L -1. - -p A dm -I- A - - ( ^ H cV - ^^ -I- I) - E W
Dans le cas où l'on suppose C et D nuls, on obtient la formule donnée par Gauss. Cette fonction doit être substituée dans l'équation
oL) — o.
Remarques sur les principes employés dans les numéros précédents.
7. Outre l'attraction entre deux molécules, il peut y avoir entre elles une répulsion calorifique; mais, pour en tenir compte, il suffit
DES rUINClPES DE LA THÉOIUE DE LA CAPILLAIUTÊ. l3
d'admettre que, dans le n*^ 2, les ibnctions/(r) et F(r) représentent la somme de ces deux actions.
Nous admettons donc seulement que l'action totale entre deux molécules n'est fonction que de leur distance. Cependant on peut douter que cette action soit aussi simple. On conçoit en eiïet que les molécules liquides au voisinage du corps solide puissent prendre une orientation déterminée, et l'action entre deux molécules, l'une liquide, l'autre solide, pourrait dépendre non seulement de leur distance, mais encore de la disposition de la molécule liquide par rapport à la droite qui la joint à la molécule solide. Toutefois il suffit que l'expression du moment virtuel de la force
X ox -h Y r 4- Z 0,-,
OÙ X, Y, Z sont les composantes de cette force, soit une différentielle exacte, pour que les résultats obtenus dans ce qui précède restent applicables. L'intégrale de cette différentielle remplacera la fonction *(R) et l'on reconnaîtra facilement que la somme qui remplacera
pourra, comme au numéro précédent, être représentée par Ei2, E étant constant.
On verra également que, si les molécules du liquide ont une certaine orientation auprès de la surface libre et que le moment virtuel de leur action mutuelle soit une différentielle exacte, l'expression qui remplacera
pourra encore se mettre sous la forme indiquée a la fin du n® 5. Donc enfin il existera une fonction de forces U, qui conservera la même forme qu'au numéro précédent.
L'existence d'une fonction de forces doit d'ailleurs être admise, si l'on néglige la viscosité, c'est-à-dire le frottement du liquide sur luimême; car, dans ce cas, les molécules du liquide étant supposées déplacées, puis revenues à leurs positions primitives, le travail accompli doit être nul, ce qui n'a lieu que dans la supposition de l'existence d'une fonction de forces.
l4 CHAPITRE I.
Équilibre d'un liquide renfermé dans un vase,
8. Supposons un corps solide formant un vase qui renferme le liquide. Posons
d'après le n° 6, nous aurons l'équation
<T étant la surface libre et £L la surface du liquide en contact avec le solide.
La quantité ^fzdvs serait évidemment nulle si la surface libres ne changeait pas, et aussi, pour évaluer cette quantité, nous pouvons supprimer au volume du liquide la partie commune avant et après le déplacement virtuel. Si nous multiplions chacun des éléments de la différence des deux volumes par s, nous aurons Sfzdvs. Or, en désignant par n la normale extérieure et par ^n le déplacement de la surface suivant cette normale, l'élément de volume de cette différence a pour valeur dfjhi; on aura donc
ofz (/nj -—. f z fît II (h^
l'intégrale du second membre s'étendant à tous les éléments de la surface libre (j.
Comme la densité du liquide n'est plus la même vers ses limites, il faudrait, pour plus de rigueur, remplacer le premier terme de la formule (2) par
(3) -r.fzZ(/m,
p étant considéré dans l'intégrale comme variable vers la surface du liquide. Alors, le liquide étant supposé partagé en la partie dont la densité est constante et en une couche d'épaisseur très petite d'une densité moindre, la partie de la formule (3) qui se rapporte à cette couche est insensible, comme on le voit aisément; donc il n'v a rien à
changer h l«i (létormination que nous avons faite du premier terme de l'équation (2).
Pour former l'équation (2), supposons d'abord que, la surface Q restant la même, la surface libre n soit changée en une surface infiniment voisine «7', terminée au même contour. Sur la surface ^ traçons les deux systèmes de lignes de courbure, 5 et 5, ; le long de ces lignes menons des normales qui détermineront sur a' les lignes s' et s\. Ces lignes de courbure découpent la surface g en rectangles curvilignes infiniment petits. Soient ds, ds^ les deux côtés d'un de ces rectangles ; les normales menées aux deux extrémités de ds se rencontrent en un même point et interceptent sur n l'arc ds' ; de même les deux normales menées aux deux extrémités de ds^ interceptent sur q l'arc ds\ et l'on aura
(h'— (h ^ r — ~ ) , (ls\ ■-- iU, [\ - ^ ) >
tn étant la distance déjà considérée entre les deux surfaces et R, R, étant les deux rayons de courbure principaux de la surface (j, qui doivent être regardés comme positifs ou négatifs, suivant qu'ils sont extérieurs ou intérieurs au volume du liquide. Nous pourroiLS donc poser
d^z :— cfs dsi , fh' =: ds' ds[ = ds dsA\ ît ) ( ' — jr
et il en résulte
di -= dz' — d's :-- — ( 77 -f~ 7*- ) ^" ''^•^' ^^-^i »
'"^-"/(ïï + îr.)^'"'"
Donc, quand ^il est nul, l'équation (2) se réduit à
(^) / 1 -M (ïï-^i) ---]-"''-»•
Il faut exprimer que la masse du liquide ne change pas, et il est encore aisé de voir qu'on peut dans cette condition négliger le changement de densité qui a lieu très près de la sqrfîicc. On aura donc à
iG CHAPITRE I.
exprimer que le volume du liquide est constant ; ce qui donnera
on d(J rr: O.
Multiplions cette dernière équation par une constante — // et ajou tons à (4) ; nous avons
M ( i|-4- rr- 1 4- -- //
Comme cette équation doit avoir lieu quel que soit ht, on en conclut
ce qui détermine l'équation de la surface libre c.
Si l'on voulait tenir compte de la pression ÏI de l'atmosphère, on remarquerait que son moment virtuel sur l'élément rfç est — Uhîdr: et que le premier membre de l'équation (2) est la quantité SU divisée par — gp. On en conclurait qu'il faut introduire dans l'équation {/|)
entre les crochets la quantité — II, et l'on obtiendrait, au lieu de l'équation (5),
n -f-A'-pC- -//) =A'pM U-^ -4- j^V
9. Supposons ensuite que la surface ^ de contact du liquide avec le vase change. Désignons par / la ligne de séparation de g et de £2; par la déformation /se changera en une ligne /'. Le long de la ligne/ élevons des normales à la surface a jusqu'à la rencontre de g' ; ces normales couperont a suivant une ligne /, . Ainsi la surface a' peut être partagée en deux parties : l'une a'^ renfermée dans la ligne/,, l'autre <T.j comprise entre /, et /'.
D'après ce qui a été démontré ci-dessus, nous avons
Désignons par S> la distance entre les deux lignes / et /' situées sur
DES PniNClPES DE LA THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ. I7
la paroi du vase ; nous aurons d'abord
oilz=z I oX (IL
Ensuite fj[^ peut être considéré comme la projection des éléments Sx dl de la paroi sur n. Si donc nous désignons par / l'angle des normales à T et à la paroi, menées respectivement hors du liquide et hors de la paroi, nous aurons
( 7 ) ^'1^=^ \ ^os / oX lit.
Ajoutant (G) et (7), nous avons
" / ( H ^" TT ) ^'^^^^ "^ / cosioX^/.
Enfin considérons encore l'expression ^ 1 Z(tn; elle se compose d'a-
bordde l zhidn^ puis d'une partie provenant du liquide renfermé entre
la paroi et la petite surface réglée terminée aux deux lignes /et/,; mais cette seconde partie est infiniment petite par rapport à la première. Ainsi l'équation (2) devient
TT-M (-1^ + jf) 4-cl8/^r/(I-4- r(Mcos£-i-N)SXt//=io,
et il faut y ajouter encore l'équation de condition
On en conclut comme ci-dessus l'équation (5) et aussi, puisque Sx
est arbitraire,
Mcos/-hN = o.
Ainsi on a, i^onvVangle de raccordement^ c'est-à-dire l'angle sous lequel le liquide rencontre la partie de la paroi touchée par le liquide,
B, E, C étant des quantités positives et D positif ou négatif.
l8 CIIAPITHE I.
10. Lamélhode qui précède, pour déduire au moyen de réquation(2) l'équation de la surface libre du liquide et la formule qui détermine l'angle I, a été exposée par M. Bertrand [Journal de Liouvilley t. XUl, 1848). La variation de densité que j'ai admise vers les limites du liquide ne modifie en rien cette démonstration. Laplace a démontré le premier ces deux formules, on supposant la densité du liquide partout la même, et par suite C et D nuls.
Si nous faisons C et D nuls, nous avons
et nous obtenons les résultats suivants donnés par Laplace.
Admettons que l'action, entre deux molécules du liquide ou entre une molécule du liquide et une du solide, soit la même fonction de leur distance, à un coefficient constant près. Alors B etE seront proportionnels à ces attractions.
Si B — 2E est positif et par conséquent l'attraction du liquide sur lui-même plus grande que deux fois celle de la paroi sur le liquide, l'angle / est obtus et, si la paroi est verticale, la surface du liquide est convexe.
Si B = 2E, le liquide rencontrera la paroi normalement et il sera horizontal si le tube est vertical.
Si B — 2E est négatif et par conséquent l'attraction du liquide plus petite que deux fois celle de la paroi, l'angle i est aigu et, si la paroi est verticale, la surface du liquide est concave.
Toutefois si, B — 2E étant négatif, on a de plus B<E, la valeur trouvée pour cos/ serait plus grande que i , la valeur dei serait imaginaire et la formule (9) ne serait plus applicable ; cela provient de ce que l'équilibre n'est plus possible. Alors le liquide tendra par l'attraction de la paroi à s'y élever et à y former une couche excessivement mince ; le liquide n'aura qu'à vaincre sa pesanteur qui sera très faible et le frottement contre la paroi qui pourra avoir une valeur sensible. Le tube liquide excessivement mmce qui s'élève au-dessus de la surface du liquide devra être substitué dans la théorie précédente à la paroi même. On devra donc faire B = E, et par suite
cos/— 1;
DES PRINCIPES DE LA THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ. If)
ainsi Tangle / est nul et la surface du liquide est tangente à la paroi. Tous ces résultats cessent d'être exacts, si C et D, comme il est vraisemblable, ne sont pas négligeables devant B et E; alors il faut adopter la formule (8). La limite où l'expression (8) sera applicable aura lieu quand cosi sera égal à i ou
(lo) E = B hC-^I).
Ainsi, à cette limite, la surface du liquide est tangente à la paroi.
Quand on aura
la valeur de i donnée par la formule (8) sera imaginaire ; mais on devra concevoir qu'une couche liquide excessivement mince s'élève au contact de la paroi. Désignons par E' la quantité analogue à E et relative h Tattracthon de la couche liquide sur le liquide intérieur et par Cet D' ce que deviennent C et D, quand on substitue la couche liquide à la paroi. Les quantités C, D' seront évidemment très petites. En remplaçant E, C, D par E', C, D' dans la formule (8), nous aurons
. ?.E'~B — 'îD'
Or il est aisé de comprendre que l'angle i doit rester nul, comme dans le cas où a lieu la formule (lo); car le liquide du ménisque et celui de la couche ne forment qu'un même liquide dont la surface ne doit point contenir de parties angulaires. Ainsi E' satisfera à l'équation
11. On peut, par la considération de l'angle de raccordement, démontrer que les actions moléculaires ne s'exercent qu'à une distance excessivement faible. A cet effet, Quincke déposa sur la surface du verre des couches extrêmement minces de différents corps, et il constata que l'angle de raccordement d'un liquide déterminé avec ces corps ne varie pas quand l'épaisseur des couches surpasse des quantités extrêmement petites. Par exemple, pour le mercure, voici les couches trouvées suffisantes :
o™'",oooo48 de sulfure d'argent, o™™,oooo59 diodure d'argent.
r.llAPITIlE I,
Ces nombres indiquent l'ordiT de îj;pandcur des distancres luixquelles s'arrêtent les actions moléculaires.
Siir (les prc'ra niions à premirr dons V appliral'tnn <ln prini-îpe fies vitesses virtuelles.
12. Si, dans un déplacement virtuel du liquide, la courbure de hi surface libre i change d'une quantité finie, même seulement sur une étendue infiniment petite de cette surface, mais de longueur finie, la quantité s, quoique très petite, étant finie, le raisonnement qui a servi à démontrer {n" 3) que la quantité
SS|^/y,'i(/0
subît une variation proportionnelle à relie de la surface du liquide n'est plus applicable.
On voit de la même manière que la variation de cette quantité n'est pas proportionnelle à celle de la surface du liquide, si, dans la déformation de la surface libre i, l'angle du liquide avec la paroi change d'une quantité finie. Dans le même cas, la variation de la quantité
SSn^M1>(ll)
I tu, ii étant la surface du liquide en con-
ne sera pas proportionnell< tact avec la paroi.
Kn résumé, dans l'application du principe des vitesses virtuelles, il faut avoir soin de ne considérer que des déformations de la surface libre du liquide, dans lesquelles les angles du plan tangentà cette surface avec les trois plans de coordonnées subissent des variations infiniment petites.
Supposons, par exemple (Jîg. i), un tube capillaire parfaitementcylindrlque à son intérieur et la base rectangulaire sur le cylindre intérieur. Un liquide qui y est renfermé descend jusqu'à la base du tube, en formant une surface concave tangente au cylindre intérieur. Or il n'est pas permis de donner à tout le liquide un même déplacement virtuel th de liant en bas. En elfct, après ce déplacement, l'angle de la surface du liquide avec le tube, qui était égal à zéro, devient celui de la surface du liquide extérieur avec la base du tube, c'est-à-dire égal à
un angle droit. Il en résulte que la quantité (2) subit une variation qui n'est plus proportionnelle à Sû; cette variation doit même être considérée comme indéterminée, parce que SA est infiniment petit par rapport à e et que la loi de la fonction <!> (R) est inconnue.
riç. 2.
Uf
13. 11 n'est pas inutile de donner un second exemple pour mieux justifier les réflexions qui précèdent.
Supposons une paroi plane qui retienne un liquide, et calculons la force produite par la capillarité sur cette paroi ; cette paroi a d'ailleurs une inclinaison quelconque sur l'horizon et le liquide la rencontre suivant une droite horizontale /. Donnons {/ig. 3) à tous les points de
Fig. 3.
la paroi plane AB des déplacements virtuels rectilignes, égaux, parallèles et de grandeur égale à Vi; nous supposons SA oblique à la paroi, mais perpendiculaire à la ligne /. La paroi plane vient ainsi de AB en A'B'.
On peut supposer que le liquide s'étend a l'infini du côté de R, en sorte qu'il ne s'abaissera que d'une quantité négligeable. Conformément à ce qui vient d'être dit, nous devons supposer que dans ce mou-
vement le liquide ne subit pas un changement fini de courbure, et que l'angle de raccordement sur A'B' soit i comme sur AB, à un infiniment petit près. Prolongeons donc la surface aR jusqu'en a' de manière qu'elle fasse avec la paroi A'B' un angle qui diffère infiniment peu de i. Supposons que al représente SA et aE la perpendiculaire commune aux deux plans. Désignons aussi par P la somme des composantes suivant la des forces appliquées à la paroi et par y l'angle a'al. Appliquons le principe des vitesses virtuelles; nous aurons
en désignant par /la largeur de la paroi; nous avons ensuite
siuY
sm£
Nous avons
N — — Mcos/,
et nous en concluons
M 8(T -+- Noû = M/cosY 8/;.
tjzdrsj dans l'équation (a), correspond à la pression hydrostatique qui a lieu en dehors des forces capillaires; nous obtenons donc pour la composante de la force capillaire suivant la
/,'pM/cosY.
On en conclut que la paroi est sollicitée par une force normale à /, tangente à la surface du liquide et égale à ^pM par unité de largeur.
Il est aisé de voir qu'on arriverait à un résultat différent et inexact, si l'on eût appliqué le principe des vitesses virtuelles en prenant autrement l'accroissement de la surface libre du liquide. Si, par exemple, on prenait cet accroissement suivant al au lieu de le prendre suivant oa", on aurait
