Problème. On donne r(a), trouver a

Les valeurs négatives de a qui satisfont à une valeur donnée de T(a], étant en nombre infini, nous ne nous occuperons que des valeurs positives; en d'autres termes nous restreindrons le problème à cher-

cher les valeurs de a qui donnent à l'Jnlégrale \ tr'x^^dx une

^0 valeur proposée. Or, puisque la fonction r(a) augmente indéfiniment pour des valeurs positives de a, de part et d'autre du point où elle est un minimum, il s'ensuit que pour toute valeur dcLogT(a) plus grande que la valeur minimum il y aura toujours deui valeurs réelles de la racine a.

11 n'y en a point, lorsque la valeur donnée est inférieure & la valeur minimum. Ce minimum a été d'ailleurs calcul^ très exactement par Legendre qui a trouvé

~ 77 — logr(a)= 7,947 239 174 593, pour

= 1,461 632 145 lOS.

Nous désigoerons les deux racioes cherchées par a, et par a,.

Eq faisant abstraction de la valeur Logr(a) = 0, qui répond k a, =1, et a, ^ % nous distinguerons deux cas :

1° Logr(a) est négatif. Les deux racines sont comprises entre 1 et 2, l'une plus petite etl'autre plus grande que 1,4G1632

Pour trouver la 1'°, cherchez dans la table au-dessous de a = 1,462 deux valeurs de l.irgument qui donnent pour Logl(a) des valeurs entre lesquelles se trouve comprise la valeur donnée. Soit a' la plus petite de ces deux valeurs. Posons Log r(o') = A' et o, = o' + aa. Appelons A la valeur de Log l(a) proposée, et déterminez i, k l'aide de la relation

ou calculera aisément a à l'aide des deux opérations suivantes. On a

tf = « FaA' ■+■ ^-^ ( A'A' + '^-^ '^''^')1 •

Commencez par négliger dans 3,^A' et A*A' les quatre derniers chilTres, l'équation à résoudre deviendra

En négligeant d'abord le petit terme — - — A'A', on aura une première valeur approchée de a, et en tenant compte ensuite, on déterminera une valeur de k qui sera exacte jusqu'à la quatrième décimale. Appelons a' cette valeur, et z la correction qu'il faut lui appliquer, en sorte que l'on ait a = i' + î, calculez 3' par la formule

TOUS aurez

valeur dans laquelle il ne faudra pas conserver plus de chifFres décimaux qu'il n'y en a au numérateur. La racine cherchée sera a^ = a' + û)(a' -H s).

On Irouverait a, exactement de la même manière, en cherchant au delà de la valeur 1,461 de l'argument, deux valeurs qui comprennent la valeur proposée.

2" LogT(a] est positif, a^ est compris entre et 1, a, est plus grand que 3. Pour déterminer a, par exemple, opérez par tâtonnements et en vous aidant de la première propriété de la fonction T, jusqu'à ce que tous ayez trouvé deux valeurs de a distaules de un millième qui donnent pour Logr(a) des valeurs comprenant celle qui est proposée. Nommez a' la première de ces valeurs, calculez Logr(o'), Logr(o' -H m), Logr(a' + 2w), Logr[o' ■+■ 3w), de manière à pouvoir déterminer iA', i'A', A'A', et opérez ensuite exactement comme dans le cas précédent. De même pour trouver la seconde racine (*).

Nous proposerons pour exemple de rechercher la seconde valeur de o qui donne r(a) = j/tT. On sait que la première de ces valeurs

Ainsi on a Logr[«} = -Logx = 0,248 874 956 347

Après quelques tâtonnements, on trouve que a est compris entre 2,86S et 3,866. Nous aurons alors :

A'ouLogr(3,86S; Logr(2,866] Logr(2,867; Logr(2,868)

= Logr(l,865) + Log(l,865) =.0,248 818 514 618.

= Logr{l,866)-HLog{l,866) = 0,248 89B 578 444.

= Logr(l ,867) -i-Log (1,867) = 0,249 272 823 247.

= togr(l ,868) -t-Log (1,868) =0,249 630 248 951.

(') Ces détails sont extraits du tome 11 des Exereicti dt eakul intégral de Legimjii.

, 79 - Calculant les différences, on a