L'équation de la surface de la goutte est

en prenant pour plan des x, y le plan horizontal sur lequel repose la goutte et Taxe des z étant, comme à l'ordinaire, mené vertical de bas en haut. Si la goutte est très large, on aura, à très peu près, au point le plus haut, R = oo , R, = oo et A sera la plus grande épaisseur de la goutte. Si la goutte est de révolution, que q soit sa plus grande hauteur et que b soit la valeur prise positivement des rayons de courbure principaux au sommet, on aura en ce point R=: R, = — t, et il en résultera

h étant supposé connu, examinons comment on pourra calculer le volume V de la goutte. Multiplions l'équation (a) par dwdy et intégrons dans toute l'étendue de la projection de la surface libre de la goutte; si B est la surface plane par laquelle la goutte repose, nous aurons

en changeant dxdy de signe pour les points situés à la partie inférieure de la goutte, déterminée par un cylindre circonscrit vertical. Or, d'après le raisonnement donné (Chap. II, n"* 3), on aura, pour cette intégrale dont tous les éléments sont négatifs.

1 étant le contour de la base de la goutte et i l'angle aigu de raccordement du mercure avec le plan. On aura donc cette formule

(y) V = BA-a«Xsin/.

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. 1 35

9. On peut encore démontrer la formule (y) de la manière suivante, donnée par M. Bertrand {Journal de LioimUe, t. XIII, 1848).

L'intégrale double (p), prise en signe contraire, peut être considérée comme la composante verticale d'un système de pressions normales à la surface libre de la goutte et ayant sur chaque élément da de cette

surface une intensité égale a •" (d ~+" n")^'^- Ce système de forces

peut être remplacé par deux autres systèmes. En effet, imaginons une surface a' parallèle à ç et menée au-dessus de ^ a la distance e infiniment petite. Supposons que chaque élément dfj de la première surface

soit sollicité normalement de bas en haut par une force -rfr, et de

même chaque élément da' par la force -de', mais en sens contraire.

Si da et da' sont deux éléments correspondants, en sorte que da' soit la projection de da sur a\ on aura

{voir Chap. I, n"* 8). La différence des forces qui agissent sur ces deux éléments est donc bien

Il reste à prendre la somme des composantes verticales de toutes ces forces; elle est

- I COS{z,n)d^' I cos{Zy n)d(jy

(5, n) indiquant l'angle de la normale intérieure avec la verticale menée de haut en bas. Ces deux intégrales doubles représentent les projections P' et P de a' et a sur le plan des x,y; nous aurons donc

mais la différence P' — P des projections de a' et a est égale à la projection de la surface réglée infiniment petite menée normalement à <7 le long de la ligne X et comprise entre aeta; elle est donc égale a eXsini; on a donc bien la formule (p).

l36 CHAPITRE V.

Figure fVune large goutte de mercure placée sur un plan horizon taL

10. Nous supposerons que la surface de la goutte est de révolution.

Afin de nous rapprocher le plus possible des calculs des n*** 2 et 3, menons l'axe des z vertical de haut en bas et menons dans le méridien de la surface l'axe des x tangent au sommet. Désignons ensuite par / le rayon de la base de la goutte et par /-+- j:: la distance à Taxe d'un point quelconque de la surface; nous aurons l'équation

ct^z

Quand la tangente à la courbe devient verticale, —^ devient infini,

et le dénominateur change de signe pour la partie inférieure de la goutte {fig. 3o).

Fig. 3o.

Désignons pari le rayon de c^'\rbure au sommet de la courbe; les deux rayons de courbure principaux sont égaux à h en ce point; le premier membre de l'équation se réduit ii t> et l'on a, en faisant z — o.

Posons

tango:

dz = du'

nous trouverons, au lieu de l'équation (/) du n*'2,

, . dz (z — h)dz sin © a© -h sm ç -. = i ^ —

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. 187

et, en intégrant,

L — = 1 — coscp 4- / --—' — ;

pour 9 = o, on doit avoir 2 = 0, et l'intégrale est nulle; comme le

premier membre se réduit à — , — ^> il faudrait en toute rigueur

ajouter cette quantité au second membre; mais, comme nous supposons h très grand, cette quantité est très petite et négligeable. Nous avons ensuite

X5 . , , I — cos' - , / I — cos"* ~ l^x - 3 i-\-x '^'6 J "(/4-^")» '

et, en négligeant le dernier terme comme très petit par rapport au premier, on aura

I — cos' -

(B) (.-/i)2^4flîsin*i4-^^3 ^

i — cos' -

2 3 .... cp

Faisons ç == 77 — i, i étant l'angle aigu formé par la surface du mercure avec le plan horizontal, et désignons par q la hauteur de la goutte, nous aurons en même temps x = Oy z = q, et l'équation précédente deviendra

, , I — sin* -

( I) ) 7 :— 2 a cos 7 — i

cos-

Telle est la formule donnée par Laplacc, qui exprime l'épaisseur de la goutte en supposant connu le rayon de courbure b au sommet qui

entre dans le terme très petit — t--

En poussant plus loin l'approximation, on aura, d'après le calcul du n° 3,

I — cos* -

f38 CHAP1TRK T.

et la hauteur q de la goutte âera donnée par la formule

(E) V— -^^- - y. ,a'co8'--^(.-s.n'-j(^,--^s.n-j.

Cette formule pourra donner une approximation très supérieure à celle qui est fournie par la formule de Laplace, si -. n'est pas une quantité extrêmement petite.

1 1 . Calculons maintenant le ravon de courbure b.

Dans Téquation (A), remplaçons / + j? par r, et, en négligeant les termes du troisième degré par rapport à ^^ nous aurons

(t^z i dz z — h dr^ r dr a*

d^z dz r 1 dn dr a* b

On en tire

ce n'est pas l'intégrale générale, mais elle s'annule pour r= o, ainsi que -1^; elle est donc l'intégrale voulue.

Le calcul actuel suppose que ^ reste très petit sur la partie considérée de la courbe; toutefois on peut supposer que r soit assez grand pour que — soit un nombre considérable.

Posons, en prenant t pour variable,

En supposant r assez grand pour que la limite supérieure i/— de

la} isfia^ e"

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. iSg

l'intégrale par rapport à t puisse être remplacée par oo , on aura

Or donc

, . la* \lia* e" f a\

Calculons ensuite la quantité z approximativement en fonction de r, vers le bord de la goutte.

En ne prenant dans l'expression (C) de 2 —A que son premier terme, on a

et, comme dz = rfrtangç, on a

COS-i-

langïf ^ I 2 . o ■ ^

^^ * 2Sin-

En intégrant, on a

in) - = 2 cos î -4- log tang ? -\- consl,

Pour 9 = ?r — /, on a r = /; donc

const. = 2 sin log tang ( 7 — 7 ) »

et, en remplaçant dans l'équation (/i), on obtient

logtangT- = h 2sin- 4- log tang—; 2cos-î

et si l'on veut appliquer cette équation en un point pour lequel <p est très petit et pour lequel l'équation [m) a déjà été établie, on pourra

l/|0 CHAPITRE V.

faire 9 — dans le dernier terme, et l'on aura