GOUTTE D*UN LIQUIDE SUR UN ^LAN ÎIORIZONTAL

Calcul d'une petite goutte de mercure.

18. Prenons pour axe des r la tangente au sommet du méridien de la goutte de mercure, pour axe des z la verticale qui passe par ce sommet et menée de haut en bas. Désignons par r la distance d'un point du méridien de la surface à Taxe et par <p l'angle de la tangente à ce méridien avec l'axe des r; nous supposerons que cet angle, nul au sommet de la goutte, croît jusqu'à ?: — i, en représentant par / l'angle aigu de raccordement du mercure avec le plan sur lequel repose la goutte. Puis nous poserons

I 5 = A,<p«-f-A,^*-HA3cp8-t-Avcp8-+-...,

D'après le n® 10, nous avons ces deux équations, où h est égal à

rcosfdf -t- sïntfdr = —^(s — h)rdr, dz=zdriding^y

et, en y substituant les deux expressions précédentes, on trouvera les valeurs suivantes des coefficients, où b représente le rayon de courbure au sommet :

\l= -i As — — — 6-+- 7, 1 »

\'i4 ^2 rt*/

/ ï i3 />» 67 b^ Il 83 b'\

Bj= — ^ -+- -7 "1 + -7 "w^ 120 24 rt* 24 ci^

*"~ V2-3.4.5.6.7 5760 a» ^ 384 «' 9216 aV

19. Au moyen de ces formules, on pourra déterminer s et r depuis <p = o jusqu'à une valeur Çi de ç plus ou moins grande, suivant que b sera plus petit ou plus grand, car la convergence des deux séries sera d'autant moins grande que b sera plus grand. Soit p la valeur de z correspondant à 9 — p,. A partir de cette valeur de 9, développons r suivant les puissances de ^ — 3 — /?. Nous avons l'équation

dr*' "*~ /• ~dr\ ^'^[d?) I z-h

et, si nous prenons r pour la variable indépendante, nous ferons

__ drr d*z "" dz^

dr^ "^ (^\'

en faisant, de plus,

l'équation différentielle deviendra

Posons

et nous trouverons, après avoir poséy^- = i + c-m]^

cm^^J- 511/»,

c/nti:^ î — ;rm;m*c 4- ô^'^*; cni^ni^

lie 3* 3*3

la}

ni\ , -^ . 3

r,OLTTK d'un liquide sur un plan IIOniZONTAL. l/|9

Les cocfïicients de la formule (B) deviennent beaucoup plus faciles à calculer si on l'applique à partir du plus grand rayon de la goutle; on aura alors c/w, = o et Ton obtiendra pour les autres coefficients

2c 2a* Grt-