x^ -si-e-»^" „} j+x
{') M' Schaar est le premier qui ait aiosi dooDé la forme exacte du reste de la série de Stirling exprimé par une intégrale définie (mémoire déjà cité).
Or, remarquons que dans l'inu^grale- 1 — r— ^ — j — logr — — dx,
si je remplace au dûnominaleur t + x* par 1+x, ce changement n })Our effet de diminuer In partie positive de riotégralc, et d'augmenter au contraire ta partie négative; on aura donc :
d'oH
D>-\ j;'"-Mog- --dx \ x*"'-Mog- -i^J^>
et par suite
Et l'on voit que D sera posititir, si m n'est pas supérieur à ira + - -
On en tire immédiatement cette conséquence importante : L'erreur est d'autant moindre que l'on prend un plus grand nombre de termes aussi longtemps que pour te terme auquel on
s'arrête, on n'a pas m > ira -»- ■
Nous allons démontrer au contraire : que l'erreur recommence à croilre, et croit indéfiniment, dés que m atteint oti surpasue
no -1- J + ai„„^, ' " B'oif plus grand que 1 .
Nous aurons comme iirdcédcmment
-Or, remarquons que si dans la seconde de ces expressions, nous remplaçons au dënomtnateur — hx par 1 -t- x, nous augmentons
la partie positive de l'intégrale, tandis que nous diminuons la partie négative, nous aurons donc :
D'où l'on déduit
^r(2m — 2)A,„^, r(âffl — 1)A.„
Or, reprenons les valeurs de Ai„( et de Ai« , on a, m étant au moins égal à 2 :
D'où
D'autre part
nous aurons par conséquent à fortiori
Or, si nous supposons m ^ ira -i- 1 , il est évident que l'on a : donc
et il est visible que D sera négatif, dès que m sera égal ou supë-
rieup îma -t- i -t- ^^ i ce qui démontre la proposition que nous
avons avancée.
I) résulte évidemment de ce que nous venons de dire que, a étant
plus grand que 1 , si m ^ tto , les trois intégrales
seront rangées par ordre de grandeur, la première plus grande que la seconde; et la seconde plus grande que la troisième :
Que si »t> Tca -H 1 -t- âï ^a-i ' '^^^ ^^*>is intégrales seront encore
rangées par ordre de grandeur, mais dans un sens inverse, la première plus petite que la seconde , et la seconde plus petite que la troisième.
Od eo coQclut que pour obteair l'erreur minimum, il fattl prendre pour m un des nombres entieFs compris entre ira — -9 et
ira -H 1 + ^j j ■ S'il n'en tombe qu'un seul , ce sera la Valeur de m
qui donne l'erreur minimum. S'il en tombe deux, il y aura doutef); et dans le doute, il sera plus avantageux de prendre le plus grand
entier contenu dans ira + - •
26, Des limite» de l'erreur commise en arrêtant la série de Slirling à un certain terme.
I. Verreur est moindre que le dernier terme que l'on conserve, et moindre encore que le terme qui aurait suivi celui auquel oa s'arrête :
On a :
logr(l -H o) = -log27ra -H o{l0gB — 1)-H
■^(2m— l)2ma'— '"^^ ^ «Jq 1 h-x» ^^i— e-«"-* Cette formule montre que le terme sommatoire est alternatiTement
(*) Daoi «on mémoire, Honsieur Schiir coDsidcrsnl l'intégrale dé&oie
$■" i'» 1 da! loa- --— comme uoe fonction continue de m, recherche la j, 1 + a;* ° i — e-*""
valeor de m qui rend celle inlegrale un miDimum, et il démontre rigoureusement que m est compris entre ica etTca + 1 ; il en tire la coDclusion que pour obtenir l'erreur minimum , il faut prendre pour m le nombre entier compris entre no t.\ TTo-t-l. Cette conclusioB ne me semble pas tout à fait rigoureuse, et je crois que tout ce que l'on peut couelure de cette manière, c'est qae l'on obtiendra l'erreur minimum en prenant pour m un des nombres entiers compris entre na — 1 et ira + 3. Si Cette obserTation est exacte, la marche qde j'ai suivie est plus complète, puisqu'elle ne laisse jamais da doute qu'entre deux talenrs de m, et que dans environ un tiers des cas, elle le détermine entièrement. La recherche
■ 1 '°8| __el-tnnJ "'J'''P'^ 'a méthode de W Schaar est '^ d'ailleurs intéressante, et je l'ai donnée dans la note deuxième, en poussant plus loin l'approximation pour la valeur supérieure de m.
positif et négatif, et toujours de signe contraire au terme qui le pr^ cède immédiateonent. On a donc :
logr(l -Ha)<-Iog2jia + a(logo — 1)+T-^,
logr(4 +a) >-log27ra -I- o(loga-l) H- j-^— ^-^,,
et ainsi de suite. On peut en tirer ironiédiatement la condusioD que lorsqu'on s'arrête h un terme quelconque dans la suite du Stirling, la valeur absolue du reste que l'on néglige est inférieure soit au dernier terme que l'on conserve, soit au terme qui aurait immëdiatement suivi celui auquel on s'arrête, ce qui du reste peut se déduire «ussi des deux formules
» x*" dx, 1 * f ** a:»-+* dx , 1
{2m + l)2m.o*"+* que l'on tire sans peine d'une formule du N° 23.
II. Si dans la série de Stirling, m n'est pas supérieur d ito-t- ~ /'erreur est moindre que la taoitié du terme auquel on s'arrête.
En effet d'après ce que nous avons vu (2S), on a dans ce cas :
1 f*a;'*-*rfx, i If^x'-dx, i
e-iîTB»
on aura :
Trjgl-t-a;» *'t~e-»'^'^2 (2m — l)2Mt.a ce qui contient le principe énonce.
est moindre que la moitië du terme auquel ou s'arrête, mats déplus, je dis qu'elle est plus grande que ta moitié du terme qui aurait suivi celui auquel on s'arrête.
Car on aura alors
ii:-^'«.r
1 ^ ir»x*^*dx 1
Et comme
lf»...ix
.)oi+'- 'i
il TisDdra
l — ir'-" ' 2 (2™ * l)(2m + 2) 0'-+' '
ce qui est le principe énoncé.
