Des intégratei \ x"-* cos bxdx et V x""-* sîo bxdx

Avant de rechercher les valeurs de ces intégrales, occupons-nous de rechercher sous quelles conditions ces intégrales ont une valeur finie et déterminée.

Pour cela, prenons l'une de ces intégrales, la seconde par exemple, et décomposons la de la manière suivante. Posons

l i''-'sin6xrfx=| x*~'sin6xdx+ 1 x''^sin6x(ti:+ j x"-^sin6xdx..

^0 Jo Jî J =

puis ramenons toutes les intégrales du second membre aux mêmes limites, en remplaçant successivement x par x-f-r» x-t--T-»

x-»--r' etc., nous aurons

f a:"-' sin bxdx = I a:""* sin bxdx m- I ( '^ -*■ r ) sin (5a; -<- ff) rfic

-1- I (x-f-pi sin (6a; -*- 2jr}(£E

D'oà

$a;"-< sin 6a;(tc = 1 x"-' siD bxdx — I ( a: -»- t I «io bxdx Jo Jo'^ ^^

-+-1 ["^'^'T } sia bxdx. ...

Sous cette forme il est visible que chacune des intégrales du second membre étant positive de sa nature, ce second membre formera une série dont les termes sont alternativement positifs et négatifs; il ne reste plus qu'à savoir si les différents termes vont en croissant ou en décroissant indéfiniment. Or, en comparant les difTérentielles dans une intégrale et dans la suivante, on voit que pour une même valeur de X, la difTcrenlielIc est plus grande ou plus petite dans la première des deux intégrales , suivant que l'on a n < 1 , ou n > 1 . II est facile d'en tirer les conclusions suivantes :

1° Si »>1, la série

I a:"-'sin6a;diF — 1 I x-*-r ) ^'" bxdx-^ I I x-t- -r 1 sinbxdx...

(■se est divergente, et par conséquent l'intégrale \ x"^* sia bxdx est

^0 indéterminée.

2" Si n <;i, la série

I 1 x-i-T ï siD6x(tr+ I ( X+-J-] iiabxdx — | (1-4-— ) sinbxt

est convergente, el la somme en est finie el déterminée. (•00 L'intégrale \ x^' aiabxdx, sera donc aussi finie et déterminée.

nbxdx, est finie et déterminée. Or, le sinus d'un erc étant plus petit que l'arc lui-même, supposons ti> — 1, on aura

l^x"'' sinftxdx <^6 \''x'dx,

l'intégrale i''a;"rfa;, étant finie et déterminée, si n> — 1, on en

conclut finalement que l'intégrale \ x^* sin bxdx, est finie et déter-

■'0 minée, si n est compris entre les limites — 1 et -i- 1 . 11 est au contraire' fort facile de démontrer que ^^x"-* sin bxdx est infini, si »< — i, et par conséquent qu'il en est de même de l'intégrale \ a:"-' sin bxdx.

Il est donc démontré que l'intégrale \ x^'siabxdx, est infinie

si M est égal à — 1 ou plus petit que — l ; qu'elle est indéterminée si n est plus grand que 1 (on voit immédiatement qu'elle est également indéterminée sin=^l}; enfin qu'elle est finie et déterminée pour — 1 < n < -t- 1, En appliquant une décomposition analogue à l'intégrale

\ x"~' cos bxdx, on reconnaîtra ; ■'0 Qu'elle est infinie pour n = ou n < 0,

Qu'elle est indétermiDéc pour n = i ou » > 1 ;

Qu'elle est finie et dé le nui née pour < n < 1 .

D'après cela, il sera fort facile de trouver les valeurs des intégrales proposées dans le cas où leur valeur est déterminée. SupposODS que pour toutes deux l'on ait < « <^ 1 .

D'après ce que nous venoQS de dire, l'on aura

\ x^' sin bxdx = lim l x^-* aio bxdx Or, les intégrales

\ X--* nos bxdx et l x"-*sinbxdx,

sont égales aux limites vers lesquelles convergent

\ e-"x'^ eus bxdx et \ er" x'-* ain bxdx

quand a converge vers zéro; et d'après les formules d'Euler, on a

i- fs,„ . , , , r(n)cosnœ lim t r*"' a:"-* cos oitwc = -^-i

, « ^= arc Ig - -

,■„ fl .. . . , , r(«) sin jw **

on en tirera la conclusion

x*-* sin bxix =s lim

d = arc tg - • r( n) sin B- "

S convergeant vers zëro. Or, les limites sont très Taciles h trouver, les

, , ns , . , MIT numérateurs converj^nt vers r(n) cos— et r(n)8in-Tr- > et les aé-

QomiDateurs vers 6'; on aura

r(}i)m— is bxdx ^= j

r[sin n "•sin bxdx= 1 — ;—

De la même manière en partant de la formule

rw sin (I -!■)■,

e~" «""' sin bxdx ^ -

r(n)8in(4— n)- ■»6infta:dx= — — , «> 0, n < i.

Cette formule étant du reste encore vraie pour n = i, attendu qu'elle est vraie pour des valeurs de n aussi peu distantes qu'on voudra de l'unité, et qu'il n'y a aucune discontinuité pour cette valeur.

On a donc les valeurs des intégrales proposées exprimées à l'aide

de la foDction r , aussi longtemps que ces intégrales soot finies et détermiaées.

On peut présenter les formules pr&ëdentes sous une aulre Torme, eo faisant usage de la seconde propriété des fonctions r, qui donne

^ ' r(l— M)sin n les deux premières deviendront tur

Jx" 'co;

\ x^* sii. -___^ ^

6t(1— nlsinnjT 6"r(l— n) . . nt

ar*-' sin bxdx

(1 — n)m — n)b''' sin nu

Si dans les deux premières , nous posons 1 — n^a, a étant par conséquent compris entre et 1 , on trouvera facilement

i àx=^-— , et «'^=77^ ' 0<o<i.