APPLICATIONS DE LA THEORIE DE LA FONCTION T
Pour faire voir tout le parti que l'on peut tirer de la roncHon r dans diverses questions d'aoalyse, nous traiterons de son application k la recherche des intégrales définies, et à la ibéorie des suites.
A. IKTEfiRALES DEFINIES EXPRIMÉES A L'AIDE DE LA FONCTION T. 36. De Pintégrale\ fr'^" x"-^ dx, k étant fini et plus grand que 0.
Si dans l'intégrale \ tr^" a:"-* dx, on pose fer- = y, on aura
^^Cy x--^^. et rfx = — ^.
k' k~^ mA"y"="
En remplaçant, il vient
$e-u« a;,-* jj; = r ( — ) ■
De cette intégrale on déduit quelques cas particuliers dignes de remarque : posODS m := 2, el k^ a*, nous aurons
Si n est un nombre entier pair, posons n i= in', il viendra
• r^...,.>-j,- ' iM- '-^-^ 1°'-') (,.
Si n est un nombre entier impair, nous aurons en faisant » — 2»' + 1
j J .-.•.- rf«^r („'*!)
Le second membre pourra se ramener à l'aide de ta première propriété de la fonction r, à la valeur de r t - I ou \/n. Si n' = 0, nous obtiendrons
•d,^uC-\-L^......
On peut remarquer que e-"*''a:*"' ne change point lorsqu'on remplace x par — x, par conséquent la formule (<f) donnera
D'où comme précédemment en faisant n' = 0, nous aurons
Cette intégrale définie est d'un grand usage. Od en déduit immédiatement l'intégrale définie
(eW-H.e-«i-)rfi.
En effet dans la formule (e) remplaçons x par x + ~> on aura les
limites restant e
De même en remplaçant x par x < cette même fonnnle aurait
donné
D'où en additionnant ces deux intégrales
Et si l'on remarque que la différentielle ne change puiut lorsqu'on change le signe de x, on aura
57. Nous avons trouvé (10], la relation qui permet d'exprimer l'intégrale Eulérienne de première espèce à l'aide des fonctions r. Toute intégrale définie susceptible d'être exprimée à l'aide d'une des formes de l'intégrale Eulérienne de première espèce, le sera par conséquent immédiatement en fonctions r.
Ainsi k étant nn coefficient fini et plus grand que zéro ; on ramènera i m média terne nt l'intégrale
r* a:"-' dx
)^ H + kx')'*''
k l'intégrale Eulérienne de première espèce en posant kx" = t/, nous aurons alors
f* x°~' dx 1 r* y™ di/ ^ I y" dy
" mi" " mt-Jo (1+y)" "
Et d'après ce que nous avons vu (10)
Si dans cette dernière nous posons a + 6=^ 1, il vient
mk"" Et comme
^ •' ^ ^ sin —
f * x'~* dx I X
\ H+kx")^ ^ . m'
En posant
? dii
di=-[ /"'{) — s)>-«dy,
h laquelle il eût été facile de parvenir directement. Si dans l'intégrale définie
on pose x'"=f/, il viendra
et d'après ce que nous avons vu (10)
£n posant — \-h = \, on aura m
Ces transformations sont fort simples, et sang insister sur d'autres analogues, nous aborderons la reclicrche de deux intégrales définies exlrémeoient importantes.
M. Des intégrales \ e-" x"^ eosbxdx , \ tr" x"^ sinbxdx..... ■^0 ■'o
B et n Sois et plus grands que zéro.
Nous savoDs que si k représente un cocfficieat positif^ ou a la formule
1 e-*-a:"-'(tc=-f-i»
Euler croyait que celle formule serait encore vraie, si l'on y remplaçait k par «4-6 (/ — 1 , pourvu que a fût positif, et par conséquent que l'on aurait
r'-+'i/='"K— 'dx=
En séparant les parties réelles et les parties imaginaires, nous seront conduits aux valeurs des intégrales proposées, pour cela soit
6 = rsin a,
r{«) (coB tut — (/— 1 sin n
«-"!•-• sin6»fcr =
rW
ÇOS^.^
rW
SiO»,
Ce «ont les formules qu'il s'agit de IrouTer. Oo comprend que l'induction qui les a fournies quoique fort ingénieuse, a ite^in d'être vérifiée par on procédé plus rigoureus. Nous allons en donner deux démonstrations. La première est fondée, comme celle que Poïsiion a donnée dans le 16" cahier du Journal de l'école poli/leefini^ue, sur l'intégration d'un système d'équations différentielles simultanées, mais elle est considérablement simiilifiée. Dans la seconde, nous emploierons le dérelopperoeot en série convergente qui dous conduira fort simplement aux formules demandées.
i" DémonttratUm. — Posons
y^l «""«""'cos&rdi,
s ^ l e~" x^' sin bxdx.
Nous aurons en dérivant par rapport à b,
-Ti-^ — \ e~-^ x" sin bxdx , db }q
dz ("^
En remarquant que l'on a
. , , — er" (b cos bx ■+ a sin br)
-" sin bxdx = 1 — . — , - ; >
l'intégration par parties nous donnera
, . , j e-" x" (b cos bx ■*- a sin bx]
e-"*i" sin bxdx = ^^ ; '-
n f ■*■ -^ — jt\ fi~" (& eos 6x -H o sin bx) a;"~' de.
Si nous prenons les intégrales entre les limites et ao , en remarquant que le premier terme du second membre s'évanouit aux deux limites, si a et n sont 6ms et plus grands que zéro, nous aurons
f* — ■ i. , nb f-^
\ e-" x" siii bxdx = -T 7- \ e-" a:*-* oos
bxdx
e~" x"-* sin bxdx.
Et nous en tirerons
Et l'on obtiendrait d'une manière analogue dT n
S5-=-ïr^.!-"'*''> (2)
Ce sont ces équations qui, intigrées, vont nous fouritir les valeurs de y et de x. Pour y parvenir, soit
db a* + h* les équations diSérentielles deviendront
posons de plus ,
y = (a*-t-6*)-ti, el z = (a* + 6*)- r ,
m étant un espomnl qae nous déterminerons , les équations transformées scKHit, après avoir divisé des deux eùlés par (a* + b*)~,
— = (2mH- n)ii -- Jttf.
Ces équations deviennent très simples en faisant âm + n = , ou « = — - » on a alors
qui s'intigreat sans peine et dooneDl A et B «tant deux conslaotes arbitraires.
On voit facilemeot que la constante 6= 0, car si l'on pesé 6=0, cl par conséquent ce =: 0, z et par conséquent v doit s'évanouir. Les valeurs de u et de v seront donc
v^Acosna, v = AsiDna^
Et par suite
Aeosn^ A siii na » = ;• «= =■
Quant k la coDstante A, on la détermine très facilement en posant b et par conséquenl a:=0, en remarquant que la valeur de y se réduit
alors à l e~"x^* dx ou > il vient A = r(«): les valeurs de u
et de z sont donc bien celles qui ont été trouvées.
2=" Démonatration,
Pour légitimer l'emploi des formules trouvées par l'induction d'Euler, nous allons démontrer que si elles sont supposées vraies pour une certaine valeur b' de b, elles le sont pour toute valeur de b, telle que 6<^6'-i-a. Or, comme ces formules se vérifient d'ellesmêmes pour b' = 0, elles seront vraies pour 6 < a, étant vraies pour b <^a, elles le seront pour 6 <^ 2a et ainsi de suite, elles serout générales.
Or, remarquons que X et h, étant supposés Sniis, on a généralement en série convergente
cos(6'-»- h)x^<Msb'x — Aa:sin fr'x — ï~t*^^ ^'^ "+" ï a ^ sinfi'a:.....
sin (6' -t- A)a; = sin5'a; ■+■ hxcosb'x — 7-^sio f>'^ — TT^'*^*''^
Nous supposerons A <^ a, il viendra en multipliant les deux membres par e^'x"^*, pour taule valeur positive et finie de 0, de a et de X,
g-fl. jj--! çQ^fj)- ^ ^j j;,g-a.^»-( cos6'x — Ar'ir'"sin 6'x.
e~"ar^* sin (fc* -1- A) x = e~*' a:^* sin b'x -*• hx" er-' cas b'x
Nous pourrons intégrer les deux membres depuis jusqu'à l'infini, si nous démontrons que les intégrales des premiers membres sont finies et déterminées, et si les séries des seconds membres
sont convergentes. Sous ces conditions et en appliquant les formules d'Euler qui sont supposées vraies pour 6 = b', nous aurons, si
6' a' = arc tg - >
f" . ,,, ,, . r(i.)co8n«' iI(in-l)sin(»-H()«'
" [a'fb'')' (a'+t^)"
t' r(tn-a)cos(.n-a)»' 1.2 ^
f» , . ,,, ,, . r(n)sinna' A r{n + l)co3(it-t-f)a'
ou d'après la première propriété des fonctions r, l e-" a^-'cos(6'-i-A)idi
= . cos.i.'-jSin(»-t-l). -y^eos(in-2)i.' ^^,^^ ■
"' sia (b' -t- h)xdx == ; Isin tia.' -t- - cos(n -i- i)
Les conditions posées étant visiblement satisraites , puisque les intégrales des premiers membres sont nécessairement inférieures
h\ e''" x''~* dx ou -^j et que les séries des seconds membres
sont convergentes, si A < [/a' + b* et par conséquent si A < a. D'autre part, si nous développons
r[n) cos na r(n) sin «g b'-^h
suivant les puissances de h, nous obtiendrons sans difficulté les déve< loppements des seconds membres, ees développements étant convergents, dans les mêmes circonstances. Ou en conclut que l'on a
«-« x"^* cas [b' ■*- k}xdx =
ff~"' a;'"' sio (6' -*- h)xdx =
[a- + (f + *)■]• r{n) gin na
h étant plus petit que a, si ces formules sont vraies pour k-=0. On en conclut, comme nous l'avons dit en commençant, que les formules d'Euler sont générales, et que l'on a puur toute valeur de b,
f* -„ ^. i j r(n)cos na
j-OI jjl^l gj[, ^xdX =
r(n)sinna
M qu'il fallait trouver (*).
Corollaire. — les formules d'Enkr étant démontrées, supposons que « ne soit pas supérieur k l'unité dans la première et intégrons les deux membres par rapport à b, nous aurons
f« . . I . r(«}sin(l~nV
l e--'x"-* sin bxdx = —^ ^^ ;=! ■*■ "■
(') M' Kummer a cmplofë le développement en série pour déterminer ces intégrales (Journal de CreUe, t. 17), mais la série i laquelle il arrive est divergente,
dès que tg - atteint l'unité.
L'intégrale du premier membre est Soie et déterminée, tant que fl ^ 0, comme il est facile de le démontrer en la décomposant en deux parties, U première
\ e-"iir'-*sin6a:dx <6l e"" jc*"' rfx < 6 — > •'n Jn "
qui converge vers zéro avee e, et la seconde l «-"x"-*sin6xrfx,
qui est visiblement finie et déterminée. D'autre part, le second membre reste fini et continu. Pour déterminer la constante, faisons b = 0, on aura c ■= 0, et par conséquent
^00 j-OO
