'exerce de la même manière sur une couche de liquide qui entoure le corps, R et R, étant les rayons de courbure principaux de ce corps, et cette pression se transmet au corps solide. Ainsi, en laissant de coté la pression qu'on a coutume d'appeler hydrostatiqiu*, chaque élément de la surface d'un corps situé dans un liquide n'est soumis qu'à la pression P. Cette surface est en outre sollicitée par une tension constante, et cette tension, exercée sur toute la surface immergée du corps, ne tend à produire aucun mouvement; il y a exception toutefois pour celle qui se produit le long de la ligne d'affleurement, parce qu'elle n'est pas contrebalancée de l'autre côté de cette ligne. Poisson trouve que, pour un corps

MODIFICATION DE l\ PRESSION IIYDROSTATIOIF PAH LES FOUCES CAPIIXAIUES. I ! O

solide (le révolution dont l'axe est vertical, la résultante verticale des forces P est détruite par une action qui s'exerce près de la ligne d'affleurement, et qui n'est autre que la tension dont je viens de parler.

On doit remarquer que, dans la démonstration analytique que j'ai donnée dans les n"MO et 11, on ne rencontre pas l'action des forces P (|ui s'exercent sur la surface d'un corps solide de forme quelconque. On en doit conclure que les trois composantes de la résultante de ces forces sont détruites par les trois composantes de la résultante des tensions qui s'exercent le long de la ligne d'affleurement et tangentiellementau corps solide. C'est ce que nous prouverons par un calcul direct.

Calcul (1rs trois roni osantes des forces capillaires, 14. Proposons-nous de calculer les trois composantes des forces

qui agissent normalement sur la partie du corps solide baignée par le liquide, x^y^ :; étant les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface du corps, posons

(Iz flz : :

nous aurons

I I (l ! ft \ tl [' t/\

comme nous l'avons déjà vu (Cliap. 11, n"" 3). Remplaçons la quantité g^a^ parla lettre M, et, en désignant par X, Y, Z les composantes de la force P, nous aurons

-1. 7 - L 'L (IL \ l 'L l 1\

M r d.r\ S' f ' r itv \ r ^'

M i' ri.r ^ \' ' (• (ty \ r '

1 !L(lL\^l iL (l\

r (l.v \ \- ) r dv \ i* /

CIIAIMTIIK IV.

formules (ju'oii peut lemplacer par 1rs suivantes :

1 d /Mq\

Poisson, supposant la tension superficielle M variable, ce qui peul avoir lieu si la température du liquide n'est pas partout la même, est arrivé à ces trois formules. C'est pour indiquer cette généralisation que j'ai placé la quantité M sous les sijçnes de différentiation; je ne la démontrerai pas cependant, parce cju'elle me parait peu utile.

15. Faisons la somme des composantes verticales des forces P. Désignons par dhi un élément de la surface du corps baignée par le liquide; -(ho représcîntera sa projection sur le plan des o-v et pourra être remplacé par (Ivdy. Nous aurons donc

Supposons d'abord qu'en tous les points de la ligne s qui termine la surface que nous considérons la normale intérieure au corps fasse un angle aigu avec l'axe des z positifs.

Désignons par r, r , c" les cosinus des angles de la normale à la surface avec les trois axes; la direction de la normale faisant un angle aigu avec l'axe des z positifs, nous aurons

par suite*

fie

1 1 liv "'■

Par le contour s de la surface w que nous considérons, menons une surface cylindrique parallèle à l'axe des z, et soient fi, fi', o les cosinus

MODIFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES. I 2 I

d^s angles de la normale intérieure à cette surface cylindrique avec les trois axes de coordonnées. Désignons aussi parX l'angle des deux normales menées à la surface du corps et au cylindre en un point de la lignes, par (A l'angle de fl& avec le plan horizontal, enfin par ^' la projection de la ligne s sur ce plan.

Dans la première intégrale du second membre de {d), effectuons l'intégration dans le contour s' le long d'une bande de largeur dy et parallèle à l'axe des x, nous aurons

dyj'£^dxz=z{c^-c,)dy.

c, et Cj étant les valeurs extrêmes de c. On aura ensuite

Pa et p, étant les valeurs de p aux deux extrémités et ds[^, ds\ les arcs infiniment petits de s' interceptés par la bande. On en conclut

/ / D-^-^^/^— /^?^'=— /^P cos [x ds,

les intégrales du second et du troisième membre s'étendant au contour entier s' ou s. On a de même

il en résulte

j j ■^dxdy——jc'^'cosiLds; ^ jZdu}— ({c^-{-c'^')cos\Lds.

Comme on a

on a enfin

c^-hc'^' — COSl,

(e) I Yjdtù ■— M / cosXcosiJLr/5.

D'après ce qui a été dit, X est l'angle formé par les deux normales

menées en un point de la ligne 5 a la surface du corps et au cylindre

vertical mené par s^ les deux normales étant menées intérieurement au

corps. Ou â supposé que la normale, ainsi menée à la surface du corps, fait un angle aigu avec Taxe des z positifs. Pour simplifier, admettons que la surface du corps soit entièrement convexe; si cette normale fait un angle obtus avec l'axe des js, d'après ce quiaétédit(Cliap., II, n® 1), le second membre de (a) devrait être changé de signe, et par suite aussi le second membre de [b)\ mais les expressions [c) des cosinus c, c\ c" devraient être aussi changées de signe, et par conséquent il n'y aura rien à changer à la formule (rf). On en conclut que la formule {e) reste exacte.

[Par inadvertance, Poisson dit, dans sa Théorie de V onction capillaire (Chap. V), que le signe de cos>. doit être changé dans la formule (e), quand la normale intérieure fait un angle obtus avec l'axe des z positifs.]

Si, en certains points de la ligne 5, la surface était concave ou qu'elle fût concavo-convexe et de manière que la concavité fût plus grande que la convexité, on verrait facilement que le signe de cos>. devrait être changé en ces points et supposé négatif.

16. Concevons une force égale à M, normale à la ligne 5, tangente à la surface du corps et dirigée du côlé où le corps est touché parle liquide. D'après ce que j'ai démontré (n^^T), la projection verticale de la résultante de cette force est

— Ml cosX cosHLd!s,

c'est-a-dire qu'elle est égale et de signe contraire à la force verticale (e). Il est évident que le même résultat est applicable aux deux autres composantes; par conséquent, comme nous l'avons dit(n'* 13), les trois composantes des forces normales P, qui agissent sur la partie de la surface du corps baignée par le liquide, sont détruites par la tension qui agit le long de la ligne d'affleurement, tangentiellement à la surface du corps.

Calcul des moments des forces capillaires.

17. D'après les expressions obtenues (n'^li) pour les composantes X| Y» Z de la force normale P qui agit sur la surface du corps, baignée

MODIFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES. 123

par le liquide, on a pour les moments de cette force

Calculons l'intégrale

étendue à toute la surface c»; nous pouvons la ramener a une intégrale relative h la ligne s qui termine w, par le même calcul qui a été fait cidessus. Adoptant les mêmes notations et posant

nous aurons

Remplaçons U et V par leurs valeurs, et nous obtiendrons

g/(^Y-7X)e/co=:-j^[(i+/>«)p'^--(i-h^«)P7-h/>^(p>-P^)]^

Gomme on a aussi

il en résulte

1 f(xY-y\)d., (#) \ ' ., -^

Désignons par ç, y;, ^ les composantes de la force M appliquée normalement a la courbe s et tangentiellement a la surface <o. D'après ce que nous avons vu, nous aurons

t -: — MCOSX COS|l,

>. étant Tan^jle des normales intérieures menées à la surface et au cvlindre vertical mené par s. On a, par analogie,

Ç r — MCOSX' COS[a', t, — : — M cos)/ cosp.",

V, [x' et X", (i." étant ce que deviennent les quantités >., (jl quand on change Taxe des z en celui des œ ou des y. En prenant les moments de ces forces tout le long de s par rapport a l'axe des z, on aura

/ {jcr^ — rÇ) dszrz — M I {œ cosV cos^k" — y cosV cos\i') ds.

Menons par s un cylindre parallèle a Taxe des a?; soient (o, a', a") les cosinus des angles de la normale avec les trois axes; soient (a,, o, a'J les mêmes quantités pour un cylindre parallèle à l'axe des y. Nous aurons ces formules

\/dy^ 4- dz* sldy^ -h dz^

, dt dz

a, — *■ > ai

sidz' -h dx> * sjdz" 4- ^x* '

nous avons d'ailleurs

COSX' I- c'a' 4- c'^a", COSX" = caj -h c'a*,

COS fx' ~ i j , COS [A* = 5^ ; ,

«5 ds

Nous aurons donc, en remplaçant dans l'intégrale.

MODIFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES. I 25

et en remarquant que Ton a

dz ■■--. pdx 4 Q dy,

on obtient une expression égale et de signe contraire à [g).

Je crois inutile de revenir sur la question des changements de signe qui peuvent se produire dans les quantités employées dans la démonstration et qui se compensent dans le résultat final.

II est évident qu'on arriverait a un résultat semblable pour les moments par rapport à Taxe des a? ou à Taxe des j.

ÉLÉVATION D'UN LIQUIDE AU MOYEN D'UN DISQUE HORIZONTAL. - FIGURES DES GOUTTES DE LIQUIDE POSÉES SUR UN PLAN HORIZONTAL OU SUSPENDUES.

Poids d'un liquide soulevé au moyen d'un disque.

1. Lorsqu'on place la base parfaitement horizontale d'un disque sur la surface d'un liquide et qu'on le soulève graduellement, on éprouve une résistance de la part du liquide. Le disque en s'élevant soulève une colonne liquide, qui se détache seulement dès qu'elle atteint une certaine hauteur.

Supposons le disque circulaire. Au point M de la surface du liquide soulevé [fig. 28) et en tout point situé à la même hauteur dans la co-

Fig. a8.

lonne liquide, la pression est égale à H— ^pA, H étant la pression de l'atmosphère, g l'accélération due à la pesanteur, p la densité du liquide et h la hauteur du point M au-dessus du niveau. Donc, si l'on désigne par k la hauteur de la base inférieure du disque au-dessus de ce niveau, il existe sur celte base, dont la surface est B, une pression égale à (H — ^p*)B, et, comme la pression sur la base opposée est HB, le disque est tiré de haut en bas par une force verticale égale à ^pB^.

ÉLÉVATION d'un LIQUIDE AU MOYEN d'uN DISQUE HORIZONTAL. I27

Le bord du disque, près de la base inférieure, ne doit pas être regardé comme une arête vive; mais il est formé d'une surface courbe dont les rayons de courbure, quoique très petits, sont cependant très grands par rapport au rayon d'activité moléculaire. 11 en résulte que la surface du liquide, tout en faisant l'angle ordinaire i de raccordement avec cette surface, pourra faire un angle très différent de i avec le plan CA de la base. Désignons par u l'angle ATR du plan tangent au bord supérieur du liquide avec l'horizon; la tension de la surface du liquide produira sur ce bord une force verticale, tirant de haut en bas

et égale à

5'pa*Lsinu,

L étant la circonférence du bord. Donc, en définitive, le disque est sollicité de haut en bas par une force verticale égale à

g^ B A -h gçt La* sinu.

Si, après avoir suspendu le disque au plateau d'une balance et lui avoir fait équilibre, on abaisse l'appareil de manière à mettre le disque au contact du liquide et qu'on élève graduellement ce disque, en ajoutant successivement dans le second plateau de petits poids dont la valeur totale est égale à P, on aura

P = ^ pB A' -4- ^«^p La' sinu.

Nous déterminerons plus loin la grandeur maximum de k.

Supposons que le liquide mouille le disque. A mesure que le disque s'élèvera, le bord supérieur du liquide descendra sur la surface courbe

de l'arête; l'angle u aura d'abord pour valeur - -h i, et il deviendra

égal à / aux points de ce bord où le plan tangent est horizontal. Alors la ligne où le liquide s'arrête sur le disque cesse d'être déterminée et le liquide tombe.

Si le liquide mouille parfaitement le disque, l'angle ^ est nul.

Calcul de la surface du liquide soulevé par le disque.

2. Désignons par / le rayon du disque circulaire et par /-+-a? la distance à Taxe d'un point de la surface du liquide ; :; étant sa coor-

' -?*| «-u* 1 . ■/! 1^ K'^^»<\1 fc' O'^' »<II îd il> !

»f . n ttJUiLipi;<iii' ' ^Uiutinn u^ ^^ — c^ ;aic

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-,- v^r f <fi = î- 1 1 ^ «tf- :

ÉLÉVATION d'un LIQUIDE AU MOYEN d'uN DISQUE HORIZONTAL. I29

et, en intégrant par partie,

f3 . , , ces' - — I , / ces' - — I

Négligeons le second terme de cette formule qui est très petit visa-vis du premier, et nous aurons

o - I — COS' -