INTRODUCTION

des expériences relatives h la eapillaritc s'est beaucoup agrandi et a fourni de nouveaux éléments à la théorie.

Hagen, Brunner, Edouard Desains, Bede, M. Quet ont étudié avec une grande précision l'élévation ou la dépression des liquides par la capillarité et ont démontré l'accord des faits avec la théorie. Mais on sait maintenant qu'une très légère altération de la surface d'un liquide par le contact de l'air peut modifier beaucoup la constante capillaire. On sait aussi que l'angle de la surface d'un liquide avec un corps solide est susceptible encore de plus grandes variations. Cet angle constant, d'après la théorie qui suppose que le liquide reste toujours identique à lui-même, peut varier beaucoup si le liquide ou seulement sa partie superficielle vient à s'altérer.

Gay-Lussac ne connaissait pas la grande variation de cet angle pour le mercure. Ainsi, à la demande de Poisson, il a mesuré la hauteur de gouttes de mercure de difierentes grosseurs, après en avoir déterminé le poids. Or, en m'occupant du calcul de la figure de ces gouttes, j'ai pu reconnaître (roi> Chapitre V) que l'angle de raccordement qu'elles formaient avec le plan de verre sur lequel elles reposaient, et qui était considéré comme constant par Gay-Lussac, a varié d'une goutte à l'autre. Ces expériences auraient présenté plus d'intérêt s'il avait déterminé la plus grande largeur des gouttes, au lieu de leur hauteur.

Enfin, pour achever de citer seulement les principales recherches des physiciens, je rappellerai que Hagen a employé le premier le comptegouttes pour déterminer la constante capillaire, que Dupré a prouvé directement la tension superficielle, que Plateau et Quincke ont déterminé la limite des distances des attractions moléculaires et que Plateau a étudié, dans des expériences célèbres, les figures d'équilibre que peiivent prendre les liquides sans pesanteur.

1. Dans la théorie de la capillarité, comme son nom l'indique, on cherche à déterminer l'élévation ou la dépression des liquides dans des tubes très fins; mais, plus généralement, on s'y propose d'étudier réquilihre des liquides mis en contact avec des corps solides.

Le seul fait sur lequel nous nous appuierons d'ahord, c'est que la surface d'un liquide ne varie pas, quand onchanj^e l'épaisseur des parois du vase dans lequel il se trouve, quelque faible qu'on rende celle épaisseur. 11 en résulte évidemment que les actions capillaires s'exercent à une distance excessivement petite.

Il est aisé de comprendre que la densité d'un liquide doit varier dans le voisinage des surfaces qui le terminent, soit que ces surfaces demeurent libres, soit qu'elles couvrent d'autres corps. A une distance sensible de ces surfaces, un liquide pourra être regardé comme de densité constante, chaque molécule étant pressée par toutes les molécules situées dans sa sphère d'activité, dont le rayon t est très petit, d'après ce qui vient d'être dit. Mais, si l'on considère une molécule à une dislance de la surface libre qui soit moindre (|ue le rayon d'activité moléculaire, la force comprimante, qui proviendra alors de la partie comprise entre la surface libre et la surface parallèle menée par la molécule, sera moindre que précédemment. La densité du liquide sera donc moindre en ce point qu'à l'intérieur du liquide et décroîtra jusqu'il la surface. La couche d'épaisseur e, dont l'une des faces est la surface libre du liquide, étant d'une densité moindre que celle qui a lieu a une profondeur sensible, exercera sur l'autre face une pression moindre que ctdle à laquelle sont soumises les molécules situées à une» pmfond<*ur plus grande, Ainsi la densité du li(|uide doit être consi-

dérée comme variable vers la surface libre et jusqu'à ane profondeur plus grande que le rayon d'activité.

On voit de même que la densité d'un liquide doit changer aux environs d'une paroi ou d'un autre liquide et y être tantôt plus grande, tantôt moindre qu'à l'intérieur du premier liquide.

Laplace n'a point fait entrer dans ses calculs sur la théorie de l'action capillaire.ee changement de densité, et l'a regardé comme négligeable. Mais c'est à tort qu'on a prétendu souvent qu'il la croyait constante; il dit au contraire, à la fin de cette théorie, que cette densité change vers les limites du liquide.

AppUcation du principe des riiesses viiluelles.

2. Considérons un liquide en contact avec un corps solide et appliquons à ce système le principe des vitesses virtuelles.

Soient w,, rn^, . . ., W/, ... les molécules du liquide et M,, Mo, . . ., Mj, ... les molécules du corps solide. Désignons par r,, la distance entre w^ et m,, et par R/,, la distance entre m^ et M^; représentons aussi par/(r/,j) la fonction qui exprime l'attraction entre /ai, et rn^y et par F(R,,,) celle qui donne l'attraction entre m^ et M,.

Prenons un système d'axes rectangulaires des a-, v, z, dont l'axe des :; soit vertical et mené de bas en haut. Le moment virtuel de la pesanteur sur la molécule m sera — gm^iz, Se étant le déplacement virtuel de m suivant la verticale, et g l'accélération due à la pesanteur. Le moment virtuel des deux forces égales et contraires qui s'exercent entre nii et m^, provenant de la variation Sr^^, de leur distance, a pour valeur

et le moment qui résulte des actions entre m^ et M^ est de même

Le système étant supposé en équilibre, on aura, d'après le principe des vitesses virtuelles, en indiquant les sommations avec le signe S,

la première somme s'étendantà toutes les molécules //i du liquide; la

CUANTKE l.

seconde somme, qui est double, s'étendant à chaque arrangement de deux molécules //î/, //îj du liquide; enfin la troisième somme, double également, s'obtient en prenant chaque molécule /n^ du liquide avec une molécule quelconque M, du corps solide. On a mis le facteur ^ en avant de la première somme double, afin de ne pas prendre deux fois un terme provenant de l'action mutuelle entre deux molécules du liquide.

Nous regarderons/(r) et F( R) comme tout a fait nuls, dès que ret R dépasseront des quantités très petites t et e'; nous pouvons donc poser

/ /(r)ffr=f /•(/•) J/Tzz '^(7), j ¥(r)dr— I F(/)^// — *(/),

ç{r) et <l>(r) étant deux fonctions positives, puisque tous les éléments des intégrales sont positifs. Nous en déduisons

Ainsi l'équation du principe des vitesses virtuelles deviendra

Si nous désignons par U la fonction de forces pour tout le système et que nous posions en conséquence

r -.-^gSmz -h iS,S,//i////,'f(/v,.)-i-S,S,//i|M,4>(H,^,), nous réduirons cette équatitm à

(a) oU :— o.

Prenons un point à l'intérieur du liquide et situé à une distance sensible de sa surface. Désignons par L la somme S///9(/) étendue à toutes les molécules m d'une sphère dont le centre est à ce point du liquide et dont le rayon est celui de la sphère d'activité. Si nous sommons la quantité //l'L pour toutes les molécules du liquide, cette somme restera constante, quelle que soit la forme affectée par la masse donnée du liquide.

DES PniNCIPES DE LA TIIKOIUE DE \A CaPILUIUTÊ. C)

Nous allons employer cette considération à la simplification de la somme

3. Supposons d'abord que le liquide soit entièrement homogène, même vers sa surface. Si nous sommons la quantité m'L pour toutes les molécules du liquide, nous obtiendrons une somme \Sm plus grande que(i); car elle comprendra, outre la somme (i), \e potentiel de la masse liquide sur une couche fictive excessivement mince de ce liquide, recouvrant cette masse et dont l'épaisseur constante est égale au rayon c de la sphère d'activité.

(J'étends ici le mot de potentiel à une attraction autre que celle de l'inverse du carré de la distance.) Désignons par [/. une molécule de cette couche fictive; nous aurons

rdésignantdans la dernière somme la distance de la molécule fictive [;. à une molécule quelconque du liquide. Le premier terme du second membre est constant, la masse du liquide restant invariable. D'autre part, l'épaisseur e de la couche est en général excessivement petite par rapport aux rayons de courbure de la surface du liquide et 9(r) est nul pour r> e; il est donc évident que SS;/.m(p(/*) est proportionnel à la surface du liquide, à des quantités près tout à fait négligeables.

Ainsi, en désignant par T la surface entière du liquide et par p une quantité constante positive, on a, pour la variation de la quantité (6),

La démonstration de cette formule suppose que le liquide reste homogène jusqu'à sa surface. Nous allons maintenant supposer que le liquide change de densité dans les environs de sa surface et examiner comment cette dernière formule se modifie.

Modification de la formule [c) dans Vhypothnc d'un changemenl

de densité dans le liquide.

4. Pour simplifier, admettons d'abord que la surface du liquide est entièrement libre. Soient aa' (y7^. i) la surface de ce liquide et hl/ la

lO CMAPITHE 1.

limite inférieure de la couche de densité moindre que la densité p de rintcrieurdu liquide; la surface i// est parallèle à aa'et àunedistancer, de cette dernière surface, plus grande que le rayon d'activité e.

Pic- 1.

Condensons par la pensée cette couche d'épaisseur r,, de manière qu'elle prenne partout la densité p et l'épaisseur u\ alors la surface extérieure du liquide viendra en cc\ surface parallèle aux deux précédentes.

Considérons la quantité LS/w, S//? représentant la somme de toutes les molécules renfermées dans la partie B du liquide comprise sous la surface hb\ etdaiis la couche condensée cchU que nous appellerons A. Si l'on suppose que la surface extérieure aa' vienne à se modifier, non seulement \Sm restera constant, mais le volume renfermé sous la surface ce sera lui-même constant et, d'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, le potentiel de ce liquide, compris dans rr, sur lui-même est é<i;al à l'expression

(i) \ LS/// — \ SS'xm 'f (/•),

où la somme double représente le potentiel de A sur une couche placée sur rr' et ayant la densité p (»t l'épaisseur c. Pour avoir le potentiel total

{'>') lS/S,.//i////.,cp(/v,.v),

il sufïira de retrancher de la valeur [i) le potenticd de la couche A sur le liquide B et sur elle-même, et d'y ajouter le potentiel de la couche *'raie hh'aa' sur le liquide B et sur elle-même.

D'après cela, désignons par cr, rs' deux molécules quelconques de la couche fictive A, et par v, v' deux molécules quelconques de la couche vraie aàhh\ Désignons aussi par m une molécule quelconque de B. Le potentiel de la couche A sur B et sur elle-même sera

et celui de la couche aa'hb' sur B et sur elle-même sera

r représentant dans chacune de ces sommes la distance entre les deux molécules qui y sont indiquées.

Nous en concluons, pour l'expression (5»),

-l-SS//r'v o(/) 1- i.SSv/^if/-.

Les termes de la deuxième ligne sont respectivement plus grands que ceux de la troisième.

Si l'on conçoit que la surface extérieure du liquide change, la quantité ^LSm restera invariable. Ensuite, d'après ce que nous avons reconnu (n*" 3), la première somme double de la formule précédente est proportionnelle à la surface T du liquide, et l'on voit de la même manière que les quatre autres sommes doubles sont proportionnelles à cette même surface : donc, A et K étant deux constantes positives dont la première représente ^LS/w, le second membre de la formule (3) peut

s'écrire

5. Concevons ensuite que la surface T du liquide ne soit plus entièrement libre, mais qu'elle se compose d'une partie libre n et d'une partie 12 en contact avec un corps solide ou un autre liquide. Nous supposerons encore que la couche terminée par n et de densité moindre que p ait l'épaisseur Y), et que cette couche condensée jusqu'à la densité p prenne l'épaisseur u. Et pareillement nous supposerons que la semblable couche terminéepar 12 ait l'épaisseur y), et que, ramenée à la densité p, elle ait l'épaisseur u^.

Désignons encore par cr ou cr, chaque molécule de la couche fictive d'épaisseur w ou m, et par v ouv, chaque molécule de la couche vraie d'épaisseur X ou y)|. Alors, pour avoir l'expression de la quantité (2), il faudra, au second membre de la formule (3), ajouter

Désignons par A, B, C, D des nombres constants; nous pourrons représenter 'LS/?/ par A, SS//îa'p(r) par B(<; -+- 12), la somme des quatre derniers termes du second membre de (3) par — Ct et la somme (4) par — [)il. Nous aurons donc

A, B etC étant positifs et I) positif ou négatif. Les termes — Cg— Di2 sont ceux qui proviennent du changement de densité du liquide vers ses limites.

Nouvelle forme de C équation du principe des vitesses virtuelles.

6. Supposons que l'on ait un seul liquide qui se trouve au contact d'un solide par la surface 12. La quantité

qui entre dans l'expression de U (n" 2), est proportionnelle a £2 et peut être représentée par E12, E étant une constante positive. On peut, dans cette même expression de U, remplacer gSrnz par

rr

p I Z clrn.

l'intégrale s'étendant à tous les éléments dus du volume du liquide. On aura donc