GOUTTE D UN LIQUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL
En appliquant les formules (B) et (C), nous aurons
/• zi: 1 , 3 1 — o , 53 1 Ç' — o , o5 II î' — o , 1 59 i* — o , o56 Ç*,
et, pour vérifier cette formule, essayons de retrouver le point corrcs pondant h 9 = 75°; pour cela, faisons ^ = — o,33, et nous aurons effectivement r= 1,25.
liç. 33. — Échelle 20.
Fig. 3'i. — Échelle 20.
Fig. 34. — Échelle 20.
Faisons dans cette formule et dans sa dérivée Ç = o,5, nous aurons
dr
rz=ii,i54, -^=0,67.
Appliquons la formule (B) à partir de ce dernier point; nous aurons
r -rz I, i54 - o. 67 Ç- 1,089c»— 1,257 Ç3-o,249Ç\
1 >2 CHAFITKE T.
Pour !^ = o, I j, nous aurons
Cette goutte de mercure a ilonc une hauteur 7= i"",88, un rayon lie base /= 1,02 et un rayon <lfî i'équateur égal à i,3i. On trouve pour son poids f/', 102.
22. Tmisième exemple [fif^. V\]. — Prenons b = 2"". En appli {uant les formules 'A j, nous aurons
Pour 9 — - 7> on a
Appliquons ensuite la formule (B), nous aurons
et, pour î = o, ), nous obtiendrons
Appliquons de nouveau la formule (B), nous aurons
/•=^ 1 ,61 -H o,ii; — o, '167;»-+- o,o968î^• d'aprl^s cette formule, on voit que r est maximum pour ^= o,5i, cl Ton obtient, pour la valeur de r correspondante, 1,71.
La formule (B), appliquée à partir de Téquateur, donne
(rt) /•— 1,71 — o,44iî*— o,o5i i;'—o,o83Ç*~ 0,039;*.
Pour ^ = 0,78, on a r=: ][,38, et Tinclinaison de la tangente sur Thorizon est42°3o'. La base est représentée sur lay?^. 34 par AA', et la tangente au méridien en A par AT.
Ainsi la goutte de mercure a la hauteur çr = 2'"'",3i, le rayon de base /= 1,38 et le rayon de Téquateur égal à 1,71. On trouve pour son poids o8%i()3.
GOUTTK d'lW liquide SUR UN PIAN HORIZONTAL. 1 53
Les deux premiers exemples s'accordent assez bien avec des expériences de Gay-Lussac; mais il n'en est pas de même du troisième exemple. Pour se rapprocher le plus possible dans le dernier cas des résultars obtenus par ce physicien, il faudra supposer, à l'angle de raccordement du mercure avec le verre, la valeur de 55*^ qu'il ne peut guère dépasser. On trouve alors que, pour avoir le rayon de base, il faut faire dans {a)^ = 0,0; on a ainsi
/:- I ,.>2, 7 rrr: 2, l3,
et l'on a, pour le poids de la goutte, o8%i85. Sa base est alors représentée, sur h/ig. 34, par BB' et la tangente au méridien en B par BH.
23. Gay-Lussac, après avoir déterminé les poids de plusieurs gouttes, en a cherché expérimentalement les hauteurs; voici les résultats qu'il a obtenus (Poisson, Noiwelie théorie de r action capillaire, n° 109) :
Poids Uaiileur
on eu
;;ruiiiiiies. inillimèlrcs.
(3,oi3 3,34
11 faut remarquer que, la hauteur d'une goutte de mercure étant donnée, on n'en peut pas conclure sa masse, même approximativement, car cette masse sera très différente suivant l'angle de raccordement qu'elle fera avec le plan sur lequel elle repose, angle qu'il est très difficile de maintenir constant. Au contraire, si l'on se donnait le plus grand rayon de la goutte, sa masse serait à très peu près déterminée, car elle ne varierait que peu avec l'angle de raccordement.
Suivant les expériences d'Edouard Desains, quand on laisse une
l54 CHAPITRK V.
goutte de mercure sur un plan de verre, on reconnaît que la goutte s'affaisse peu h peu et que son épaisseur diminue notablement. En outre, le mercure perd sa fluidité à tel point, qu'il conserve les empreintes qu'on y fait, se comportant alors en quelque sorte comme du beurre. En agitant le mercure, on lui fait reprendre sa fluidité; mais la goutte ne reprend pas tout à fait la même épaisseur qu'à l'état primitif. Ainsi, il est nécessaire, dans ces expériences, de prendre du mercure parfaitement pur et de mesurer chaque goutte aussitôt qu'elle a été posée sur un plan de verre.
Calcul des dimensions d'une goutte moyenne de mercure.
24. Les calculs employés dans les exemples précédents deviendraient fort pénibles pour des valeurs de b plus grandes que 2™"', et il sera utile de les modifier.
Menons une ellipse tangente au sommet du méridien de la goutte et ayant le même axe de symétrie. Prenons toujours pour axe des r la tangente au sommet et pour axe des :; l'axe de symétrie. Désignons par a et p les demi-axes de l'ellipse et par ç l'angle de la tangente à l'ellipse avec l'axe des r. Les coordonnées r et 5 de cette ellipse seront données par les deux équations
v/p'cos*<p -h a^ sin-cp y/p' COS-9 -h a' sin'cp
En développant les expressions de r et z suivant les puissances de 9, on trouve
D'autre part, les coordonnées retz du méridien de la goutte sont exprimées par les formules du n*^ 18 :
GOUTTE n'iN LIQUIDE SUR UN PLAN HOllIZONTAL. 1 55
En identifiant les deux coordonnées r ou les deux coordonnées z dans leurs deux premiers termes, on obtient
On peut adopter pour méridien de la goutte l'ellipse, dont on vient de calculer les demi-axes, depuis (p= o jusqu'à une valeur plus ou moins grande de ç suivant la valeur de b. J'ai vérifié que, lorsque 6 = 4» ^n
prenant l'arc d'ellipse jusqu'à jy l'erreur commise sur ret s aux extrémités de cet arc ne dépasse pas 7^ de millimètre. Quand b sera plus petit que 4» Temploi du même arc d'ellipse donnera des résultats encore plus exacts.
25. Calculons la forme d'une goutte de mercure quand le rayon de
FijT. 33. — Échelle io.
courbure b du sommet est égal à 4"™ {/ig. 35). On déduit d'abord des formules (2)
et, pour <p = 45", les formules (i) donnent
l56 CHAPITRE V.
En développant rpar rapport à ^ à partir de ce point, on a f n° 19)
rir colo r= -I- = I — 1 ,2o6Ç -f- 0.726Î*.
o est, d'après la dernière formule, égal à Go** pour ^ = o, Vl» ^t l'<>n a alors
(3) z —. Oj-jçjG -*- o,!i^ :=i i j2Z6, r=i 2,566.
[En faisant 9= Go** dans les formules (1), on aurait z = i,i49» r — 2,5oo].
En développant rà partir de ce point, on a
et, pour ^ — o, ji, on a
On a ensuite
/•^= 2,760 -}-o,2i4 ï — o,363 ;--h o,oo3 ^',
et ^ est nul pour X, = 0,296.
Ainsi l'on a, pour le rayon du plus grand cercle et pour sa distance au sommet,
Enfin, en développant rà partir de ce cercle, on a
[^'inclinaison de la tangente sur le plan de la base est égal à 4î^"3o',
dr
lorsque ^ est égal à — cot/|2"3o'— — 1,091, et ^^^^^ dérivée prend
cette valeur pour ^ = 0,88; on en conclut ensuite r= 2,41 2-
Ainsi le rayon de courbure b de la goutte au sommet, sa hauteur y, le rayon / de sa base et son plus grand rayon c ont ces valeurs
b=i!u 7~2>9''^'» / — 2,4i2, c — 2,791, et l'on déduit pour son poids 0^^675.
r.OUTTE D*UN LIOUIOE SUR UN PLAN HORIZONTAL. 167
26. Lorsque le plus grand rayon de la goutte ira en croissant, la convergence de la série
appliquée au-dessous de Téquateur, ira en augmentant par une raison que nous donnerons plus loin. Ainsi, lorsque le rayon de courbure h sera > 4 ou que le rayon de l'équateur sera > 2,791, après avoir calculé le méridien depuis le sommet jusqu'à ce cercle, on pourra facilement achever de déterminer le reste du méridien jusqu'à la base de la goutte. Mais, pour déterminer la partie supérieure de la goutte, on emploiera une des méthodes par quadrature, que nous exposerons plus loin dans la recherche de la dépression capillaire dans le baromètre.
27. On pourrait faire croître le rayon b du sommet de la goutte par intervalles très rapprochés et calculer, d'après les méthodes précédentes, pour chaque goutte correspondante le plus grand rayon, le rayon / de la base, la hauteur ^ de la goutte et enfin son poids, en supposant connu l'angle de raccordement du mercure avec le plan de la base. Alors réciproquement, étant donné un quelconque de ces éléments de la goutte, on en pourra déduire les autres.
D'après les expériences de M. Quincke, non seulement l'angle de raccordement varierait d'une goutte à une autre, mais, le mercure n'étant pas un fluide parfait, cet angle serait loin d'être constant sur tout le contour de la base d'une même goutte. S'il en est ainsi, les calculs précédents pourraient servir à déterminer la valeur moyenne de cet angle sur la base.
En eff*et, supposons qu'on ait déterminé par l'expérience le poids d'une goutte et son plus grand rayon. D'après ce que nous venons de dire, nous pourrons, de ce plus grand rayon, conclure le rayon de courbure b du sommet. On connaîtra ensuite la forme du méridien de la goutte et, sachant son poids, on calculera le point où le méridien s'arrête sur la base et l'angle 1 de raccordement du mercure avec cette base. Si cet angle n'est pas constant le long du contour de la base, cette valeur théorique de 1 pourra être prise pour la valeur moyenne de cet angle.
l58 CHAPITRE V.
Figure d'une bulle d'air.
28. La figure d'une bulle d'air qui se trouve sous un plan horizontal à l'intérieur d'un liquide qui mouille ce plan peut être obtenue par les mêmes calculs que la figure d'une goutte de liquide qui ne mouille pas le plan sur lequel elle est placée.
En effet, mettons l'origine des coordonnées au sommet de la bulle et menons l'axe des z vertical de bas en haut (y?^. 36). Nous aurons,
Fig. 36.
pour l'équation de la surface concave du liquide qui limite la bulle.
a^ étant la constante capillaire du liquide et b le rayon de courbure au sommet o. Cette équation est entièrement semblable à celle que nous avons trouvée au n** 10 pour une goutte de mercure.
Supposons qu'on ait déterminé par l'expérience l'angle de raccordement du bord de la bulle avec le plan, angle qui sera en général très petit ou nul. Alors, si la bulle est grande, on pourra y appliquer les formules des n*^* 10, 11 et 12. Si la bulle est petite, on pourra y appliquer les formules (A) du n** 18.
Influence de la capillarilc sur le hirom"lr.\
29. Supposons que le baromètre soit formé d'un tube cylindrique droit vertical, d'un assez grand rayon, fermé à son extrémité supérieure et plongeant dans une très large cuvette de mercure. Désignons par / le rayon du tube et par q la hauteur ou flèche du ménisque. Nous
GOUTTE D UN LIQUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL. l DQ
avons (n® 10), pour Téquation de la surface du liquide,
1 — ces' -
en comptant z de haut en bas à partir du sommet.
Désignons par «l'angle aigu de raccordement; nous aurons, sur le
contour de cette surface, ,r = o, o = - — /, z = y, et nous déduisons
de cette formule, pour la flèche du ménisque.
La dépression du sommet provenant de la capillarité est(Chap. II, n" 1 4)
ia}
et il reste à déterminer le rayon de courbure b du sommet du ménisque. Pour l'obtenir, il suffît de reprendre le calcul qui donne cette quantité au sommet d'une goutte de mercure. On a approximativement (n'* 1 1 )
- ■— 2C0S - -T log langy -f- consl.
cl '1 l\
Pour o = - — ^ on a /• — /, donc
consl. — - — 2C0S^-; — M — loglang^g ""^)' ainsi l'on a
log tang • ^ - --^œs- - - -h2cos(^^ - - ) + logUing(^g - ^j.
-- +-2 co.( -- - l-îcosî -
et, en supposant ç très petit, on obtient
lang'f-iz^^; =4tang(g — yle '' *'e";
liyi}
rilA PITRE V.
mais, en difl'érentiant l'expression (m) de :; du n** 1 1 et n^ligeant des termes très petits par rapport à celui que l'on conserve, on a aussi
^^^ ~ bsfk \fr dz
Ces deux expressions de -^ doivent être égales pour une valeur de r
moindre que /, mais peu différente de /; on ne commettra qu'une très petite erreur en faisant /•= /dans les deux expressions et en les égalant; on obtient ainsi
''—i\jia *vAr/lang( - — y je " ^* *^
Cette valeur de v est plus exacte que la semblable obtenue (n** 11)
pour une goutte de mercure posée sur un plan.
En effet, soit N'AN la figure d'une telle goutte et soit B'AB {fig. 37)
la portion de sa surface qui formerait la surface barométrique, en sorte que l'angle du plan tangent avec la verticale est égal à 1 au point B. On peut obtenir un point M assez voisin de B et oii la tangente est sensiblement horizontale, et la formule (a) n'a besoin d'être admise que de B en M. Au contraire, pour la goutte, la semblable formule doit être admise depuis N jusqu'en M.
D'après ce qui précède, on a pour la dépression barométrique
c'est la quantité dont il faudra augmenter les indications du baromètre.
GOUTTE d'un liquide SIR UN PLAN HORIZONTAL. l6l
30. Supposons qu'on remplace le tube barométrique par un tube vertical ouvert à ses deux extrémités et plongeant dans la même cuvette
de mercure. La quantité -r- représentera l'abaissement du sommet de
la colonne au-dessous du niveau dans la cuvette et, q étant la flècbe
du ménisque, la quantité q 4- -j- ou le radical
y/4«'sin^(|-ij-H^[.-cos'(^-J)][-^cos(^-ij]
représentera la distance du contour du ménisque au plan de niveau. Supposons que le même tube ouvert soit plongé dans un liquide qui le mouille. Pour avoir l'élévation du contour du ménisque alors concave au-dessus du niveau extérieur, il faudra faire i = 77 dans l'expression du radical précédent, et l'on aura pour cette élévation
Soit B [fig. 38) le sommet du ménisque, CA la hauteur k du bord du
Fîg. 38.
ménisque au-dessus du niveau extérieur; on a CB = ^, BA = A; donc
b étant négatif et donné par la formule
l62 CHAPITRE V.
ainsi l'on aura pour la hauteur du ménisque
dont le premier terme est négatif, comme ci-dessus.
Le volume de liquide soulevé dans le tube par la capillarité est (Chap. Il, n*" 3) i-ra}, plus généralement
'î- 777- ces/',
si l'on suppose que l'angle aigu i de raccordement ne soit pas nul; menons le plan tangent en B, le cylindre renfermé entre le plan tangent et le niveau est tt/^A; donc le ménisque a pour volume
2 71 va} cos /' — r /•' //,
A étant donné par la formule [h) changée de signe, où l'on fait
OU par la formule
31. Ce qui précède suppose que le tube est très large. Si l'on veut trouver la dépression du mercure due k la capillarité dans un tube d'un très petit rayon, on pourra appliquer la formule du n*" 14 du Chapitre II. Mais on obtiendra une approximation plus grande en se servant des calculs des n^MSet 19 du Chapitre actuel. Pour une valeur du rayon de courbure h au sommet, on pourra calculer les rayons du tube qui correspondent à un angle donné de raccordement; par suite aussi, étant donnés ces rayons, on en conclura h ou la dépression h.
Supposons, par exemple, que l'angle de raccordement du mercure avec le tube soit égal à /p*". Les quatre exemples calculés aux n"' 20,
21 , 22 et 2i donneront, en y faisant ç r^ - — 4.1;" r- 45",
I" b--\, /zzio^ôc)'», ;: — o,:i84, hz=i'xar ~6,526;
2« 6.-1,38, / -=0,9^0, :: in 0,382, /< - -^1-^ — ./|,n28;
GOLTTt: d'un liquide SIU UN PLAN IlORIZOMAL. l63
3" b^=zAj /=ii,3i8, :;z=i 0,519, h =z a- =1 8,268;
4*^ ^ = 4» /"^^ 2,227, ^=10,796, h :iiL — =i,G8i.
La seconde colonne verticale donne le rayon du tube, la troisième la hauteur du ménisque et la quatrième la dépression du mercure.
Remarquons que les formules (A) et (B) des n*"* 18 et 19 pourront servir également k calculer la ligure du ménisque d'un liquide dans un tube capillaire qu'il mouille.
Quand le rayon du tube n'est ni très petit ni supérieur h lo""^, on forme alors une Table des dépressions au moyen de quadratures.
Méthodes par quadrature pour former une Table de la dépression
barométrique due à la capUlarilv,
32. Il s'agit de former une Table qui fournisse la dépression barométrique, provenant de la capillarité, pour des valeurs successives du rayon du tube.
Première méthode. — Laplace a indiqué une méthode par quadrature pour déterminer la surface du ménisque mercuriel [Connaissance des Temps^ 1812). Pour trouver le rayon du tube correspondant à une dépression donnée H, il prend d'abord pour le rayon de courbure au sommet b =^ ~' il divise le méridien de la surface en parties dont les extrémités correspondent à des valeurs de l'angle ç distantes de 4*^ et il remplace ces arcs par des arcs de cercle de même amplitude et dont chacun continue le précédent suivant la même tangente.
D'abord, le premier arc de cercle qui commence au sommet est immédiatement déterminé, puisque son rayon est b; si donc on désigne par ç, la valeur de 9 relative à son autre extrémité et qu'on mette l'origine des coordonnées au sommet. Taxe des z vertical et l'axe des r horizontal, on aura pour les coordonnées de cette extrémité
/•jiz: 6sincp,, ;;j = 26sin*^«
Calculons le rayon de courbure du méridien correspondant à ce point.
It, ^nt '^^ rav«#a •l^r •!»>art><ir*^ «tt R «Kant b l«>f^ni«far J»? U normale en ^ point y:fta\ïi^tt a l'^ijr. û»>«i* ^^-#0:^
H^tïon:^ on arc dr c^^nrle d«>nt le rayon s^/it R,. qai pa>âe par le point r, , j, et qrii :v>it le prolongement do prevr^ent ; noos aurons pour les ^jfordonnee^ des points dç cet an:
/ — /# — Kl *in^. z zrz i — Ricos^,
A, i étant deux con?^tantes: désignons par (r^, :;^ la seconde extrémité 4^. tj:i arc qui corresjKind as = s., nous aurons
*, — ^1 ^:^ K|Cos^i— R| cos^j— iRiSin '^ — — siii
formuler qui déterminent r,, :;.. On calculera ensuite le rayon de courhure R, en a: fK/int par la formule
puÎH on déterminera un troisième arc de cercle, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à la valeur de o qui est égaie au complément de Tangle de la surface du mercure avec le tube. La valeur de r correspondanti5 sera le rayon du tube pour la dépression supposée.
Quand la dépression est moindre que o"^,8, le rayon de courbure 6 au sommet de la goutte devient trop grand pour qu'un arc de 4"" vers le commet puisse être remplacé par un arc de cercle. On a donc été obligé, dans cette partie de la courbe, de faire croître Tangle 9 de quantités plus petites.
Dans cette méthode, on remplace les arcs du méridien de la goutte
GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. 1 65
par (les arcs de cercles osculateurs, qu'on transporte parallèlement bout à bout, et Ton suppose ainsi que le rayon de courbure est constant tout le long d'un arc, tandis qu'il va en diminuant. Il en résulte que les valeurs que l'on calcule successivement pour les abscisses r,, r^, r^, ... sont trop grandes et que les valeurs obtenues pour :;,, z.j^, :?3, ... sont trop petites; l'erreur commise sur chaque arc a donc lieu dans le même sens. A la vérité, après avoir calculé un des arcs de cercle et le rayon de courbure à la seconde extrémité, on peut, comme l'a fait Bravais, revenir sur le calcul de cet arc, en prenant pour son rayon la demi-somme des ravons de courbure obtenus h ses extrémités. Mais on obtiendra des résultats beaucoup plus exacts si l'on conserve les mêmes divisions du méridien ou beaucoup plus rapides si l'on prend des divisions plus grandes, en adoptant des arcs d'ellipse au lieu d'arcs de cercle. C'est surtout vers le sommet du ménisque que cette méthode sera avantageuse.
33. Seconde méthode , — Divisons donc le méridien du ménisque en parties correspondant à des accroissements successifs de l'angle <p et assez petites pour être assimilées à des arcs d'ellipse.
Nous prendrons d'abord un arc de l'ellipse osculatrice au sommet; les coordonnées r, z de chaque point de cet arc ont pour valeurs
, , , a- sincj o 3*coscp
a et li étant donnés par les formules (n" 24)
ces valeurs correspondent à une valeur déterminée de b ou, d'après ce que nous avons dit, à une valeur déterminée de la dépression. Nous prendrons un arc de cette ellipse depuis 9 = jusqu'à une valeur 9 = 9,, et nous aurons les coordonnées r,, z^ de l'extrémité en faisant o r= o, dans les équations (A).
Considérons une deuxième ellipse, dont les axes ont la même direction, qui passe aussi par le point (/*,, z^) et qui ait la même tangente
iGG CHAPITRE V.
que la première en ce point, et examinons comment nous devons choisir ses demi-axes a,, p, pour qu'elle se rapproche le plus possible du second arc du méridien. Les coordonnées r, z de cette ellipse seront
V^?Î cos*o -j- aj siii=^^ v^?J cos-cf' -h 3tJ sin*o
h, k étant deux constantes.
Nous avons les deux équations du n"^ 18
/• coso d^ -\- sincp ^//' \~\-^ t\*' ^^'f
dz ~ dr idiW^^,
Kemplaçons-y 9 par ç, -h i, nous aurons
/•C0s('fi-l- ^)d^ ^- siii('f^-4- ^ )(//• — ( ^ -^ T ) rdr=o, (cos<J^ — langcp, sin^')^/^ — (lang^pi cos^J^-v ^\\ï'^)dr — o.
Développons les premiers membres de ces équations par rapport aux puissances de '}, après avoir posé
et nous en tirerons, en égalant à zéro les coefficients des puissances
de ^,
