I. 38. Reprenooa la formule

Iogr(l +a) = -log2iro -t- o(loga — i)-4- »(a)

et mettons &{a) sous la forme suivante :

^0 a; f—i JO X I — e-'

Or, en partant de la formule

on obtient facilement, n étant un nombre entier,

Et nous pourrons faire converger n vers l'inSoi, si les deux membres convergent tous deux vers une limite finie et déterminée. Or, le premier membre converge vers â{a) comme il est facile de le faire voir. Quand au second, il faudra faire voir que la série

est convergente. Or, od y parvient très facilement, car on a

Or, si l'on remarque que dans le second membre, est toujours plus petit que l'unitë, on aura

et par suite

(« * "--l) '»« * ïtt) - ' <3-:ii^+ 64^ ■

d'où

r^ao

ctaDt tous les deux eoQvergenta pour toute valeur positive de a,

le sera, 'et par coDséqueot

Cr(""*"'"0'°''0-*'^')-''

on aura donc rigoureusemeDt pour toute valeur positive de a plus grande que

Et par conséquent

logr(l -.- a) = glog 2to + a (loga — i)

II. 29. De celte formule, oq en déduit une autre qui procède suivant un nombre infini de séries infinies. Supposons d'abord que a soit plus grand que 1 , en remarquant que pour toute valeur de r depuis Jusqu'à l'infini

on aara pour toute valeur de a supérieure i l'uDité

D'où on déduira la valeur de logr{i -i- a)

logr{l-i-a)=-log27ra-i-a(loga-l)+-2^2 0 {^TTjï

Série dont la convergence est certaioe pour a > 1 , puisqu'elle n'est qu'une déduction rigoureuse de la formule démontrée plus haut.

Si a était plus petit que 1 , au lieu de développer, comme nous l'avons fait

on ne développera que

et l'on aura

log^^-^a) = '-\oti^a^-a^loga-l)^.Ça-^'^\<^(i-^^-l

série dont lu convergence est certaine pour toute valeur positive de a. 111. 30. Puisque l'on a rigoureusement

et que

on aura

\ îi ^ «-'-+'+"• dx.

= Jo '^

Or, riotcgiale

Jq a:

s'obtient très facilement développée en série : en effet, en partant de la formule

X a^^La-S 1.2.3.4^1.2.3.4.8 J

B pour toute valeur finie de x, d'où

et l'on pourra poser » = « , si le second membre demeure convergent, or on a

)o (a4-r + i)-+< {«-vr+0-+*

Il viendra donc

la coarergence de la série du second membre étant évidente pour toute valeur positive de a. Ou eu tirera :

"'"' i^,S.3%^Q (" + ''+l)'*3.4%.0 ("-n'+fj" et par conséquent

iogr(i + »)iiog2.a+o(ioga-i)+i(^^2'^J jj:;:^:;:^

'•* r-O (" + r + l)convei^ente pour toute valeur positive de a(*).

(*) Cette formule a été donnée par H' Binet dans son Mimoin mr la iniign^ei Eulériennti {Journal de Vieolt polylechniqve, tome XVI).

IV. 31. Dans la valeur de â{a), posons {) —r"») = i/, oo aura facilement

Représentons par p„ la valeur du coefScieat

pjl-fiii^f) (»i-i-p:

nous aurons pour toute valeur de y inférieure à l'unité

(l-y)^ = l-p.î,-p.t,'-p,S' etc.,

multiplions par dp, et intégrons pai* rapport à p, depuis jusqu'à p, nous aurons

ll9tll=p-,fMP-,-fMf-»-fMP etc.

r dp, et intégrons eut

df\ f,dp-f\ df\ p,dp..

multiplions celle-ci de nouveau par dp, et intégrons entre Oel^; il Tiendra

1 L tl-#-l

Ces deux formules, nous donnent pour ^ = 1.

qui combinées ensemble donneront facilement pour < 1/ -C 1 ,

Avant d'aller plus loin , faisons remar()ucr que puisque d'après la valeur générale de P.,) l'on a

P..4-1 ^^*^ <loo<^ constammeot positif, aussi lODgteiops que ^ est compris entre et 1, de plus ^ étant compris dans ces limites, ^,4,,

reste inférieur à j; si donc vous représentez par k et k^ des

quantités comprises entre et 1, vous aurez

'■"•is^rr""''''

on en conclut que la valeur numérique de b. reste toujours infé-

1 i Heure à ■ On pourrait démontrer que 6« est toujours positif, dès que m = 2, mais cela est inutile pour l'objet que nous avons en vue.

La valeur de b„ peut du reste se mettre facilement sous la forme d'une intégrale définie simple, en remarquant que

D'où l'oa déduit

On trouve du reste très facilement pour les premiers de ces coëHîcients Ceci posé, on a rigoureusement: pour <5 < I, et par suite pour ces mêmes valeurs.

-l-l^-Ky'-Ky'-b.y j(i-s)-,

et l'on en conclut; s ëlant une petite quantité

Et l'on pourra poser e = 0, si les deux membres convergent tous deux vers une limite finie et déterminée. Or il n'y a pas de doute quant au premier qui converge vers ù (a) ; quant au second il faut

"■"'"laa *r^5-»-fl, •^4^-ffl, *r,5-i-ai

M h série da secood membre fst cooTcr^cnte pour toute vdcur poiitiie de m.

Or, oom panfiendroos facilement à le démoalrer en i que l'on a d'après la rormole de Stïriîag,

r(nn-i; <|/fc(iit -t- Ij" 'e-:--«e»*-*«',

D'où l'on lire par la ditision

r(m + 1 -t- o, ^ \»i -»- 1 + ay (M-t-l-i-o)"' '

Comme l'oa a conslammeot quelle que soit la valeur positive de a et de m,

de plua que la valeur numérique de 6* est constamment inférieure

69 — il viendra eo D'ayant égard qu'aux valeurs absolues

est toujours convergente si o^O, donc la convergence du second membre est démontrée, et l'on a rigoureusement pour toute valeur positive de a

La première propriété de la fonction r, donnant facilement

on aura

... irj__. *i^ ■ 1.2.3 1

Et par conséquent :

qui est rigoureuse pour toute valeur positive de a.

— ro —

Cette formule remai^oable a été donnée par H. Sinet dsas son mémoire sur les intégrales Eulériennes; elle y est démontrée pour a )> 1, M. Cauchy à qui cette démonstration est empruntée {') ne s'est pas occupé de la convergence de la série à laquelle on arrive.

V. 32. Toutes les formules précédentes ont été unirormément déduites de la valeur de û(a). Leur convergence était d'autant plus rapide que a était plus grand, nous allons au contraire en partent de la formule

trouver une série procédant suivant les puissances croissantes de a, et dont la convergence sera limitée au cas de a < 1 . En e'aidant de la formule

on démontre que

la convergence de la série du second membre se voyant immédiatement en remarquant que

11 en résulte que

dl.gr(.^,)__^^ ■-«/.__j Y do ^^1 \r a-\- r)

d'où l'on tire en dérivant plusieurs fois par rapport à a

(') Exercicei d'amUyit el (U phytigue maihémalique, lome II.

J-logHI-

-='-')'<'-^-' "-"Cr[(^]'

» étant UQ nombre entier au moins égal à 2.

Or, on a. d'après la formule de Taylor :

.(,.„p,„.ffi)„.Œ)....m„.^

^ l'oo pose F(l H- a) = logr(4 -4- a), en remarquant que l0gr(l)c=O, les fonnules précédentes donneront

La série du second membre sera convergente pour toute valeur de a inférieure à l'unité, en valeur absolue, et par conséquent pouf — 1 <a<^ + l. On peut lui donner une forme qui rendra la convergence plus rapide , en remarquant que a étant compris entre ces mêmes limites, on a

ee qui nous donnera.

logr(i*«

Cette formule nous donne logr[1 ■+■ x) en logarithmes népériens; pour l'avoir en logarithmes vulgaires, il faudrait multiplier tous les termes.du second membre ik ['exception de log (1 -i- a) par

Posons donc immédiatement

ril-C)-S',, |(S,-t)-.S' |(S,1)-S-

et en général pour des valeurs entières de n plus grandes que l'unitë

nous aurons

(«) Logr(l + a) = — Log(1 -t-oj + ffo + SV» — S'.a'+ff^o*

En se rappelant la deuxième propriété des fonctions F, on arrÎTera ftcilement à donner à celte formule la forme suivante

On trouvera dans Legendre (Exercices de calcul intégral, tome 11), une table de ces coefficients S', et de leurs logarithmes jusqu'à S',, (*). L'emploi de la formule (p) sera en général plus avantageux que celui de la formule [a), excepte dans le cas où a ayant une valeur extré-

un degré d'approximation suffisante.

(*) Ces coefficients y sont dëaignés par B,. Nous l«s dësignoos par S\ pour De pas coDfaadre cette netatiou avec celle des Dombre^ BeraouîtiieDS.