IV. On démonti-erait de la même manière que si l'on avait

nt^»r(»-H-+- — ^^ — -l'erreur serait plus grande que la moitié du

terme auquel on s'arrêterait et pltts petite que la moitié du terme suivant.

V. Des principes que nous venons de démontrer, il résulte que \ m étant plus petit que na +-, si l'on prend d'une manière approximative

logr(! + o)=-log2»ra + a(loga — 1}-»-j-^-g-^j

2 (2m- 3)(2« — 2)a«— »' on bien

logr(l+a)=-log2jro+a(iog 0—1)4

Le ternie à ajouter pour rendre ces valeurs exactes aura toujours le même signe que celui du dernier terme. L'une de ces valeurs sera donc toujours plus grande et l'autre plus petite que la valeur véritable de logr(l ■+■ a), et l'erreur sera dans les deux cas moindre que

2 \(^m — 3) (2m — 2) o»— " (2m — 1) -im.a*-^)

puisque c'est la difTërcnce entre ces deux valeurs de log T(l -i- a) entre lesquelles se trouve la valeur véritable.

27. Calcul numérique de l'erreur possible quand dans la formule de Slirling, on prend pour m le plus grand entier contenu

dans JtŒ -(■ -■ RepreDOns l'intégrale -l -; ^iog-. : — qui exprime le

terme sommatuire de la série de SlirliDg, ou l'erreur commise en g'arrélanl à un terme de certain rang.

Appelons cette erreur E. Remarquons maintenant que si l'on re< présente par a une quantité qui peut varier entre et i, on a constamment pour toute valeur positive de x,

on en conclut

dx log -

posons donc m^wa — â~''^> ^ pouvant varier entre et 1, et nous aurons :

r(2.»H-2fe-2.)

Or, comme <z est arbitraire, et contenu entre les mêmes limites que h, posons a = h, il viendra

Or on a (26, 1) :

log r(l + a-X i log 27ra' ^ «' (log «' 1) + J-, . D'où

et par conséquent

log r{2»ra)< ^ log Stt + Affo -| j log ÏTia — â«a +-^^ £t passant des logarithmes aux nombres :

r(2»o) < (/S(2ito)"'""'" (""" e*"5^.

D'aulre pari, on a, d'après les valeurs de A^„^ et A,,

(2,)"-' itcomme

A l'aide de ces formules, on trouve facilement

Cette expressioD se prête très facilement an calcul par logarithmes, et permet d'apprécier la plus grande approximation qui peut être obtenue pour une certaine valenr de a. Ainsi pour a ^ 9, on reconnaît aisément que ^ <C ( 77: ) ' ^'o^i ^u prenant pour m le plus

grand nombre entier contenu dans ira + -) c'est-à-dire le nombre 16, on est certain d'avoir les log de T[a), k partir de a= S avec quatorze décimales exactes. Pour a=:10, on verrait que E <( — l >

on n'aurait donc point d'erreur portant sur la vingt-builième décimale, en prenant m ^ 51,

D'après cela , il est visible que la formule de Slirliog, quoique non convergente, peut servir à calculer lelogr(a), quel que soit a, avec tel degré d'approximation qu'on le désirera : car il sufBra de calculer log r(o -t- n) , » étant assez grand pour pouvoir obtenir l'approximation demandée. logr{a + n) étant obtenu, on en déduira sans difficulté log l{a), d'après la première propriété des fonctions T.

% 3. De quelques FOnaUlES qui DOnHEUT un DdVBLOPPEIEHT DE LOG T(l + a) EN SËfllB COArEAGENTS.