J /-ha
ou
, I — cos' -
. 9 2rt- 2
:; == 2asin- —
(/-h.r) sin-i- ^ 2
formule donnée par Laplace.
3. On peut obtenir une approximation encore plus grande en remplaçant z par cette valeur dans le second membre de la formule [a) et ayant égard au second terme de la valeur de l'intégrale [h). Il faudra
ainsi ajouter à la valeur de -^ l'expression
I — cos* - , i cos* - — I
/cos ,, ^ ,, dx
: / 1 3 cos* - sm' - — I — cos' - ) cos - a-f
^ \ il xt • *? L 2 2 \ 2/ 2 J '
, . / cos* 2 — I 4^' I 2
- — I cos -
lang^ et, en intégrant par partie de zéro h 9, on obtient sensiblement
4 a- / , "5 \ 'v ' cos'- — I 1 cos--
3 {l-\-xY \ 2 / 2
l'io CHAPITRE V.
Ainsi Ton aura, au lieu de la formule (r ,
- I — cos' - ,
(c*) Z' = ^a'siin*- 5 j ( I— r cos- )•
X- étant la liauteur de la base inférieure du disque au-dessus du niveau du liquide, on a, pour le point le plus élevé du méridien de la colonne liquide,
jr — Ot z — A . c» — "tZ — 'j. — — — —^ ^ •
Ainsi Ton a
(d) /.' = ', a'- cos= ^ -- ^ ( , sin» ^ ) ( I - ^ sin ^) .
4. Supposons que le liquide mouille le disque; Tangle v, diaprés ce
que nous avons dit, varie depuis - 4-i jusqu'à i, et la valeur la plus
grande de k aura lieu pour 'j = f, comme le prouve la formule précédente.
Pour que l'expérience réussisse bien et que toutes les parties de la base du disque soient en contact avec le liquide, on commence par mouiller le disque avant de faire Texpérience.
En général, i est nul, et l'on obtient, par conséquent, pour la valeur maximum de P,
ou
K 1= 2rtr
2fl*
et celte quantité est indépendante de la nature du disque. On aura alors pour le poids du liquide soulevé P = gp-PK^ c'est-à-dire le poids d'un cylindre de hauteur K et de base égale à t:/^. Le rétrécissement au-dessous du disque est donc égal au volume du liquide soulevé en dehors du cylindre précédent.
Remarquons, en passant, que si l'on fait *j = - dans la formule (rf),
sa
la quantité k sera la hauteur à laquelle s'élèverait le liquide le long des
ÉLÉVATION D*UN LIQUIDE AU MOYEN D*UN DISQUE HORIZONTAL. l3l
génératrices d'un cylindre vertical de révolution dont le rayon / est très grand. Ainsi l'on aura pour le carré de cette hauteur
5. Calculons directement le volume du liquide soulevé par le disque. Ce volume est égal au cylindre 77/' X:, plus à l'intégrale
(/) — 27:1 {l -h ^')^djL'
On peut calculer rigoureusement cette intégrale. En effet, multiplions l'équation [s) par (/-+- x)dx et intégrons, nous aurons
— j {l-h x)zdx^:^— I {l-r- a:)cos^do — 1 sïllo du;
= — ( / -i- ^) sin cp -i- const. ,
et, en faisant commencer l'intégrale à ç = o, la constante arbitraire est nulle, parce que [l-i-x) sinç est nul pour ? = o, bien que (/-+- x) soit infini.
En effet, nous avons trouvé (n"" 2), pour la surface du liquide, l'équation
, dz . zdz
si nous supposons x très grand et, par suite, z très petit, cette équation se réduira à
Oi/o=:^^--^ ou -3 = «9, * • a* ^'
puisque 5 = pour ç = o. Ensuite l'équation -^ = — tangç donne
donc (/-f- ce) sinç pour <p = o a la même valeur que — a<p logç ; elle est donc nulle.
On en conclut que l'intégrale (/) a pour valeur 27:^2^ sinu, et l'on re-
trouve la formule
V =^ 7: /^ A -+- 2 ir /rt' sin u,
pour le volume du liquide soulevé.
6. Supposons ensuite que le liquide soulevé par le disque soit le mercure (y?^. 29). Désignons par y Tangle aigu de raccordement du mercure avec la surface AMU du disque et par u l'angle aigu MDT du
Fie. 29.
plan tangent à Tarête courbe avec l'horizon, le long de la ligne d'intersection S de la surface du liquide et de celle du disque. Si, sur cette ligne passant par M, u est < y = TME, comme on a posé
la„gç = ^,
et que, sur tout le méridien de la surface du liquide, z décroit avec a:, tangç est positif et <p est un angle aigu sur toute cette surface; on a donc
Si le liquide s'arrête en A au bas de l'arête, u sera nul et 9 sera égal
Nous aurons donc la plus grande hauteur de la colonne de mercure élevée par le disque en faisant <p =j dans la formule (c ). Réduisons cette formule à son premier terme, nous aurons
;*=4a-sin*- ou z
=1 2asin~)
et nous aurons pour la plus grande hauteur du liquide soulevé
K = 2asin-« a
ÉLÉVATION d'un LIQUIDE AU MOYEN d'uN DISQUE HORIZONTAL. 1 33
Remarquons que, pour u =y, nous aurons 9 = sur le disque et z =z o. Pour une valeur de 'j plus grande que j\ ç serait négatif et la ligne S s'abaisserait au-dessous du niveau.
L'angle de raccordement du mercure avec le verre dans l'eau est nul. Si donc on applique un disque de verre sur la surface du mercure et qu'on recouvre le mercure d'une couche d'eau, l'angley sera nul, K le sera donc aussi et le disque se séparera du mercure sans résistance. Ce fait est vérifié par l'expérience.
7. Gay-Lussac a fait des expériences sur l'adhérence des disques aux liquides. Quand le liquide est susceptible de mouiller le disque, il commençait par mouiller ce disque avant de l'attacher au plateau de la balance et il a reconnu, comme on devait s'y attendre, que le poids maximum de liquide soulevé était indépendant de la matière du disque.
Gay-Lussac a pris successivement pour liquide l'eau, l'alcool et l'huile de térébenthine; les poids maxima soulevés ont été trouvés conformes à la théorie.
Il est au contraire arrivé à des résultats peu concordants entre eux en prenant le mercure pour liquide à soulever. Tandis que le poids maximum de mercure soulevé par le disque qu'il employait devait être, d'après la formule (/), de 22 ^k*", 464, en supposant l'angley égal à 45® 3o', ce poids a varié dans ces expériences depuis iSS**" jusqu'à 29G*^ Les valeurs moindres que le nombre théorique peuvent toujours facilement s'expliquer par une petite agitation venant de l'extérieur, qui aurait fait tomber la colonne mercurielle avant qu'elle fût arrivée à sa hauteur maximum.
On sait, d'autre part, que l'angley de raccordement du mercure subit de grandes variations, et l'angley peut encore croître, dans l'expérience actuelle, par suite du frottement du mercure sur lui-même tout près du disque; mais le poids de 2^6^"^ ayant été obtenu en soulevant le disque dans un temps que Gay-Lussac indique comme long, sans en donner la grandeur, c'est surtout à l'oxydation de la surface du mercure qu'il faut attribuer la grandeur du poids soulevé, et l'angle de raccordement y a dû s'élever à environ 60**.
l34 CHAPITRE V.
Goutte d^un liquide sur un plan horizontal.
