KLÉVATION OU DÉPRESSION D'UN LIQUIDE AUPRÈS D'UNE PAROI

Equation aux différences partielles de la surface du liquide.

1 . Les rayons de courbure principaux d'une surface sont donnés par l'équation du second degré

{rt — 5«)R*— [(i 4- />*) ^ 4- (i 4- 7')/' — 2/?75] v/i -+-/>- 4-7' R 4- (14-/^*4-7*)* = 0,

en posant

dz dz d^ z d}z d^z

dx^ ' dy ' r/.r' ' ' ~~ dx dy ' dy'^

En établissant cette équation, on regarde les rayons de courbure principaux comme positifs ou négatifs, suivant qu'ils font un angle aigu ou obtus avec les :; positifs. D'après cette équation, on a, pour la somme des inverses de ces ravons de courbure,

I I (i H-/>*)^ 4- (t 4- 7')/* — 'y.pq^

Désignons par a^ la quantité positive représentée par M dans le Chapitre précédent; alors l'équation de la surface capillaire (n**8)

deviendra

Nous rappelons que l'axe des 3 est vertical et mené de bas en haut.

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 27

Dans l'équation (i), R et R, sont supposés positifs ou négatifs, suivant que ces rayons de courbure sont dirigés vers l'extérieur ou vers l'intérieur du liquide (Chap. I, n"8). Si donc l'un des deux rayons de courbure est extérieur au liquide et fait un angle aigu avec les z positifs, les valeurs de ?> H- ïr» calculées des deux manières précédentes,

ont le même signe, et l'on a bien l'équation (2). Il en est de même si l'un des rayons de courbure est intérieur au liquide et fait un angle obtus avec les 5 positifs. Dans les cas différents des précédents, il faudrait changer de signe le second membre de la formule (2).

Un tube étant plongé dans un liquide indéfini, cette équation conviendra également à la surface du liquide intérieure au tube et à celle qui lui est extérieure. La constante h sera donc la valeur de z pour la surface de niveau, c'est-à-dire pour la partie de la surface du liquide assez éloignée du tube pour qu'elle puisse être considérée comme plane. En effet, en les points de cette surface, R etR, seront infinis et l'équation (i) se réduira h z = h.

2. Si la surface du liquide est de révolution autour de l'axe des r, prenons, au lieu de x, y, des coordonnées polaires, en faisant

r sera la distance de chaque point à l'axe de révolution, et l'on aura

dz ^ dz X dz dz y

dx dr r dv dr r

d^z d^z X* dz y* d^z d-z xy dz xy

dx* dr* r* dr /' dx dy dr* r* dr r^

d*z d*z y* dz x*

dy* dr* /* dr r^ ^

on obtiendra donc, au lieu de l'équation (2), la suivante :

d*z i dz

Mm,

dr* r dr , ,...,.

hmi

On aurait pu former immédiatement celte équation en remarquant que

28 CIIAPITUE II.

les deux rayons de courbure principaux d'une surface de révolution sont le rayon de courbure du méridien et la grandeur de la normale à ce méridien, terminée à Taxe. On peut donc poser

\''^(rh') / /dry

(Ir^

et il en résulte l'équation précédente.

Poids du liquide soulevé dans un tube cylindrique par l* effet

de la capillarité.

3. Supposons d'abord un tube vertical plongé dans un liquide, et calculons la formule donnée par Laplace pour déterminer le volume du liquide soulevé dans ce tube, en suivant l'analyse de l'illustre géomètre.

L'équation (2) de la surface du liquide peut s'écrire ainsi :

^x (ip / ov (f^i f <^h^ ^^i\

ou encore

Posons, pour abréger l'écriture,

et cette équation devient

' dx dy a*

Multiplions celte équation parrter/vet intégrons ensuite les deux membres, en étendant l'intégration à toute la section du cylindre; nous

ÉLÉVATION OU DÉPKESSION d'uN LIQUIDE AUPIIÈS d'uNE PAROI. 20

aurons

Considérons la première intégrale double; on peut d'abord y effectuer l'intégration par rapport à x, et l'on a

dï

^^'j dx ^^^' ~ ^ * ^^^' "" ^''^•' '

les indices o et i indiquant qu'on prend la quantité T pour la plus petite et la plus grande valeur de x correspondant à une valeur de y. Cette formule donne la partie de l'intégrale double relative a une bande de largeur dy et parallèle à Taxe des x.

Désignons par v l'angle de la normale au contour s de la section droite du cylindre avec l'axe des Xy la normale étant menée extérieurement; désignons aussi par c&,, ds^ les arcs infiniment petits du contour qui terminent la bande; nous aurons

dy ziLi dsi cos r, , r/j ii= — ds^ cos i*u,

dsQ, ds^ et dy devant être regardés comme positifs. Nous avons donc

1 / -.- dx dy = / T cos v ds,

l'intégrale simple s'étendant à tout le contour de la section.

Nous pouvons transformer de la même manière la seconde intégrale double. Nous aurons d'abord, en intégrant le long d'une bande infiniment étroite, d'épaisseur dx et parallèle à l'axe des j,

/dV -— df = V, dx — Vo dx.

les indices ayant un sens analogue a celui qui a été indiqué ci-dessus, et, comme nous avons

dx -— dsi sin t^i, dx :— — ds^ sin i»o,

ds^, dSf étant les arcs qui terminent cette bande, il en résulte

/ / — - dx dy ~ / V sin c ds.

3o CllAlMTriE H.

Le premier membre de réquation (/i) devient donc

l'intégrale s'élendant a tout le contour de la section.

Les cosinus des angles de la normale à la surface du liquide, menée intérieurement au liquide, et de la normale à la paroi menée dans cette paroi, sont respectivement

cosc, sinr, o;

or cet angle des deux normales est précisément celui qui est désigné par i au n** 9 du Chapitre I ; on a donc

y^eosr -H <7sint^

- — ' =cos/,

et, comme < est constant tout le long du contour, on a

yVcost' -h^sinr , r, ,

^ ' a5 = cosf I cis=z Icosi,

en désignant par / la longueur de ce contour. Nous avons donc

/ / ( ^ — h) dx cif ^=2 a- 1 cos £.

La quantité h représente la coordonnée z pour la surface de niveau ; le premier membre est donc égal au volume V du liquide soulevé dans le tube au-dessus de cette surface et l'on a

(5) V = a'/cosi.

Gomme nous avons posé (Chap. I, n** 8)

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 3l

il en résulte aussi la formule

^pV— ^- H-CWcos/,

qui exprime le poids du liquide soulevé dans le tube. On voit que ce poids est proportionnel au contour de la section droite du tube.

Si l'angle i est obtus comme pour le mercure dans un tube de verre, la formule (5) donne pour V une valeur négative et indique la dépression du liquide dans le tube.

4. Supposons ensuite le tube capillaire incliné et faisant Fangle a avec la verticale [fig. 4)«

Fig. 4.

Soit G le centre de gravité de la section AB faite dans le tube par le plan de niveau du liquide. Menons par le point G la section droite A'B' du cylindre; soit G y Tinlersection de A'B' par le plan AB; menons les deux autres axes rectangulaires Ga?, G5; puis, dans le plan xGsy menons Gz' parallèle aux génératrices et Gx' rectangulaire sur Gz'.

D'après l'origine prise pour les axes, on a A = o et l'équation de la surface du liquide dans le tube est

[pcf^y^z') étant les coordonnées d'un point de la surface du liquide par rapport aux axes Gx\ Gj, G^ , on a

5i=5'C0Sa -l-.r'sina.

Remplaçons z par sa valeur dans l'équation (a), puis multiplions ses

K "^ Ui

deux membres par dx'dy' et intégrons dans toute l'étendue de la section droite A'B'; nous aurons

{b) cosolJ J z'fh fiy r- ^mifCx'^iv'dy^a'*- f ((^^ r ^\l.i'dy.

Si le tube est capillaire, la coordonnée z' sera à très peu près la même en tous les points du bord du ménisque liquide (toutefois, par exemple, B'F sera plus grand que A'E dans un tube circulaire). En admettant cette égalité, ce qui ne produira qu'une erreur très faible, on aura, d'après le calcul du numéro précédent,

En désignant par V le volume soulevé, on a

f fz'cU'dy^X - volAGA' -h volGBB'z= V;

car, le point G étant le centre de gravité de la section AB, on a

volAGA -voiriBB' = o;

pour la même raison on a

Ç Cx' dx'dy -o.

D'après tous ces résultats, la formule [h] devient

V cos oLz=z a-l cos i.

Le volume soulevé varie donc en raison inverse de cosa, a étant l'angle des génératrices du lube avec la verticale.

Le théorème donné par la formule (5) peut être étendu au liquide soulevé dans l'espace compris entre deux tubes verticaux. II est en effet aisé de voir que le raisonnement qui a conduit à cette formule est entièrement applicable. Supposons que les deux tubes soient de même matière, en sorte que la quantité i soit la même pour les deux tubes. Alors, en désignant par / le contour de la section droite du cylindre intérieur du tube extérieur, et par /' le contour de la section droite du cylindre extérieur de l'autre tube, on aura pour le volume soulevé entre ces deux tubes

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 33

Élévation ou dépression d'un liquide auprès d'une lame verticale^

plongée dans ce liquide.

5. L'axe des z étant toujours supposé vertical et mené de bas en haut à la surface de la plaque dont la largeur est supposée indéfinie, ou du moins assez grande pour qu'on puisse négliger ce qui a lieu aux extrémités, menons l'axe des y horizontal dans la surface de la plaque, et l'axe des x perpendiculaire à cette surface. Le liquide affecte alors la forme d'un cylindre de révolution dont les génératrices sont parallèles a l'axe des y. La coordonnée z étant indépendante de y, l'équation de la surface du liquide devient

En intégrant, on a, G étant une constante arbitraire,

Si nous comptons les z à partir de la surface de niveau» h sera nul et,

dz dx

dz

pour 3 = o, nous aurons -^^ = o et par suite C = i . Nous obtenons donc

Il en résulte

. , iiàr — z^\dz ±idx^=z —

et, en intégrant, on a

(B) ±d7 = y/4«'— ^'-+-«log hconst.

D'après cette formule, pour z^o, x sera infini ; la surface du liquide

3^ CIIAPITUE II.

est donc asymptotique au plan des x, y. Toutefois, à une petite distance de la plaque, cette surface sera h très peu près plane et horizontale.

I étant Tangle de raccordement de la surface du liquide avec la plaque, la formule (A) donnera, pour la hauteur h contre la lame,

sinz— I ,, Il = ±:a v^2(i — sini) = db aasin (7 )»

le signe :±: ayant lieu suivant que le liquide s'élève ou s'abaisse contre la plaque.

Si le liquide mouille le luhe, on a 1 = o, et il s'élève contre la plaque à la hauteur a V^2.

Si la lame est inclinée {fig. 5), désignons par v l'angle EBF de cette

lame avec l'horizon BF; menons la tangente EH à la section droite EA: le premier membre de l'équation (A) est égal à cos EHB ; on a EIIB = ^ — 1, et l'on déduira de l'équation (A), pour la hauteur verticale contre la lame,

hi:^ia sin

G. Hagen a vérifié que la hauteur à laquelle l'eau s'élève contre une lame verticale au-dessus du niveau est indépendante de la nature de cette lame, pourvu qu'elle ait été au préalable convenablement mouillée par ce liquide. En prenant de Teau distillée ou de l'eau de fontaine, il a trouvé, pour cette hauteur, quand la surface de l'eau est fraîche,

d'où l'on déduit «^ = 6,1. Mais cette hauteur décroissait assez vite et descendait à 3'"", 09, ce qui donne a^ = 4»77- Le nombre 6,1 , comme nous verrons plus loin, est trop faible, ce qui prouve que l'expérience qui a donné ce nombre n'a pu être conduite assez rapidement.

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 35

Hagen, ayant mesuré par l'expérience les ordonnées de la courbe capillaire, provenant de l'immersion d'une lame de verre verticale, a trouvé :

J7=zO°>",00, 0"",70, I™"»,42, 2™", 12, 2™™, 8/4, 3°*°»,54, A""*» 2^, 5""», 26, 7"™,o6,

z:= 3"™,o9, i™™,58, i"",io, o"°»,77, o™'°,54, o"»°»,4i, o"»",27, o°*™,i6, o"",o9,

qui sont très conformes à la formule (B), en prenant a^ = 4,77*

Élé{>ation ou dépression d'un liquide entre deux plaques fixes, planes,

verticales et parallèles y qui y sont plongées.

7. Supposons deux lames planes, verticales, maintenues fixes et parallèles; nous les regardons encore comme très larges. La figure de la surface liquide en dehors des deux lames a été obtenue ci-dessus; il reste à déterminer cette figure h l'intérieur des deux lames.

Mettons l'origine des coordonnées sur le plan de niveau et l'axe des x perpendiculaire aux plaques; alors l'équation de la surface du liquide sera, comme au n** 5,

En intégrant, on obtient, C étant une constante arbitraire,

.\ni '-^

dx =

et la dernière intégration conduit à des intégrales elliptiques.

Mais reprenons la question autrement. Menons la section droite de la surface cylindrique du liquide, et désignons par ç l'angle de la tangente avec un plan horizontal. L'expression du rayon de courbure

ds

sera j-> rfy étant rélénientde la courbe et l'équation (A) deviendra

On a d'ailleurs

ds a*

dz

dx 7h

= COSç.

Différentions l'équation (B), nous aurons

ds

i = -,sin(p,

et, en intégrant,

(C) KS)=i(C-cos,).

C étant une constante arbitraire. On en conclut

ds =

do

dx—^

sli v^C — coso' a cos cp do

dz

\/2 V^C— COS-p

a %\no do

V2 v^C — cos^

8. En premier UeUf supposons que le liquide s'élève contre chacune des lames prise isolément. Faisons passer l'axe des z par le point le plus

Fiff. 6.

bas de la courbe, et mettons l'axe des a? sur la surface de niveau (y?^'. 6). Désignons par z^ la coordonnée :; du point le plus bas; nous avons, pour z = Zq,

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 37

ri

Égalant les valeurs de ^ fournies par les équations (B), (C), on a et

(E) z^ = n\JÔL\J(r^.

Soient e, e' les distances de l'axe des z aux deux lames, et soient i, i' les angles de raccordement TME, T'M'E'. Pour a? = e, nous aurons

ç = I et, pour X =z — e\ <f= \- T.

En intégrant la formule (D), on a

V^ \ Jo V^ — C0S« Jo /

Pour donner à ces intégrales elliptiques la forme canonique adoptée parLegendre, posons

nous aurons

C — cos<p = Ch-cos24' = C-h I — Qsin'^'^CC h-i) ( i— 7^ sin*4/ j-

D'après la formule (E), C est > i; si donc on fait

k sera < i et l'on aura

Pour a: = e, on a 9 = - — let, par suite, ^ = ^ 4- -; on en conclut la première de ces formules

J% I V * — /:*sin*4^ '^ Jy, i

Jx e yi — A:*sin*4/ ^ *^« »"

la seconde se déduisant de la première en changeant les deux quantités e, ien e\ i'. En ajoutant ces deux équations et remplaçant e -h ^'par /, on obtiendra une équation qui ne renfermera plus que l'inconnue k. Si l'on en déduite, on aura ensuite e et e' par les mêmes équations, puis on aura, pour la hauteur du point le plus bas,

et, pour les valeurs de z sur les lames,

«V^i/^— ' — sin/, «V^i/|i— ' — sinf.

9. Dans le cas particulier où 1'= i, on a ^ = - et>t est déterminé par l'équation suivante :

Supposons que la distance entre les deux lames soit très petite et cherchons à calculer ^ au moyen de cette formule. La distance / étant très petite, la hauteur z^ du point le plus bas de la section deviendra très grande par rapport à a, et il résulte de la formule qui détermine z^ que le module k sera très petit. Nous pourrons donc développer le second membre de la formule (F) suivant les puissances de ^, en négligeant les termes multipliés par^*.

Nous aurons

Prenons ces intégrales entre ^ 4- - et -> puis substituons dans (F),

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. '^C)

nous aurons