H'O + OT °U
ou enfin
(fo du>
d Lrsii 2c J jd —
rsin(0 — w) — c r sin (0-foo) — c
rcos(0 — (o) d — rcos(0-f-
Telîe est l’équation qu’il s’agit d’intégrer.
Or, on voit d’abord que
P r sin (0 — a)
) d — r cos et que
r sin (0 + w)
)d — r cos (0-)- w Les deux ensemble font donc
t/w = — log [d — r cos (0 —
doi = log [ d — r cos (0 + w)
. Vd — rcos(0 + w)l
\d — rcos(0 — w)J
( r[cos(0 — to) — cos(0 + a))]
^ — rcos(0 — w)
Ou, comme cos (0 — w) — cos (0+w) =2 sin 0 sin w et
IM THÉORIE I)E LA DISTRIBUTION
que r cos (0 — w) esl négligeable devant d , on a :
, . 2rsin6sinü>\
log (1 + — d — )•
En développant ce logarithme en série et remarquant que 2r sin 0 sin w est très-petit par rapport a d, on a :
2rsin0sinw\ 2rsin0sinu>
d ) = d et
d T Ç rsin(0 — w) r* y* sin (0 -|- o>) ~|
2cLjd — r cos (0 — ü>) W ^ — r cos (0 -f- wj J
— - sin 0 sin (o.
D’un autre côté
2c a -r—r cos
2 — 2 — cos (0 — w) d
r cos (0 — w)
Mais est négligeable devant l’unité. On
peut donc poser
2c d — rcos(0 — w) 2
Pour la même raison on peut poser
2c d — rcos(0-f-w)
L’équation (2) devient alors
dca J 1 1 rsin(0 — w) rsin(0-f-w)
doi 2 2 2c — rcos(0 — w) d— rcos(0-j-o>) ’
En réduisant et intégrant comme il vient d’être dit, on a donc, en appelant C une constante :
Pour déterminer la constante C, il suffît d’observer que l’angle a, formé par la corde CCt, de la coulisse avec la verticale est nul, quand w = 6, c’est-à-dire quand les deux rayons d’excentricité, OD et OD^ sont également inclinés de part et d’autre de la verticale, d’où résulte C = 0, et on a définitivement :
a = - sinO sin w.
Pour obtenir l’angle a, nous avons supposé, comme sur la fig. 1, les barres d’excentriques droites , c’est-àdire que l’excentrique OD de la marche en avant était relié au haut de la coulisse au point C. Si les barres .d’excentrique étaient croisées, c’est-à-dire si l’excentrique de la marche en avant était relié au point C1? on pourrait procéder exactement de même pour déterminer l’angle a. Mais on peut le trouver de suite en changeant c en — c, ce qui donne :
(4) a = — -sinôsmto.
Les formules (3) et (4) font voir que, dans tous les cas, l’angle a est nul pourw = 0 et w = 180°; que cet angle atteint son maximum quand io = 90°; que, pour deux valeurs de w, différant de 180°, a a des valeurs égales et de signes contraires; que a redevient le même pour deux valeurs de w également distantes de 90°; que a varie, toutes choses égales d’ailleurs, proportionnellement au rayon d’excentricité et au sinus de l’angle 6 et en raison inverse de la longueur de la coulisse; enfin, que cet angle est indépendant de la longueur des barres d’excentriques, pourvu que celte longueur soit assez grande.
Il s’agit maintenant de voir comment l’on pourra déterminer la marche du tiroir. Supposons don c, fig. 2,
THÉORIE DE L\ DISTRIBUTION
celui-ci mené par un point G quelconque de la coulisse et soient CU = u et OU = &.
J’observe de suite que la verticale CI=w cos a. Or, je dis que l’on peut remplacer cos a par 1 , car 1 — cos a
est et — * est toujours négligeable, comme on
peut s’en assurer. On peut donc prendre simplement u à la place de Cl. Maintenant, il est facile de voir, par des projections, que
x = r cos (6 — <*>)-)- ^ d2 — [u — r sin (0 — u)]2 — u sin a. Or
[u — r sin (0 — to)]2
sin (0 — w)]2 | ^
\j d2 — [u — rsin(0 — w)]?=r^ | [u — r
[u—r sin (0— w)]2 .
car la fraction - ^ — est assez petite pour
qu’on puisse négliger, dans le développement en série, son quarré et ses puissances supérieures. Donc
\d2 — [u — r sin (0 — œ)]2 = d — — -f- — sin(0 — ou),
Au. Cl
en négligeant encore le terme
2rf
sin2(0 — 'w).
Il reste à former le terme itsina. Mais on peut le remplacer par wa, car
on supposant que le système soit celui des barres d’excentriques droites. On a donc, dans ce cas :
UT UT
x = r cos(Q — w)-]-rf — — + — sin (6 — co) — sinO sinco.
Le rayon de fabrication de la coulisse doit, comme on l’a vu, être égal à d. Donc la flèche UG, qui est toujours
très-petite, est très-sensiblement égale à On a
donc :
UT' ÙV UT
OG —x-\- — = t cos (0 — i*>)+o?+ — sin (0 — co) — — sin 0 sin co
et
OG
XiT
d = r cos (0 — co) — | — - sin (0 — co)
ut . .
— sin0 sinco.
Pour deux valeurs de co, différant entre elles de 180°, on voit que les valeurs de OG — d sont égales et de signes contraires. On voit donc, comme cela a été dit précédemment, que, si l’on prend OT = d , le point G de la coulisse oscille symétriquement de part et d’autre du point T et que ces deux positions symétriques répondent toujours à deux angles différant entre eux de 180°. Faisons donc OG — d = L Nous aurons
UT UT
(5) \ = t cos (0 — co) + -j sin [0 — co) — sin0 sin co,
formule qui donne, pour le cas des barres droites, la marche du tiroir, pour les différents crans de la marche en avant. Elle les donnera bien aussi pour les crans de la marche en arrière. Mais pour la marche en arrière, u varie depuis c jusqu’à 2c, tandis qu’il varie seulement depuis 0 jusqu’à c pour la marche en avant. Or il vaut mieux faire en sorte que u soit le plus petit possible,
petite erreur que peut présenter sin a ou a, soit multipliée par une plus petite quantité. Or il est très-facile d’y parvenir. 11 suffit de regarder OU (fig. 2), comme la projection de OD^U, et l’on obtient de suite, pour les différents crans de la marche en arrière :
UT* \lïl
(6) k=.r cos (0 — J- w) — j— — sin (6 -j- to) -| sin 6 sin to.
Dans cette dernière formule, u est comptée b partir du point Ct, au lieu de l’être b partir du point C.
On trouverait de même, lorsque le système est celui des barres croisées, pour la marche b l’avant :
UT UT
(7) \ = rcos (6 — to) — •— sin (6 — to) sin6 sinto,
et, pour la marche en arrière,
UT UT
(8) \ — t cos (0 -J- w) — — sin (ô — {— o>) — | — - sin 6 sin to.
tï c
Maintenant, si l’on observe que, dans la marche en arrière , la rotation s’effectuant en sens inverse, to change de signe, on voit, en changeant le signe de w dans les deux formules (6) et (8) qu’elles se confondent, la première avec la formule (5) et la dernière avec la formule (7), de sorte qu’il n’y a, a proprement parler, que deux formules différentes: l’une, qui est (5), répondant au cas des barres d’excentriques droites, tant pour la marche en avant que pour la marche en arrière , et l’autre la formule (7), répondant également, pour la marche en avant ou en arrière, au cas des barres croisées.
Les formules (5) et (7) peuvent servir a résoudre toutes les questions que l’on a habituellement b se proposer. Elles montrent que, dans tous les cas et quel que soit le cran, la coulisse oscille de part et d’autre d’un point
situé a une distance d de l’axe O et que toujours deux positions de la coulisse, à égale distance de ce point, répondent a deux angles de la manivelle , différant entre eux de 180°. Si donc on marquait la verticale FF' passant par le milieu de la course du tiroir, le tiroir oscillerait de part et d’autre de FF' ( fig . 3), et ses positions symétriques de part et d’autre de cette droite répondraient à des angles différant entre eux de 180°.
Si donc on place le tiroir lui- même symétriquement par rapport a FF', les lumières L et L' devront aussi être symétriques par rapport à FF', afin que les positions symétriques du tiroir par rapport à ces deux lumières aient lieu pour des angles de la manivelle différant entre eux de 180°. Il est donc clair que quand le tiroir est dans la position de la fig. 3, il sera au milieu de ses oscillations et que le point de la coulisse, qui mène le tiroir, sera à une distance d de Y axe moteur ou qu’on aura fj — 0. Il résulte de l'a que les valeurs de £, données par les formules fondamentales (5) et (7) représentent le chemin parcouru par le tiroir (*) , à partir de sa position moyenne, indiquée sur la fig. 3, £ étant positif, quand le tiroir s’est éloigné, dans le sens de la flèche, et négatif, dans le cas contraire.
11 ressort encore des formules (5), (6), (7) et (8) une autre propriété très-simple et fort utile. La voici. On peut toujours mettre ces quatre formules sous la forme
\ = A cos co + B sin w.
(*) Quelquefois le tiroir, au lieu d’être mené directement par la coulisse, l’est, comme dans les machines mixtes du chemin de Lyon, construites par M. Gouin, par un levier oscillant autour d’un axe, mû lui-même par la coulisse par un autre levier. Dans ce cas, les courses du tiroir sont données par les valeurs de Ç multipliées par le rapport des deux leviers.
THÉORIE DE LA DISTRIBUTION
A et B représentant des coefficients qui ne varient pas avec ü>, que l’on peut former très-facilement et qui varient d’une formule a l’autre.
Si l’on voulait chercher l’angle de rotation répondant a une position donnée du tiroir, c’est-à-dire à une valeur donnée de £, c’est alors w qui serait l’inconnue. Remplaçant donc :
