x" T{a) „ OJT L r" rfo) „ . «ff

Si dans la troisième, nous rcmpluçons 2 — n par a, nous aurons

a étant plus petit que 3, et au moins ëgal à i .

Celte formule est la même que la précédente qui est valable pour < a <^ 1 , OD a donc les deux formules suivantes

f <» cos bxdx 6"-< 1

1^ x" r(a) „ ojt --- --^ >

= ff^ ^* 0<a<2, 6>0,

\ '2Kin —

Corollaires : 1 " Si dans cette dernière, on pose a = 1 , on a l'intégrale connue,

2" Poura=s— 1 r(a) = |/f, et il vient

Si dans ces formules, nous faisons x = y*, on trouve

j-ao c» 4 /^

V cos (bf) du =F. \ Bin [bf) <*y = 5 V 26 ■

Ces deux formules peuvent se remplacer par la seule formule suivante

D.g.tizedbyGoOglC

En prenant les intégrales entre les limites — oo et -i- ao , en trouve

Cette dernière en y posant y = an- - devient

Formule assez remarquable, et qui a été employée par M' Lejeune- Diriclilet dans la réduction d'une intégrale multiple. 40. Des intégrales

/■"sinfparclg-)

Il est fort facile de démontrer d'abord que sous les conditions posées, ces intégrales seront finies ei déterminées, ear on aura

(a'^-6') (o'-i-S")' Je (o"-h6')'

^•00 cos [

— 100 ■ et l'on voit immédiatement que

ces iatégrales convergeant vers zéro , siO<7<l, p + q> i et o<0.

De même

a^parctg- K

Et l'on voit que

. si.(..rctg^) ^ . , ,t ,^,t

f»ji. ""('"'""-.) .r ■"'

s intégrales convergent vers zéro, si < ç < 2, p -f- î > i et o > 0.

Ceci posé , ocnupons'DOus de rechercher la valeur de l'une de ces intégrales, de la première par exemple, s étant une quantité plus grande que 0, mais qui peut devenir inférieure à toute valeur assignable, on aura rigoureusement

(•Tdfc ri ■ ■ I fÊ , , fÊcostx „

l — \ er" xi^' cos bxdx ^ \ er"xP-'ax\ — - — -db.

En suivant la ménic marche qu'au N" iQ, et en remarquant que d'après les formules des N" 38 et 39, on a

xi^* ces bxdx ■•

r(p) cos f parclg- J

>s bx i!-' 1

" 'W^csl

X étant plus grand que 0, et q compris entre et l'unité, il viendra

"xP-< cos bxdx

= 1 «-"'aP+'-'da;— V tr"xr'^dx\ — 7 \ T"xi^*dx\ —^ — dx.

r(,)8.osl,J. '-' '0 " h h " Or, l'on voit facilement que sous les conditions posées

[t pouvant varier depuis jusqu'à l'unité.

itf-

* étant compris entre — 1 et -t- 1 , ponrvn qne t salisruse ans conditions

1 élanl compris entre et l'unité.

Cï . . f* coîiat „ [t

p éUoI compris entre — i et + 4.

D'après cela l'égalité primiiïTC deviendra

= 7 — t ,r" xr-^^-* dx ■*• -^^ *• f^\ e-"!j^-*dx.

r(9)2cos-î»tJo "^ ■'e

Il est facile de prouver que le terme

pï* y e-" le-* dx ,

converge vers zéro avec t ; en effet , il n'y a poinl de doute si p ]> 1. Si p est égal ou inférieur à l'unité, tout en étant plus grand que zéro, on aura

i^e-'xp-*dx<i^x^*dx^^^, 3ip<l, et

\ e-"x''~-'(tr < — logi, sip=1, et par conséqueut on pourra donner h l'intégrale la forme

p, j ou — p,ÊTlog£,

et il est évident sous ces deux Tormes qu'elle converge vers zéro avec e. Si dans l'égalité obtenue nn fait converger t vers zéro, il est visible maintenant que les deux membres convergeront vers une limite fixe, et l'on aura en égalant ces limites

.» cos ( parclg- 1 „ ,

« V ^aj db I{p + q-l} ;r

" (a'+6')' 2tos-5,

On démontrerait d'une manière analogue que

Dans ces deux équations si on remplace - par x,

F-~ÎWW -• »<'<'• ">"• ''•^'>'-

S* eos (p arc tg œ) ^ r[p -t~q — j) ^ ïr^ x^ r(n)r(o) 1 '

f * sinfparcjgx) (tr r(p + ç — 1) ^ 1 r ï

On peut transformer ces denx formules cd posant arc tg x = et l'on aura avec les mêmes condilions

(' co» (,«) tos M . col. «(. =. îfcL';^

Corollaires : 1' Si dans la seconde de ces formules, od pose 9^1 fjsinpn n-

2° Ponr p = % les formules donneront

sin 2izC0tTa(îa =

2 si» s 9'

' Supposons que l'on ait p = un nombre entier, on a dans ee cas

et par conséquent si Dous représentons par r une quantité plus petite que l'unité, les formules donneront

fZ, , VOfada qiq + i) (ff+p - 2) R

% r cos « P cos pa --= ^^' ^ ' " ^, '- rP ,

\ ' COS*a 4.2 p — 1 „ i

, . cot'arfa q{q -h1) fff-HP — 2) it

^ ' 2 sin -

Si dans cette dernière, dous faisons successivement p^l^^ = 5 4.... jusqu'à l'infini, nous aurons en ajoutant

[*ri < ■ / w ■ n / \-, ■ ■, ) COt'arfa

\ [(rcosa)siDa + (r COSa)' sm 2a -+■ {rCOSoj'siQOa..., !

Jq ) C0S'«

) 2sin-9ff

Si l'on remplace les séries convergentes des deux membres par leurs sommes, savoir :

, 1 - / u.c., 1, . (rcoso'lsina (r cos «) sma-^ (rcos a)'sin 2a+(r casa)°sin 5a = — 1 !■ ,

on aura l'intégrale définie

,^ COt<«(i« 1 re i>r>- 1.

ri — (2r — r*)cos'a""(l— r)'~l 2>î>0.

Jo 2sin-q'n- -^ ^ -^